Calculadora de Distribuição Gama - Ferramenta de Análise Estatística

O que é uma calculadora de distribuição gama?

Uma calculadora de distribuição gama encontra a média, a variância, a assimetria, a curtose e a moda de uma distribuição gama a partir de duas entradas: um parâmetro de forma e um parâmetro de escala. Ela também desenha a função densidade de probabilidade da distribuição como uma curva.

O que é uma distribuição gama?

A distribuição gama é uma distribuição de probabilidade contínua para valores positivos. Ela é definida por dois parâmetros: um parâmetro de forma, geralmente escrito como k, e um parâmetro de escala, geralmente escrito como θ (teta). Ambos devem ser maiores que zero. A distribuição gama é usada para modelar quantidades que não podem ser negativas, como totais de chuva, valores de sinistros de seguros e o tempo até a falha de uma peça de máquina.

Fórmula da distribuição gama

A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição gama é:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Aqui, x é o valor no qual a densidade é medida, e Γ(k) é a função gama, uma generalização do fatorial para números não inteiros. A fórmula é válida somente para x > 0; a densidade é zero em todos os outros pontos.

Como calcular as propriedades da distribuição gama

A partir do parâmetro de forma k e do parâmetro de escala θ, a calculadora encontra:

• Média: k × θ
• Variância: k × θ²
• Assimetria: 2 / √k
• Curtose: 3 + 6 / k
• Moda: (k − 1) × θ quando k ≥ 1; caso contrário, 0

A assimetria mede o quanto a curva é desequilibrada. Um k menor produz uma cauda direita mais longa. A curtose mede o peso das caudas em comparação com uma distribuição normal, que tem curtose igual a 3. A moda é o valor de x no qual a curva atinge seu pico. Quando k é menor que 1, a densidade continua aumentando à medida que x se aproxima de 0. Portanto, não há um pico interior, e a calculadora informa uma moda igual a 0.

Exemplo resolvido

Considere um parâmetro de forma k = 2 e um parâmetro de escala θ = 3.

• Média = 2 × 3 = 6
• Variância = 2 × 3² = 18
• Assimetria = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Curtose = 3 + 6 / 2 = 6
• Moda = (2 − 1) × 3 = 3

Na moda, x = 3, a densidade resulta em f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. A calculadora traça automaticamente a curva completa assim que os dois parâmetros são informados.

Como usar a calculadora de distribuição gama

1. Informe o parâmetro de forma (k), um número positivo.
2. Informe o parâmetro de escala (θ), um número positivo.
3. A média, a variância, a assimetria, a curtose e a moda aparecem assim que os dois campos contêm números válidos. Não há um botão separado de cálculo; os resultados são atualizados conforme os números são informados.
4. O gráfico abaixo dos resultados mostra a função densidade de probabilidade. Ele é desenhado desde um valor pouco acima de x = 0 até o maior destes valores: três vezes a média ou cinco vezes o parâmetro de escala.

Os dois parâmetros devem ser números finitos maiores que 0, e nenhum deles pode ser maior que 1.000. Valores menores que aproximadamente 2 × 10⁻¹⁶ também são rejeitados, pois os números resumidos deixam de ser significativos nesse tamanho. Um valor fora do intervalo aceito produz uma mensagem de erro em vez dos resultados.

Onde a distribuição gama é usada

A distribuição gama modela muitas quantidades reais que são sempre positivas e frequentemente apresentam assimetria à direita:

• Seguros: valores de sinistros e pagamentos
• Meteorologia: totais de chuva em um período fixo
• Engenharia: tempo até a falha de um componente
• Teoria das filas: tempos de espera formados por várias etapas exponenciais
• Biologia: níveis de expressão gênica e dados de contagem de espécies

Distribuições relacionadas

Duas distribuições conhecidas são casos especiais da distribuição gama:

• Distribuição exponencial: uma distribuição gama com k = 1
• Distribuição qui-quadrado: uma distribuição gama com k = n/2 e θ = 2, em que n representa os graus de liberdade

As distribuições de Weibull e log-normal são alternativas comuns para modelar dados positivos e assimétricos.

Perguntas frequentes

Para que serve a distribuição gama?
Ela modela quantidades contínuas e positivas, como tempos de espera, volumes de chuva e sinistros de seguros, especialmente quando os dados tendem para valores grandes.

Como encontrar a média de uma distribuição gama?
Multiplique o parâmetro de forma pelo parâmetro de escala: média = k × θ. Para k = 2 e θ = 3, a média é 6.

Qual é a diferença entre os parâmetros de forma e de escala?
O parâmetro de forma (k) controla o formato da curva, incluindo sua assimetria. O parâmetro de escala (θ) alonga ou comprime a curva ao longo do eixo x sem alterar seu formato básico.

Qual é a relação entre a distribuição gama e a distribuição exponencial?
A distribuição exponencial é a distribuição gama com parâmetro de forma k = 1.

A distribuição gama pode assumir valores negativos?
Não. Ela é definida somente para x > 0. Dados que podem ser negativos precisam de outra distribuição, como a distribuição normal.

Esta calculadora calcula a função de distribuição acumulada?
Não. Ela calcula a média, a variância, a assimetria, a curtose e a moda, além de traçar a função densidade de probabilidade. Ela não fornece valores de probabilidade acumulada.

Referências

1. "Distribuição gama." Wikipédia, Fundação Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.