Calculadora de Frequência por Semitom - Transponha a Altura por Semitons e Cents

O que é uma calculadora de frequência de semitons?

Uma calculadora de frequência de semitons converte intervalos musicais em frequências sonoras medidas em hertz (Hz), e vice-versa. Ela funciona em duas direções. Pode receber uma frequência inicial e deslocá-la para cima ou para baixo por determinado número de semitons e cents, informando a nova frequência e a nota musical mais próxima. Também pode receber duas frequências e informar o intervalo entre elas em semitons e cents.

Um semitom é o menor intervalo da música ocidental tradicional, a distância entre uma tecla de piano e a tecla imediatamente seguinte, preta ou branca. Uma oitava contém 12 semitons. Um cent é uma unidade ainda menor: um centésimo de semitom; portanto, uma oitava contém 1200 cents. Os cents permitem que músicos meçam diferenças de altura pequenas demais para serem ouvidas como uma mudança distinta de nota, como um ligeiro desafinamento.

Como calcular a frequência de um passo de semitom

A calculadora usa o temperamento igual, a afinação padrão dos pianos, violões e da maioria dos instrumentos ocidentais modernos. No temperamento igual, a oitava é dividida em 12 passos iguais, portanto todos os semitons têm exatamente o mesmo tamanho.

Para deslocar uma frequência inicial $f_0$ para cima em $n$ semitons e $c$ cents:

$f = f_0 \times 2^{(n + c/100)/12}$

Um valor positivo de $n$ eleva a altura, e um valor negativo de $n$ a reduz. O campo de cents é um ajuste fino; 100 cents equivalem a um semitom, portanto inserir 100 cents produz o mesmo efeito que adicionar 1 à contagem de semitons.

A razão do temperamento igual

Cada passo de semitom multiplica a frequência por:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

Multiplique uma frequência por 1,059463 e ela subirá um semitom. Faça isso 12 vezes e a frequência dobrará, o que corresponde a uma oitava:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

A nota mais próxima

Junto com a frequência, a calculadora informa a nota mais próxima no temperamento igual, usando A4 = 440 Hz como referência. Ela converte a frequência em um número de nota MIDI, arredonda-o para o número inteiro mais próximo e então identifica o nome da nota e a oitava:

$m = \operatorname{round}\left(69 + 12 \times \log_2\left(\frac{f}{440}\right)\right)$

Os nomes das notas usam a notação científica de alturas, na qual o número indica a oitava: A4 é o lá de concerto em 440 Hz, e C4 é o dó central. Como o valor é arredondado, uma frequência entre duas notas é informada como a nota que estiver mais próxima.

Como calcular semitons entre duas frequências

O segundo modo executa a mesma relação no sentido inverso. O número de semitons $n$ entre duas frequências é:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Aqui, $f_1$ é a frequência inicial em Hz e $f_2$ é a frequência final. Como um semitom equivale a 100 cents, a versão em cents multiplica a mesma razão por 1200:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Um resultado positivo significa que a segunda frequência é mais alta que a primeira. Um resultado negativo significa que ela é mais baixa.

Por que a fórmula usa um logaritmo

A audição humana avalia a altura pela razão entre frequências, não pela diferença bruta em Hz. Dobrar uma frequência sempre produz o mesmo salto sonoro, uma oitava, independentemente do ponto de partida.

• 110 Hz a 220 Hz corresponde a uma oitava (12 semitons)
• 220 Hz a 440 Hz corresponde a uma oitava (12 semitons)
• 440 Hz a 880 Hz corresponde a uma oitava (12 semitons)

Cada par tem uma diferença diferente em Hz, mas a mesma razão; por isso, é necessário um logaritmo para transformar essa razão em uma escala estável e linear de semitons.

Como usar a calculadora

Primeiro, escolha um modo de cálculo.

Frequência a partir de semitons. Insira a frequência de base em Hz, o número de semitons a percorrer (negativo para descer) e um ajuste opcional em cents. A calculadora retorna a nova frequência em Hz e a nota mais próxima.

