Calculadora de Índices de Miller - Converter Interceptos de Planos Cristalinos para (hkl)

O que são índices de Miller?

Os índices de Miller são um conjunto de três números inteiros, escritos como (h,k,l), que identificam um plano em uma rede cristalina. Uma rede cristalina é a disposição ordenada e repetitiva de átomos encontrada em um material sólido. Os índices de Miller informam aos cientistas exatamente qual seção dessa rede um plano representa, sem a necessidade de descrever sua geometria em palavras. Eles foram introduzidos pelo mineralogista britânico William Hallowes Miller em 1839 e continuam sendo a notação padrão da cristalografia atualmente.

Esta calculadora converte as interseções de um plano com os eixos cristalográficos x, y e z em seus índices de Miller (h,k,l).

Fórmula dos índices de Miller

Os índices de Miller são obtidos a partir dos recíprocos das interseções de um plano com os eixos. Se um plano cruza os eixos x, y e z a distâncias a, b e c da origem, os índices obedecem à seguinte relação:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Como calcular os índices de Miller a partir das interseções

1. Determine onde o plano cruza cada eixo, medido em unidades do comprimento da aresta da célula unitária. Chame essas interseções de a, b e c.
2. Calcule o recíproco de cada interseção: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Multiplique os três recíprocos pelo mesmo número, de modo que cada um se torne um número inteiro.
4. Divida os três números inteiros pelo máximo divisor comum, para que não possam mais ser reduzidos.

Os três números inteiros resultantes são h, k e l. Um plano que nunca cruza um eixo é considerado como tendo uma interseção no infinito, e 1 dividido por infinito é 0; portanto, esse eixo recebe um índice de Miller igual a 0.

Exemplo resolvido

Um plano intercepta o eixo x em 2, o eixo y em 3 e o eixo z em 6.

1. Interseções: (2, 3, 6)
2. Recíprocos: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Multiplique pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores, 6: (3, 2, 1)
4. O máximo divisor comum de 3, 2 e 1 é 1, portanto os números não podem ser mais reduzidos.

Os índices de Miller são (321).

Outros exemplos

• Um plano que passa por (1, ∞, 2) — paralelo ao eixo y — tem os recíprocos (1, 0, 1/2). Multiplicar por 2 resulta em (2, 0, 1). O 0 mostra que o plano nunca cruza o eixo y.
• Um plano que passa por (-1, 2, 3) tem os recíprocos (-1, 1/2, 1/3). Multiplicar por 6 resulta em (-6, 3, 2), geralmente escrito como (6̄32), com uma barra sobre o índice negativo.
• Um plano que passa por (1, ∞, ∞) tem os recíprocos (1, 0, 0), resultando em (100). Essa é uma das seis faces de um cubo.

Casos especiais

Um plano paralelo a um eixo nunca o cruza; portanto, essa interseção é considerada infinita e seu índice de Miller é 0. Um plano que intercepta um eixo no lado negativo da origem recebe um índice negativo, escrito com uma barra sobre o número na notação formal ou com um sinal de menos em texto simples. Um plano que passa pela própria origem não tem índices de Miller definidos, pois toda família de planos paralelos em uma rede deve estar deslocada da origem para ser indexada; é necessário deslocar a origem antes que esse plano possa ser descrito. Interseções fracionárias são tratadas da mesma forma que as de números inteiros: calcule o recíproco de cada uma e depois elimine as frações.

Os índices são sempre reduzidos aos menores números inteiros possíveis. (622) e (311) descrevem a mesma família de planos, mas os cristalógrafos sempre escrevem (311).

Como usar esta calculadora

Insira as interseções do plano com os eixos x, y e z.

• Use um número positivo para uma interseção no lado positivo da origem e um número negativo para o lado negativo.
• Digite "infinity", "inf" ou "∞" para um plano paralelo a um eixo.
• Uma interseção igual a zero não é aceita, pois não é possível atribuir índices de Miller, por este método, a um plano que passe pela origem.

A calculadora calcula os índices instantaneamente e mostra um diagrama do plano dentro da célula unitária.

