Calculadora de Distribuição Gama - Ferramenta de Análise Estatística

O que é uma calculadora de distribuição gama?

Uma calculadora de distribuição gama encontra a média, a variância, a assimetria, a curtose e a moda de uma distribuição gama a partir de duas entradas: um parâmetro de forma e um parâmetro de escala. Ela também desenha a função densidade de probabilidade da distribuição como uma curva.

O que é a distribuição gama?

A distribuição gama é uma distribuição de probabilidade contínua para valores positivos. É definida por dois parâmetros: um parâmetro de forma, geralmente escrito como k, e um parâmetro de escala, geralmente escrito como θ (teta). Ambos devem ser maiores que zero. A distribuição gama é usada para modelar grandezas que não podem ser negativas, como totais de chuva, valores de sinistros de seguros e o tempo até que uma peça de máquina falhe.

Fórmula da distribuição gama

A função densidade de probabilidade (FDP) da distribuição gama é:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Aqui, x é o valor em que a densidade é medida, e Γ(k) é a função gama, uma generalização do fatorial para números não inteiros. A fórmula só vale para x > 0; a densidade é zero em todos os outros pontos.

Como calcular as propriedades da distribuição gama

A partir do parâmetro de forma k e do parâmetro de escala θ, a calculadora encontra:

• Média: k × θ
• Variância: k × θ²
• Assimetria: 2 / √k
• Curtose: 3 + 6 / k
• Moda: (k − 1) × θ quando k ≥ 1; caso contrário, 0

A assimetria mede o quanto a curva é desequilibrada. Um k menor produz uma cauda direita mais longa. A curtose mede o peso das caudas em comparação com uma distribuição normal, cuja curtose é 3. A moda é o valor de x em que a curva atinge o pico. Quando k é menor que 1, a densidade continua subindo à medida que x se aproxima de 0, de modo que não há pico interno, e a calculadora informa uma moda de 0.

Exemplo resolvido

Considere um parâmetro de forma k = 2 e um parâmetro de escala θ = 3.

• Média = 2 × 3 = 6
• Variância = 2 × 3² = 18
• Assimetria = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Curtose = 3 + 6 / 2 = 6
• Moda = (2 − 1) × 3 = 3

Na moda, x = 3, a densidade resulta em f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. A calculadora traça a curva completa automaticamente assim que os dois parâmetros são informados.

Como usar a calculadora de distribuição gama

1. Informe o parâmetro de forma (k), um número positivo.
2. Informe o parâmetro de escala (θ), um número positivo.
3. A média, a variância, a assimetria, a curtose e a moda aparecem assim que os dois campos contêm números válidos. Não há botão de calcular separado; os resultados são atualizados conforme os números são digitados.
4. O gráfico abaixo dos resultados mostra a função densidade de probabilidade em um intervalo de valores de x.

Os dois parâmetros devem ser números positivos e finitos. A ferramenta aceita valores de até 1000 para cada parâmetro.

Onde a distribuição gama é usada

A distribuição gama modela muitas grandezas reais que são sempre positivas e, em geral, assimétricas à direita:

• Seguros: valores de sinistros e de indenizações
• Meteorologia: totais de chuva em um período fixo
• Engenharia: tempo até a falha de um componente
• Teoria das filas: tempos de espera formados por várias etapas exponenciais
• Biologia: níveis de expressão gênica e dados de contagem de espécies

Distribuições relacionadas

Duas distribuições conhecidas são casos particulares da distribuição gama:

• Distribuição exponencial: uma distribuição gama com k = 1
• Distribuição qui-quadrado: uma distribuição gama com k = n/2 e θ = 2, em que n é o número de graus de liberdade

As distribuições de Weibull e log-normal são alternativas comuns para modelar dados positivos e assimétricos.

Perguntas frequentes

Para que serve a distribuição gama? Ela modela grandezas contínuas e positivas, como tempos de espera, volumes de chuva e sinistros de seguros, especialmente quando os dados se concentram em valores altos.

Como encontrar a média de uma distribuição gama? Multiplique o parâmetro de forma pelo parâmetro de escala: média = k × θ. Para k = 2 e θ = 3, a média é 6.

Qual é a diferença entre os parâmetros de forma e de escala? O parâmetro de forma (k) controla o formato da curva, inclusive a assimetria. O parâmetro de escala (θ) estica ou comprime a curva ao longo do eixo x sem alterar o seu formato básico.

Como a distribuição gama se relaciona com a distribuição exponencial? A distribuição exponencial é a distribuição gama com parâmetro de forma k = 1.

A distribuição gama pode assumir valores negativos? Não. Ela é definida apenas para x > 0. Dados que podem ser negativos exigem outra distribuição, como a distribuição normal.

Esta calculadora calcula a função de distribuição acumulada? Não. Ela calcula a média, a variância, a assimetria, a curtose e a moda, e traça a função densidade de probabilidade. Não informa valores de probabilidade acumulada.

Referências

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.11 Gamma Distribution. Distribuição gama — a FDP gama, assimetria 2/√γ, curtose 3 + 6/γ e moda γ − 1 para γ ≥ 1 (forma padrão).