Intervalo entre frequências. Insira duas frequências em Hz. A calculadora retorna o intervalo da primeira para a segunda, em semitons e em cents.

Toda frequência inserida deve ser maior que zero. Uma frequência zero ou negativa não tem altura, portanto a calculadora informa um erro em vez de apresentar um resultado.

Exemplo prático

Elevando uma altura por semitons

O dó central tem uma frequência de aproximadamente 261,63 Hz. Elevando-o em 7 semitons:

• Frequência = 261,63 × 2^(7/12) ≈ 261,63 × 1,059463^7 ≈ 392,00 Hz.
• Nota mais próxima: G4.

Sete semitons formam uma quinta justa, um dos intervalos mais comuns na música; portanto, o sol acima do dó central é a resposta esperada.

Adicionando um ajuste em cents

Partindo do lá de concerto em 440 Hz, com 0 semitons e um ajuste de 50 cents:

• Frequência = 440 × 2^(50/1200) ≈ 452,89 Hz.

Cinquenta cents correspondem à metade de um semitom, ou a um quarto de tom. O valor fica no ponto intermediário entre A4 e A#4; por isso, a indicação da nota mais próxima é apenas uma aproximação para uma altura desse tipo.

Medindo o intervalo entre duas frequências

Inserindo as mesmas duas notas no segundo modo, com 261,63 Hz primeiro e 392,00 Hz segundo:

• Semitons = 12 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 7,00.
• Cents = 1200 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 699,99.

O resultado fica uma fração de cent abaixo de 700 exatos porque 261,63 Hz e 392,00 Hz são valores arredondados.

Medindo um pequeno erro de altura

Os cents são úteis para pequenas discrepâncias. Suponha que uma sala tenha uma ressonância indesejada em 147 Hz e que um engenheiro esteja trabalhando em uma faixa construída em torno da nota ré, cuja frequência fundamental padrão é 146,83 Hz.

• Cents = 1200 × log₂(147 / 146,83) ≈ 2,00 cents.

A ressonância está cerca de 2 cents acima do ré, uma diferença pequena demais para que a maioria dos ouvintes a perceba como uma altura diferente, mas ainda mensurável e digna de atenção no tratamento acústico de uma sala.

Intervalos musicais comuns

A tabela lista os nomes padrão dos intervalos no temperamento igual, com seu tamanho em semitons, cents, razão de frequências e a altura resultante ao partir de A440 (440 Hz).

Esses valores se aplicam somente ao temperamento igual. Outros sistemas de afinação posicionam os mesmos nomes de intervalos em frequências ligeiramente diferentes.

Sistemas de afinação alternativos

O temperamento igual é o padrão moderno, mas não é a única forma de afinar a música e não está perfeitamente alinhado à física do som.

Afinação justa constrói intervalos a partir de razões simples entre números inteiros, como 3:2 para uma quinta justa ou 5:4 para uma terça maior. Essas razões soam perfeitamente suaves juntas, sem batimentos audíveis, mas diferem do temperamento igual em até cerca de 16 cents, dependendo do intervalo. Uma terça maior justa (5:4) é cerca de 14 cents mais baixa que a terça maior no temperamento igual.

A afinação pitagórica constrói uma escala inteiramente a partir de quintas justas empilhadas (razão 3:2). Suas quintas são puras e sem batimentos, mas suas terças maiores ficam cerca de 8 cents mais altas que as terças maiores no temperamento igual. Em comparação com a terça maior pura 5:4 da afinação justa, a terça pitagórica é ainda mais alta, por quase 22 cents; essa diferença é conhecida como coma sintônica. A afinação pitagórica era comum na música medieval e no início do Renascimento.

O temperamento mesotônico estreita ligeiramente as quintas justas para que as terças maiores sejam puras. Foi amplamente usado do Renascimento ao início do período barroco e se adapta à música que permanece em um pequeno conjunto de tonalidades próximas.

