Calculadora de Diagrama de Caixa - Gerador Gratuito de Gráficos de Caixa e Bigodes

O que é um gráfico de caixa?

Um gráfico de caixa, também chamado de diagrama de caixa e bigodes, é um gráfico que resume um conjunto de números usando cinco valores: o mínimo, o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e o máximo. Ele mostra onde está a maior parte dos dados e sinaliza quaisquer valores incomuns, chamados de valores discrepantes, sem listar cada ponto de dados.

Gráficos de caixa são comuns em estatística, ciência e relatórios empresariais porque permitem comparar vários grupos de números rapidamente.

O resumo de cinco números

Um gráfico de caixa é construído a partir de cinco números, calculados depois que os dados são ordenados do menor para o maior.

• Mínimo: o menor valor que não é um valor atípico.
• Primeiro quartil (Q1): o valor abaixo do qual está aproximadamente um quarto dos dados.
• Mediana (Q2): o valor central do conjunto de dados.
• Terceiro quartil (Q3): o valor abaixo do qual estão aproximadamente três quartos dos dados.
• Máximo: o maior valor que não é um valor atípico.

A caixa do gráfico se estende de Q1 a Q3. Uma linha dentro da caixa marca a mediana. Linhas finas, chamadas de bigodes, saem da caixa em direção ao mínimo e ao máximo. Quaisquer valores discrepantes são desenhados como pontos separados além dos bigodes.

Fórmula do gráfico de caixa

Para um conjunto de dados ordenado em ordem crescente com n valores:

Mediana

$$\text{Mediana} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{if } n \text{ é ímpar} \\ \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{if } n \text{ é par} \end{cases}$$

Quartis. Divida os dados ordenados em uma metade inferior e uma metade superior. Se n for ímpar, exclua a própria mediana das duas metades. Então:

$$Q_1 = \text{mediana da metade inferior}, \qquad Q_3 = \text{mediana da metade superior}$$

Esse método costuma ser chamado de método exclusivo. Existem outros métodos, que podem produzir valores de Q1 e Q3 ligeiramente diferentes para conjuntos de dados pequenos, mas esta é a abordagem usada por esta calculadora.

Amplitude interquartil (AIQ)

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Cercas e hastes. As cercas marcam o limite para os valores atípicos. Elas ficam a 1,5 vez a amplitude interquartil (IQR) além dos quartis:

$$\text{Cerca inferior} = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad \text{Cerca superior} = Q_3 + 1.5 \times IQR$$

Uma haste não termina exatamente em uma cerca. Ela termina no ponto de dados mais extremo que ainda fica dentro das cercas:

$$\text{Haste inferior} = \min\{x_i : x_i \geq \text{Cerca inferior}\}, \qquad \text{Haste superior} = \max\{x_i : x_i \leq \text{Cerca superior}\}$$

Valores discrepantes. Qualquer valor abaixo do limite inferior ou acima do limite superior é discrepante e é representado como um ponto individual, em vez de ser incorporado ao bigode.

Como calcular um gráfico de caixa passo a passo

1. Ordene os dados do menor para o maior.
2. Encontre a mediana. Quando a quantidade é ímpar, ela é o valor central. Quando a quantidade é par, ela é a média dos dois valores centrais.
3. Encontre Q1: a mediana da metade inferior dos dados (a própria mediana é excluída quando a quantidade é ímpar).
4. Encontre Q3: a mediana da metade superior dos dados, usando a mesma regra.
5. Calcule a AIQ como Q3 menos Q1.
6. Calcule os limites inferior e superior multiplicando a AIQ por 1,5.
7. Marque qualquer valor fora dos limites como um valor atípico.
8. Defina os bigodes como os menores e maiores valores que permanecem dentro dos limites.

Exemplo

Considere este conjunto de dados com 11 valores: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Ele já está ordenado.

Com 11 valores (ímpar), a mediana é o 6.º valor: 40.

A metade inferior é 6, 7, 15, 36, 39 (cinco valores, com a mediana excluída). Sua mediana é o valor central: Q1 = 15.

A metade superior é 41, 42, 43, 47, 49. Sua mediana é o valor central: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Limite inferior = 15 − 1,5 × 28 = −27. Limite superior = 43 + 1,5 × 28 = 85. Todos os valores do conjunto de dados estão entre −27 e 85, portanto não há valores atípicos, e os bigodes alcançam o mínimo e o máximo reais: mín. = 6, máx. = 49.

Agora compare um conjunto de dados com um valor atípico: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Aqui, Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 e AIQ = 6, e o limite superior é 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. O valor 50 fica acima desse limite, portanto é plotado como um valor atípico, e o bigode superior termina em 11, o maior valor que ainda está dentro do limite, em vez de terminar em 50.

