Calculadora de Crescimento Bacteriano - Crescimento Populacional Exponencial e Logístico

O que é uma calculadora de crescimento bacteriano?

Uma calculadora de crescimento bacteriano prevê quantas células bacterianas uma população terá após determinado tempo, com base em uma contagem inicial, em um tempo de duplicação e no tempo decorrido. Ela usa o modelo de crescimento exponencial que descreve a fissão binária, o processo pelo qual uma célula bacteriana se divide em duas células-filhas idênticas.

As bactérias se multiplicam assim sempre que as condições são favoráveis: nutrientes suficientes, temperatura adequada e espaço suficiente. Nessas condições, a população dobra repetidamente em um intervalo fixo chamado tempo de geração, ou tempo de duplicação.

Fórmula do crescimento bacteriano

A fórmula padrão do crescimento bacteriano exponencial é:

$N_t = N_0 \times 2^n$

• $N_t$ é a população final após o tempo $t$
• $N_0$ é a população inicial
• $n$ é o número de gerações (ciclos de duplicação) ocorridas

O número de gerações é o tempo decorrido dividido pelo tempo de duplicação:

$n = \frac{t}{d}$

A combinação das duas dá a fórmula completa usada pela calculadora:

$N_t = N_0 \times 2^{(t/d)}$

Aqui, $t$ e $d$ devem estar na mesma unidade de tempo. A calculadora faz essa conversão por você: ela recebe o tempo de geração em minutos e o período total em horas, e converte o período para minutos antes de dividir.

A taxa de crescimento específica, $\mu$, é uma medida relacionada de quão rápido uma população cresce por unidade de tempo. Ela se liga ao tempo de duplicação por:

$\mu = \frac{\ln(2)}{d}$

Como usar a calculadora

A calculadora tem três entradas principais e uma escolha de modelo de crescimento.

1. Contagem inicial de bactérias. O número inicial de células. Pode vir de uma contagem em hemocitômetro, de uma contagem em placa de unidades formadoras de colônias (UFC), de uma leitura de densidade óptica ou de outro método de contagem.
2. Tempo de geração, em minutos. O tempo que as bactérias levam para dobrar. Informe o valor diretamente. Para uma espécie que dobra a cada 30 minutos, informe 30. Para uma espécie que dobra a cada 20 minutos, informe 20.
3. Período de tempo, em horas. A duração total da projeção. Informe o valor diretamente. Para um período de 3 horas, informe 3.
4. Modelo de crescimento. O modelo exponencial padrão dobra sem limite. O modelo logístico opcional acrescenta uma capacidade de suporte, $K$: a maior população que o ambiente consegue sustentar. No crescimento logístico, o crescimento desacelera à medida que a população se aproxima de $K$ e depois se estabiliza em uma curva em forma de S. A calculadora usa $N_t = K / (1 + ((K - N_0)/N_0) \times e^{-rt})$, com $r = \ln(2)/d$. $K$ deve ser maior que a contagem inicial.

Em seguida, a calculadora calcula o número de gerações, o fator de crescimento ($2^n$ no modo exponencial, ou a contagem final dividida pela contagem inicial no modo logístico) e a contagem final de bactérias, e traça o tamanho da população em intervalos de 30 minutos em um gráfico.

Exemplo: cálculo de crescimento bacteriano

Considere um cenário de segurança alimentar:

• Contagem inicial de bactérias: 1.000 células
• Tempo de geração: 30 minutos
• Período de tempo: 3 horas

Primeiro, converta o período de tempo para minutos: 3 horas = 180 minutos. Divida pelo tempo de geração para obter o número de gerações:

$n = \frac{180}{30} = 6$

Depois, aplique a fórmula de crescimento:

$N_t = 1{,}000 \times 2^6 = 1{,}000 \times 64 = 64{,}000 \text{ células}$

Uma população de 1.000 células passa a ter 64.000 células após 3 horas, com tempo de duplicação de 30 minutos. Esse tipo de salto é o motivo pelo qual as diretrizes de segurança alimentar limitam por quanto tempo um alimento perecível pode ficar em temperatura ambiente.

Tempo de duplicação por espécie

O tempo de duplicação varia muito entre as espécies e depende da temperatura, dos nutrientes e de outras condições. Alguns valores relatados:

A mesma espécie pode dobrar de forma muito mais lenta em um ambiente hostil.

