Calculadora de Distribuição Gama

Introdução

A distribuição gama é uma distribuição de probabilidade contínua que é amplamente utilizada em várias áreas da ciência, engenharia e finanças. É caracterizada por dois parâmetros: o parâmetro de forma (k ou α) e o parâmetro de escala (θ ou β). Esta calculadora permite que você calcule várias propriedades da distribuição gama com base nesses parâmetros de entrada.

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição gama é dada por:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Onde:

• x > 0 é a variável aleatória
• k > 0 é o parâmetro de forma
• θ > 0 é o parâmetro de escala
• Γ(k) é a função gama

A função de distribuição acumulada (CDF) é:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Onde γ(k, x/θ) é a função gama incompleta inferior.

As principais propriedades da distribuição gama incluem:

1. Média: $E[X] = k\theta$
2. Variância: $Var[X] = k\theta^2$
3. Assimetria: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Curtose: $3 + \frac{6}{k}$

Como Usar Esta Calculadora

1. Insira o parâmetro de forma (k ou α)
2. Insira o parâmetro de escala (θ ou β)
3. Clique em "Calcular" para calcular várias propriedades da distribuição gama
4. Os resultados exibirão a média, variância, assimetria, curtose e outras informações relevantes
5. Uma visualização da função de densidade de probabilidade será exibida

Cálculo

A calculadora usa as fórmulas mencionadas acima para calcular várias propriedades da distribuição gama. Aqui está uma explicação passo a passo:

1. Valide os parâmetros de entrada (tanto k quanto θ devem ser positivos)
2. Calcule a média: $k\theta$
3. Calcule a variância: $k\theta^2$
4. Calcule a assimetria: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Calcule a curtose: $3 + \frac{6}{k}$
6. Calcule o modo: $(k-1)\theta$ para k ≥ 1, caso contrário 0
7. Gere pontos para a curva PDF usando a fórmula dada acima
8. Plote a curva PDF

Considerações Numéricas

Ao implementar os cálculos da distribuição gama, várias considerações numéricas devem ser levadas em conta:

1. Para parâmetros de forma muito pequenos (k < 1), a PDF pode se aproximar do infinito à medida que x se aproxima de 0, o que pode causar instabilidade numérica.
2. Para grandes parâmetros de forma, a função gama Γ(k) pode se tornar muito grande, potencialmente causando overflow. Nesses casos, é aconselhável trabalhar com o logaritmo da função gama.
3. Ao calcular a CDF, muitas vezes é mais numericamente estável usar algoritmos especializados para a função gama incompleta em vez de integração direta da PDF.
4. Para valores extremos de parâmetros, pode ser necessário usar aritmética de precisão estendida para manter a precisão.

Casos de Uso

A distribuição gama tem numerosas aplicações em várias áreas:

1. Finanças: Modelagem de distribuições de renda, montantes de sinistros de seguros e retornos de ativos
2. Meteorologia: Análise de padrões de precipitação e outros fenômenos relacionados ao clima
3. Engenharia: Análise de confiabilidade e modelagem de tempo de falha
4. Física: Descrição de tempos de espera entre eventos de decaimento radioativo
5. Biologia: Modelagem de abundância de espécies e níveis de expressão gênica
6. Pesquisa Operacional: Teoria de filas e gestão de inventário

Alternativas

Embora a distribuição gama seja versátil, existem distribuições relacionadas que podem ser mais apropriadas em certas situações:

1. Distribuição Exponencial: Um caso especial da distribuição gama quando k = 1
2. Distribuição Qui-quadrado: Um caso especial da distribuição gama com k = n/2 e θ = 2
3. Distribuição Weibull: Frequentemente usada como alternativa na análise de confiabilidade
4. Distribuição Log-normal: Outra escolha comum para modelar dados positivos e assimétricos

Estimativa de Parâmetros

Ao trabalhar com dados do mundo real, muitas vezes é necessário estimar os parâmetros da distribuição gama. Métodos comuns incluem:

1. Método dos Momentos: Igualando momentos amostrais a momentos teóricos
2. Estimativa de Máxima Verossimilhança (MLE): Encontrar parâmetros que maximizam a verossimilhança de observar os dados
3. Estimativa Bayesiana: Incorporando conhecimento prévio sobre parâmetros

Teste de Hipóteses

A distribuição gama pode ser usada em vários testes de hipóteses, incluindo:

1. Testes de aderência para determinar se os dados seguem uma distribuição gama
2. Testes para igualdade de parâmetros de escala entre duas distribuições gama
3. Testes para igualdade de parâmetros de forma entre duas distribuições gama

História

A distribuição gama tem uma rica história em matemática e estatística:

• Século XVIII: Leonhard Euler introduziu a função gama, que está intimamente relacionada à distribuição gama
• 1836: Siméon Denis Poisson usou um caso especial da distribuição gama em seu trabalho sobre teoria da probabilidade
• Anos 1920: Ronald Fisher popularizou o uso da distribuição gama na análise estatística
• Meados do século XX: A distribuição gama tornou-se amplamente utilizada em engenharia de confiabilidade e testes de vida
• Final do século XX até o presente: Avanços no poder computacional tornaram mais fácil trabalhar com distribuições gama em várias aplicações

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos de código para calcular propriedades da distribuição gama:

1' Função VBA do Excel para PDF da Distribuição Gama
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Uso:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Distribuição Gama (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Densidade de Probabilidade')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Exemplo de uso:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Calcular propriedades
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Média: {mean}")
29print(f"Variância: {variance}")
30print(f"Assimetria: {skewness}")
31print(f"Curtose: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Média: ${mean}`);
19    console.log(`Variância: ${variance}`);
20    console.log(`Assimetria: ${skewness}`);
21    console.log(`Curtose: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Exemplo de uso:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Plotar PDF (usando uma biblioteca de plotagem hipotética)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Esses exemplos demonstram como calcular propriedades da distribuição gama e visualizar sua função de densidade de probabilidade usando várias linguagens de programação. Você pode adaptar essas funções às suas necessidades específicas ou integrá-las em sistemas de análise estatística maiores.

Referências

1. "Distribuição Gama." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_gama. Acesso em 2 de ago. de 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Distribuições contínuas univariadas, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Distribuições estatísticas. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Uma nota sobre a distribuição gama. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Uma generalização da distribuição gama. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.