Calculadora de Teste Z - Ferramenta Gratuita de Significância Estatística

O que é um teste z?

O teste z é um teste estatístico que verifica se a média de uma amostra difere significativamente de uma média populacional conhecida, quando o desvio padrão da população já é conhecido. Ele produz um único número, o escore z, que mostra a quantos desvios padrão a média da amostra está da média populacional. Pesquisadores, inspetores de qualidade e analistas o usam para julgar se uma diferença observada provavelmente é real ou apenas resultado do acaso.

Fórmula do teste Z

O teste z calcula um escore z com esta fórmula, a estatística de teste para quando o desvio padrão é conhecido apresentada no NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ é a média da amostra
• $\mu$ é a média populacional
• $\sigma$ é o desvio padrão populacional
• $n$ é o tamanho da amostra

A parte de baixo da fórmula, $\sigma / \sqrt{n}$, é chamada de erro padrão. Ela mede o quanto se espera que as médias amostrais variem apenas por amostragem aleatória.

Como calcular um teste z passo a passo

1. Encontre a média da amostra ($\bar{x}$) a partir dos dados coletados.
2. Identifique a média populacional conhecida ($\mu$).
3. Identifique o desvio padrão populacional conhecido ($\sigma$).
4. Conte o tamanho da amostra ($n$).
5. Subtraia $\mu$ de $\bar{x}$.
6. Divida $\sigma$ pela raiz quadrada de $n$ para obter o erro padrão.
7. Divida o resultado do passo 5 pelo resultado do passo 6. A resposta é o escore z.

Exemplo prático

Uma fábrica diz que seus parafusos têm em média 10 cm de comprimento, com desvio padrão populacional de 0,2 cm. Um inspetor mede 100 parafusos e encontra uma média amostral de 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Erro padrão: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Escore z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

O escore z é 2,5. A média da amostra está 2,5 erros padrão acima da média populacional.

Como interpretar um escore z

Um escore z próximo de 0 significa que a média da amostra está perto da média populacional. Um escore z positivo ou negativo grande significa que a média da amostra está longe da média populacional, o que indica uma diferença real e não o acaso.

Valores críticos comuns da distribuição normal, para um teste bilateral:

• α = 0,10 (confiança de 90%): z = ±1,645
• α = 0,05 (confiança de 95%): z = ±1,96
• α = 0,01 (confiança de 99%): z = ±2,576

Se o escore z calculado estiver além do valor crítico para o nível de significância escolhido, o resultado é chamado de estatisticamente significativo, e a hipótese nula (de que não há diferença) é rejeitada.

No exemplo resolvido, z = 2,5 está além de ±1,96, então a diferença é estatisticamente significativa no nível de 0,05. O valor-p bilateral para z = 2,5 é de cerca de 1,24%, ou seja, há aproximadamente 1 chance em 80 de observar uma diferença tão grande se o comprimento médio real dos parafusos fosse de fato 10 cm.

Quando usar um teste z

O teste z é apropriado quando:

• O desvio padrão populacional é conhecido.
• O tamanho da amostra é razoavelmente grande, geralmente mais de 30.
• Os dados vêm de amostragem aleatória.
• A população tem distribuição normal, ou a amostra é grande o bastante para que o Teorema Central do Limite se aplique.

Se o desvio padrão populacional for desconhecido, ou a amostra for pequena, usa-se um teste t. O teste t estima a variabilidade a partir da própria amostra e leva em conta a incerteza adicional que isso causa.

Teste z versus teste t

Ambos os testes medem a distância entre a média de uma amostra e um valor esperado, em unidades de erro padrão. O teste z pressupõe que o desvio padrão populacional é conhecido. O teste t estima esse valor a partir da amostra e usa uma distribuição mais larga, que depende do tamanho da amostra, para levar em conta a incerteza extra. Na prática, o teste t é usado com mais frequência. O NIST descreve o caso em que o desvio padrão precisa ser estimado a partir dos dados como o mais típico.

Usos do teste z no mundo real

• Controle de qualidade: verificar se um lote de peças fabricadas corresponde à especificação-alvo.
• Pesquisa médica: comparar o resultado médio de um grupo de tratamento com um valor populacional conhecido.
• Educação: comparar as notas de uma turma com a média nacional.
• Finanças: verificar se os retornos de um fundo diferem de uma média de referência.

História

A distribuição normal por trás do teste z foi descrita por Abraham de Moivre, que a usou em 1733 como aproximação da distribuição binomial. Carl Friedrich Gauss e Pierre-Simon Laplace desenvolveram a teoria mais a fundo no início dos anos 1800. Os métodos formais de teste de hipóteses, incluindo o uso de escores z e valores críticos para julgar a significância estatística, foram desenvolvidos no início do século 20 por estatísticos como Ronald Fisher, Jerzy Neyman e Egon Pearson.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre um teste z e um teste t?

O teste z exige um desvio padrão populacional conhecido e funciona melhor com amostras grandes. O teste t é usado quando o desvio padrão populacional é desconhecido e precisa ser estimado a partir da amostra; funciona tanto com amostras pequenas quanto com grandes.

Que tamanho de amostra um teste z exige?

Um tamanho de amostra acima de 30 é a regra prática comum. Abaixo disso, os resultados de um teste z se tornam pouco confiáveis, e um teste t costuma ser a melhor escolha.

O que significa um escore z de 2,5?

Um escore z de 2,5 significa que a média da amostra está 2,5 erros padrão acima da média populacional. Isso está além do valor crítico bilateral de ±1,96 para confiança de 95%, então a diferença é estatisticamente significativa nesse nível. O valor-p bilateral para z = 2,5 é de cerca de 1,24%.

O que é o valor-p em um teste z?

O valor-p é a probabilidade de obter um resultado pelo menos tão extremo quanto o observado, se realmente não houvesse diferença em relação à média populacional. Um valor-p menor é uma evidência mais forte contra a hipótese nula. Um valor-p abaixo de 0,05 costuma ser tratado como estatisticamente significativo.

O que é a hipótese nula em um teste z?

A hipótese nula afirma que não há diferença entre a média da amostra e a média populacional. O teste z mede quanta evidência a amostra fornece contra essa afirmação.

Um teste z pode ser usado em amostras pequenas?

Não é recomendado. Com uma amostra pequena, ou com desvio padrão populacional desconhecido, um teste t dá resultados mais precisos, pois leva em conta a incerteza adicional de estimar a variabilidade a partir de poucos dados.

Referências

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, seção 7.2.2 "Are the data consistent with the assumed process mean?". NIST e-Handbook 7.2.2 — z = (Ȳ − μ₀)/(σ/√N) quando o desvio padrão é conhecido; estimá-lo a partir dos dados é o caso mais típico.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, seção 1.3.6.7.1 "Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution". NIST e-Handbook 1.3.6.7.1 — valores críticos 1,282, 1,645, 1,960, 2,326 e 2,576; a área de 0 a 2,5 é 0,49379.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. MacTutor: Abraham de Moivre — de Moivre deduziu a curva normal em 1733 como aproximação da binomial.