Calculadora de Distribuição Binomial - Ferramenta Gratuita de Probabilidade

O que é uma calculadora de distribuição binomial?

Uma calculadora de distribuição binomial determina a probabilidade de obter um número exato de sucessos em um número fixo de tentativas independentes, quando cada tentativa tem a mesma chance de sucesso. Ela é usada em estatística, controle de qualidade, medicina e qualquer área que estude eventos repetidos de sim ou não.

A ideia subjacente é a distribuição binomial, um modelo de probabilidade para contar sucessos em tentativas repetidas que têm apenas dois resultados, geralmente chamados de sucesso e fracasso.

Fórmula da distribuição binomial

A probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas é:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Cada símbolo significa:

• n — o número de tentativas.
• k — o número de sucessos para o qual se deseja calcular a probabilidade.
• p — a probabilidade de sucesso em uma única tentativa, um número entre 0 e 1.
• $\binom{n}{k}$ — o coeficiente binomial, o número de maneiras diferentes de escolher k sucessos entre n tentativas. Ele é igual a $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Cada tentativa deve ser independente, ou seja, o resultado de uma tentativa não altera as chances de outra, e a probabilidade de sucesso p deve permanecer igual em todas as tentativas. Uma única tentativa com dois resultados possíveis, como o lançamento de uma moeda, é chamada de tentativa de Bernoulli. Uma distribuição binomial é obtida pela soma de n tentativas de Bernoulli.

Como calcular a probabilidade binomial

1. Anote n, k e p.
2. Calcule o coeficiente binomial $\binom{n}{k}$, o número de maneiras de organizar k sucessos entre n tentativas.
3. Eleve p à potência k.
4. Eleve (1 − p) à potência (n − k).
5. Multiplique os três números.

A calculadora desta página executa essas etapas automaticamente. Insira n, p e k, e ela retorna P(X = k), junto com um gráfico de barras que mostra a probabilidade de cada resultado possível, de 0 até n sucessos.

Exemplo prático

Exemplo 1: lançamentos de moeda

Lance uma moeda honesta 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Resultado: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, ou aproximadamente 11,72%

Exemplo 2: controle de qualidade

Uma fábrica inspeciona 100 itens. Cada item tem 2% de chance de apresentar defeito. Qual é a probabilidade de que nenhum dos 100 itens apresente defeito?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Como k = 0, a fórmula se reduz a $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Resultado: ≈ 0,1326, ou aproximadamente 13,26%

Exemplo 3: testes de doenças

Uma cidade testa 1.000 pessoas para uma doença que infecta 0,1% da população (p = 0,001). Qual é a probabilidade de que exatamente 5 das 1.000 pessoas estejam infectadas?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Resultado: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, ou aproximadamente 0,30% (valor exato 0,0030488, isto é, 0,30488%)

Média e variância

Para uma distribuição binomial com parâmetros n e p:

• Média (valor esperado): E(X) = np
• Variância: Var(X) = np(1 − p)
• Desvio padrão: σ = √[np(1 − p)]

A média indica o número médio de sucessos esperado ao longo de muitas repetições. No Exemplo 1, a média é 10 × 0,5 = 5 caras.

O que a calculadora aceita

• n deve ser um número inteiro de 1 ou mais. Uma entrada decimal é arredondada para o número inteiro de tentativas mais próximo; portanto, 10,9 é tratado como 11.
• p deve estar entre 0 e 1, inclusive.
• k deve ser um número inteiro de 0 ou mais e não pode ser maior que n. Obter 8 sucessos em 5 tentativas é impossível, portanto a calculadora informa um erro em vez de um número.

Se alguma caixa ficar vazia, a calculadora não mostra nenhum resultado nem gráfico, em vez de presumir um valor.

Quando a distribuição binomial se aplica

A distribuição binomial se ajusta a uma situação somente quando todas as quatro condições são atendidas:

1. O número de tentativas, n, é fixado antecipadamente.
2. Cada tentativa tem apenas dois resultados: sucesso ou fracasso.
3. A probabilidade de sucesso, p, é a mesma em todas as tentativas.
4. As tentativas são independentes umas das outras.

Retirar cartas de um baralho sem reposição viola a condição de independência, pois remover uma carta altera as chances do próximo sorteio. Nesse caso, deve-se usar a distribuição hipergeométrica.

Distribuições relacionadas

• Distribuição de Poisson: usada para aproximar a distribuição binomial quando n é grande e p é pequeno, de modo que o número médio de sucessos (np) permaneça moderado. É comum na modelagem de eventos raros, como o caso de doença no Exemplo 3.
• Distribuição normal: para n grande e quando p não está muito próximo de 0 ou 1, a distribuição binomial tem formato aproximadamente de sino e pode ser aproximada por uma distribuição normal com média np e variância np(1 − p).
• Distribuição hipergeométrica: usada no lugar da distribuição binomial quando a amostragem é feita sem reposição de uma população finita.

Dúvidas frequentes

O que faz uma calculadora de distribuição binomial?

Ela calcula a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p, usando a fórmula P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Qual é a diferença entre as distribuições binomial e normal?

A distribuição binomial é discreta, ou seja, produz apenas contagens inteiras de sucessos. A distribuição normal é contínua. Para n grande, uma distribuição binomial pode ser aproximada por uma curva normal com média np e variância np(1 − p).

p pode ser 0 ou 1?

Sim. Se p = 0, nenhuma tentativa pode ser bem-sucedida, portanto P(X = 0) = 1. Se p = 1, todas as tentativas são bem-sucedidas, portanto P(X = n) = 1. Nesses casos, todos os outros valores de k têm probabilidade 0.

Qual é a relação entre as distribuições binomial e de Bernoulli?

Uma distribuição de Bernoulli descreve uma única tentativa com dois resultados (n = 1). Uma distribuição binomial é a soma de n tentativas independentes de Bernoulli; portanto, uma distribuição de Bernoulli é simplesmente uma distribuição binomial com n = 1.

Qual pode ser o tamanho de n antes que a calculadora fique imprecisa?

A calculadora trabalha com aritmética padrão de precisão dupla. Ela multiplica diretamente as três partes da fórmula e passa a usar logaritmos quando o coeficiente binomial cresce além do maior número que um tipo de precisão dupla pode armazenar, o que acontece perto de n = 1.000 quando k está próximo de n/2. Os resultados continuam corretos acima desse ponto. Uma probabilidade menor que aproximadamente 1e-308 é informada como 0, pois nenhum tipo de precisão dupla consegue armazená-la.

Como o coeficiente binomial é calculado?

O coeficiente binomial C(n, k) conta o número de maneiras de escolher k itens entre n itens, independentemente da ordem. Ele é igual a n! / (k! × (n − k)!). A calculadora o constrói passo a passo, multiplicando por um fator e dividindo pelo seguinte, para nunca precisar armazenar um fatorial completo. Para valores muito grandes de n, ela soma os logaritmos desses fatores.

Referências

1. "Binomial Distribution." Wikipédia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.