Aplicações dos índices de Miller

Difração de raios X. Cada ponto ou pico em um padrão de difração de raios X corresponde a um conjunto de planos da rede com um (hkl) específico. A lei de Bragg relaciona o espaçamento desses planos ao ângulo de difração:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Aqui, d_hkl é o espaçamento entre os planos (h,k,l), λ é o comprimento de onda dos raios X e θ é o ângulo de difração. A correspondência entre os picos observados e os valores (hkl), processo chamado indexação, é uma etapa básica na identificação de uma estrutura cristalina desconhecida.

Ciência dos materiais. Diferentes planos cristalinos expõem diferentes disposições de átomos; por isso, apresentam diferentes energias superficiais, diferentes velocidades de reação química e diferentes funções na deformação de um metal. Em metais cúbicos de face centrada, como o alumínio, os planos atômicos deslizam uns sobre os outros com maior facilidade ao longo dos planos {111}. As lâminas de silício para chips de computador geralmente são cortadas ao longo do plano (100) ou (111), pois essa escolha afeta o comportamento das etapas posteriores de fabricação.

Mineralogia. As faces planas observadas em um cristal natural e as direções nas quais um mineral se separa facilmente (sua clivagem) correspondem a planos específicos de baixos índices. A halita (sal de cozinha) cliva ao longo dos planos {100}, e a fluorita cliva ao longo dos planos {111}.

Índices de Miller-Bravais para cristais hexagonais

Cristais hexagonais, como magnésio, zinco e titânio, geralmente são descritos por um sistema de quatro índices (hkil), em vez de três. O índice adicional i não é independente; ele é sempre i = -(h+k). Essa forma facilita perceber que dois planos pertencem à mesma família equivalente por simetria, algo que nem sempre é evidente apenas pela notação de Miller de três índices em uma rede hexagonal.

História

Os índices de Miller foram introduzidos por William Hallowes Miller em seu livro de 1839, A Treatise on Crystallography. Já existiam sistemas anteriores para identificar faces cristalinas, mas o método de Miller, que usa os recíprocos das interseções, facilitou o tratamento de planos paralelos a um eixo, pois sua interseção é infinita e seu recíproco é simplesmente 0. Depois que Max von Laue descobriu a difração de raios X por cristais em 1912, William Henry Bragg e William Lawrence Bragg mostraram que os índices de Miller descrevem exatamente os planos responsáveis pelos picos de difração, trabalho pelo qual dividiram o Prêmio Nobel de Física de 1915.

Perguntas frequentes

Para que servem os índices de Miller? Eles identificam planos específicos em uma rede cristalina. São usados para indexar picos de difração de raios X e de elétrons, descrever planos de escorregamento em metais, especificar a orientação de lâminas semicondutoras e identificar as faces e a clivagem dos minerais.

O que significa um zero em um índice de Miller? Significa que o plano é paralelo a esse eixo e nunca o cruza. Por exemplo, (201) é paralelo ao eixo y.

O que significam índices de Miller negativos? Eles significam que o plano cruza esse eixo no lado negativo da origem. Um índice negativo é escrito com uma barra sobre o número, como em (2̄11), ou com um sinal de menos, como em (-2,1,1).

Por que um plano que passa pela origem não pode ter índices de Miller? Os índices de Miller são obtidos a partir do recíproco de uma interseção. Um plano que passa pela origem intercepta todos os eixos em 0, e 1/0 é indefinido; portanto, o método não pode atribuir índices, a menos que o plano seja deslocado.

Qual é a diferença entre os índices de Miller e os índices de Miller-Bravais? Os índices de Miller (hkl) usam três números e funcionam para qualquer sistema cristalino. Os índices de Miller-Bravais (hkil) acrescentam um quarto índice dependente e são usados principalmente para cristais hexagonais, nos quais facilitam o reconhecimento de planos equivalentes por simetria.

Como o espaçamento entre planos se relaciona aos índices de Miller? Em um cristal cúbico com comprimento de aresta a, o espaçamento entre planos (hkl) adjacentes é d = a / √(h² + k² + l²). Planos com índices maiores têm espaçamentos menores. Outros sistemas cristalinos usam uma fórmula semelhante, porém mais complexa, que considera comprimentos de eixo desiguais e ângulos diferentes de 90°.

Referências

1. Miller, W. H. (1839). Um Tratado de Cristalografia. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Física do Estado Sólido. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4.ª ed.). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3.ª ed.). Pearson Education.
5. União Internacional de Cristalografia. (2016). Tabelas Internacionais de Cristalografia, Volume A: simetria de grupos espaciais. Wiley.