As quatro fases do crescimento bacteriano

Uma cultura bacteriana real em um recipiente fechado não cresce exponencialmente para sempre. Ela passa por quatro fases.

• Fase de latência. As células se adaptam a um novo ambiente e produzem as enzimas de que precisam. O tamanho da população quase não muda.
• Fase exponencial (logarítmica). As células se dividem a uma taxa constante. O modelo exponencial padrão da calculadora descreve essa fase.
• Fase estacionária. Os nutrientes diminuem e os resíduos se acumulam, de modo que novas células se formam na mesma taxa em que as células morrem e o tamanho da população se estabiliza. O modelo logístico aproxima a chegada a esse patamar.
• Fase de declínio. Os nutrientes se esgotam e as toxinas se acumulam, de modo que as células morrem mais rápido do que se formam novas e o tamanho da população diminui.

Por que as bactérias crescem de forma exponencial

Cada célula bacteriana se divide por conta própria, então a taxa de crescimento depende de quantas células já existem. Mais células significam mais divisões simultâneas, o que produz um padrão de duplicação (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) em vez de um aumento linear e constante. É por isso que o tamanho da população na fórmula é elevado a uma potência do tempo, e não multiplicado por ele.

Perguntas frequentes

Como se calcula a taxa de crescimento bacteriano? Use a fórmula da taxa de crescimento específica, $\mu = \ln(N_t/N_0)/t$, a partir de uma população inicial e uma final medidas ao longo de um tempo conhecido. Se só o tempo de duplicação for conhecido, use $\mu = \ln(2)/d$.

O que é o tempo de duplicação nas bactérias? É o tempo que uma população leva para dobrar durante o crescimento exponencial. Varia conforme a espécie e as condições ambientais, como temperatura e oferta de nutrientes. A E. coli pode dobrar em cerca de 20 minutos em condições ideais, enquanto a Mycobacterium tuberculosis leva de 15 a 20 horas.

Por que informar o tempo de geração em minutos, mas o tempo total em horas? Os dois campos usam unidades diferentes porque isso corresponde à forma como o crescimento costuma ser descrito na prática: os tempos de duplicação costumam ser dados em minutos, e as durações de experimentos ou de armazenamento costumam ser dadas em horas. A calculadora converte as horas em minutos internamente antes de calcular o número de gerações, então ambos os valores devem ser informados com seus números reais, tal como são.

O que interrompe o crescimento exponencial em uma cultura real? O esgotamento de nutrientes, o acúmulo de produtos residuais, a limitação de oxigênio para espécies aeróbias e a redução do espaço desaceleram a divisão à medida que a cultura se aproxima da fase estacionária. A fórmula exponencial só vale durante a fase logarítmica, antes de esses limites entrarem em ação. O modelo logístico, com uma capacidade de suporte, reflete essa desaceleração de forma simplificada.

Qual é a precisão das previsões de crescimento bacteriano? As previsões ficam próximas das contagens reais durante a fase exponencial, em condições estáveis e controladas e com um tempo de duplicação bem caracterizado. A precisão cai em períodos longos que chegam à fase estacionária, em culturas mistas ou em espécies cujo tempo de duplicação não foi medido com precisão.

Como o tempo de duplicação é medido em laboratório? Os métodos comuns incluem contagens microscópicas diretas com hemocitômetro, contagens em placa de unidades formadoras de colônias, leituras de densidade óptica por espectrofotômetro e citometria de fluxo. Duas contagens feitas em um intervalo de tempo conhecido dão o tempo de duplicação pela fórmula acima.

Referências

1. OpenStax. Microbiology, 9,1 How Microbes Grow. Como os micróbios crescem — a fórmula $N_n = N_0 2^n$, o tempo de geração como o tempo que uma população leva para dobrar, os tempos de duplicação de E. coli, M. tuberculosis e M. leprae, as quatro fases de crescimento e por que o crescimento para em uma cultura fechada.
2. OpenStax. Biology 2e, 45,3 Environmental Limits to Population Growth. Limites ambientais ao crescimento populacional — crescimento logístico, capacidade de suporte $K$ e a curva em forma de S.