Os sistemas microtonais dividem a oitava em mais de 12 passos; escolhas comuns são 19, 24, 31 ou 53 passos. Eles aparecem na música experimental e em algumas músicas não ocidentais.

Usos práticos

• Produção musical: transposição de samples, afinação dos osciladores de sintetizadores e verificação de que os sons sobrepostos estejam afinados entre si.
• Engenharia de áudio: relacionar bandas de equalizadores ou ressonâncias de salas a notas musicais, como no exemplo de ressonância de sala acima.
• Construção de instrumentos: fabricantes de violões posicionam os trastes usando a constante 17,817, derivada de $2^{1/12}$, de modo que cada traste eleve a altura em um semitom. Construtores de órgãos e fabricantes de sinos usam a mesma matemática para planejar o comprimento dos tubos e afinar os sinos.
• Pesquisa e educação: estudar como os seres humanos percebem a altura, analisar vocalizações de animais ou ensinar logaritmos e a física do som.

Dúvidas frequentes

Como calcular a frequência a uma determinada quantidade de semitons de distância?

Multiplique a frequência inicial por 2 elevado à potência correspondente à contagem de semitons dividida por 12: f = f₀ × 2^(n/12). Para incluir um ajuste em cents, adicione os cents divididos por 100 à contagem de semitons antes de dividir por 12.

Como calcular semitons a partir de duas frequências?

Divida a segunda frequência pela primeira, calcule o logaritmo de base 2 dessa razão e multiplique por 12: n = 12 × log₂(f₂/f₁). Multiplique por 1200 em vez de 12 para obter a resposta em cents.

Qual é a diferença entre um semitom e um cent?

Um semitom é o intervalo padrão entre notas adjacentes na música ocidental, como as teclas vizinhas de um piano. Um cent equivale a 1/100 de um semitom; portanto, há 1200 cents em uma oitava. Os cents oferecem uma escala mais precisa para medir pequenas diferenças de altura que ficam entre semitons.

Quantos Hz tem um semitom?

Não há um número fixo de Hz por semitom. Um semitom é uma razão, aproximadamente 1,059463, e não uma diferença fixa de frequência; portanto, seu tamanho em Hz depende da altura inicial. Um semitom acima de 440 Hz é 466,16 Hz, um aumento de 26,16 Hz. Um semitom acima de 220 Hz é 233,08 Hz, um aumento de apenas 13,08 Hz.

Qual frequência fica 12 semitons acima de 440 Hz?

880 Hz. Doze semitons formam uma oitava, e uma oitava sempre significa dobrar a frequência, qualquer que seja a altura inicial.

Como os números de nota MIDI se relacionam com os semitons?

Cada número de nota MIDI está a um semitom de seus vizinhos. O dó central é a nota MIDI 60, e A440 é a nota MIDI 69. A frequência resulta de um número de nota MIDI pela fórmula f = 440 × 2^((m − 69)/12), que é a fórmula invertida pela calculadora para identificar a nota mais próxima.

Por que alguns intervalos no temperamento igual soam ligeiramente desafinados?

O temperamento igual divide a oitava em 12 passos idênticos para que a música possa transitar livremente entre tonalidades, mas esse compromisso afasta ligeiramente a maioria dos intervalos das razões puras entre números inteiros da afinação justa. A terça maior no temperamento igual, por exemplo, é cerca de 14 cents mais alta que a terça maior pura 5:4. Ouvintes treinados às vezes conseguem perceber isso, embora a maioria das pessoas não note a diferença em uma audição normal.

Qual precisa ser a precisão de uma medição de frequência para a afinação?

Para fins musicais cotidianos, uma precisão de aproximadamente 5 cents geralmente é suficiente, próxima do limite médio de discriminação de alturas. A afinação profissional de instrumentos normalmente busca cerca de 2 cents, e alguns músicos treinados conseguem detectar diferenças de apenas 1 cent em boas condições.