Como ler um gráfico de caixa

A caixa cobre os 50% centrais dos dados; assim, uma caixa larga significa que a parte central dos dados está dispersa, enquanto uma caixa estreita significa que ela está concentrada. Se a linha da mediana estiver mais próxima de uma borda da caixa, os dados tendem, ou são assimétricos, para o lado mais longo. Um bigode muito mais longo que o outro sugere que os dados se estendem mais nesse lado. Pontos além dos bigodes são valores discrepantes e muitas vezes merecem uma análise mais cuidadosa, pois podem ser valores extremos reais ou erros nos dados.

Usos comuns

Gráficos de caixa são usados para comparar grupos lado a lado, como notas de provas de várias turmas, tempos de entrega de dois fornecedores ou medições de um experimento em comparação com um grupo de controle. Como um gráfico de caixa condensa uma distribuição inteira em cinco números, vários deles podem ser alinhados em um único gráfico, o que torna mais fácil comparar a dispersão e os valores típicos entre grupos do que em uma tabela de números brutos.

Gráficos de caixa em comparação com outros gráficos

Um histograma mostra a forma completa de uma distribuição com mais detalhes, mas é mais difícil de usar ao comparar muitos grupos de uma só vez. Um gráfico de violino adiciona uma curva de densidade ao redor da caixa, mostrando com mais precisão onde os valores se concentram. Um gráfico de dispersão mostra a relação entre duas variáveis, algo que um gráfico de caixa não consegue fazer. A escolha depende de o objetivo ser comparar grupos (gráfico de caixa), ver em detalhes a forma de uma distribuição (histograma ou gráfico de violino) ou estudar uma relação (gráfico de dispersão).

História

O estatístico John Tukey apresentou o diagrama de caixa em 1970, em uma edição preliminar de seu livro Exploratory Data Analysis. Ele se tornou amplamente conhecido depois que o livro foi publicado oficialmente em 1977. Tukey chamava sua versão de gráfico esquemático. Ela já usava cercas a 1,5 vez a dispersão da metade central dos dados e desenhava separadamente, como valores atípicos, os pontos além delas. Em 1978, os estatísticos McGill, Tukey e Larsen descreveram uma versão com entalhe, que mostra um intervalo de confiança em torno da mediana.

Perguntas frequentes

Para que serve um gráfico de caixa? Ele mostra como um conjunto de números está distribuído e sinaliza possíveis valores discrepantes usando o mínimo, Q1, a mediana, Q3 e o máximo. É especialmente útil para comparar vários grupos em um único gráfico.

Como ler um gráfico de caixa? A caixa se estende de Q1 a Q3, cobrindo a metade central dos dados. A linha dentro da caixa é a mediana. Os bigodes alcançam os valores mais extremos que não são discrepantes, e quaisquer valores além dos bigodes são desenhados como pontos separados.

Como identificar valores discrepantes em um gráfico de caixa? Um valor é discrepante se estiver abaixo de Q1 − 1,5 × AIQ ou acima de Q3 + 1,5 × AIQ.

Qual é a diferença entre um gráfico de caixa e um histograma? Um gráfico de caixa condensa uma distribuição em cinco números e valores discrepantes, o que o torna compacto e adequado para comparar grupos. Um histograma mostra a frequência dos valores em diferentes intervalos, fornecendo mais detalhes sobre a forma de uma única distribuição.

Esta calculadora lida com conjuntos de dados pequenos? Esta calculadora precisa de pelo menos cinco números para produzir um resumo de cinco números. Gráficos de caixa são mais informativos com conjuntos de dados maiores, pois um pequeno conjunto de valores oferece pouca noção de dispersão ou de valores discrepantes.

O que significa quando um gráfico de caixa parece assimétrico? Se a mediana estiver mais próxima de Q1, os dados terão uma cauda mais longa na extremidade superior. Se estiver mais próxima de Q3, os dados terão uma cauda mais longa na extremidade inferior.

Referências

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.3.7 Box Plot. NIST e-Handbook: diagrama de caixa — a caixa abrange os 50% centrais dos dados; com cercas, as hastes terminam nos pontos mais extremos dentro das cercas internas.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 7.1.6 What are outliers in the data?. NIST e-Handbook: valores atípicos — cercas internas em Q1 − 1,5 × IQR e Q3 + 1,5 × IQR; os pontos além delas são valores atípicos.
3. Wickham, H. and Stryjewski, L. 40 years of boxplots (2011). 40 anos de diagramas de caixa (PDF) — Tukey apresentou o diagrama de caixa em 1970 e o publicou oficialmente em 1977; seu gráfico esquemático usava cercas de 1,5 ×; o diagrama de caixa com entalhe de McGill, Tukey e Larsen, de 1978, mostra intervalos de confiança em torno da mediana.