Calculadora de Distribuição de Poisson - Calcule Probabilidades de Eventos

O que é uma calculadora da distribuição de Poisson?

Uma calculadora da distribuição de Poisson encontra a probabilidade de que um determinado número de eventos ocorra em um período fixo de tempo ou espaço, considerando a frequência média desses eventos. Ela é usada quando os eventos ocorrem um de cada vez, independentemente uns dos outros, a uma taxa média constante. Exemplos típicos incluem o número de ligações recebidas por uma central de atendimento em uma hora ou o número de erros de digitação em uma página.

Fórmula da distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson fornece a probabilidade de exatamente k eventos quando a taxa média é λ (a letra grega lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Cada símbolo significa:

• λ (lambda) — o número médio de eventos por intervalo. É o único parâmetro da distribuição.
• k — o número exato de eventos cuja probabilidade está sendo calculada. Deve ser um número inteiro, 0 ou maior.
• e — o número de Euler, aproximadamente igual a 2,71828.
• k! — “fatorial de k”, o produto de todos os números inteiros de 1 até k. Por exemplo, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Por convenção, 0! = 1.

A fórmula precisa apenas de λ e k. Ela não precisa de um número total de tentativas, ao contrário da distribuição binomial.

Como calcular uma probabilidade de Poisson

1. Escolha λ, o número médio de eventos no intervalo estudado.
2. Escolha k, o número exato de eventos cuja probabilidade deve ser encontrada.
3. Eleve e à potência de −λ: isso resulta em e^(−λ).
4. Eleve λ à potência de k: isso resulta em λ^k.
5. Encontre k!, o fatorial de k.
6. Multiplique os resultados das etapas 3 e 4 e depois divida pelo resultado da etapa 5.

O número obtido é uma probabilidade entre 0 e 1. Multiplique-o por 100 para expressá-lo como porcentagem.

Exemplo prático

Uma central de atendimento recebe, em média, 5 ligações por hora (λ = 5). Qual é a probabilidade de receber exatamente 3 ligações em uma determinada hora (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multiplique: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Divida por 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

A probabilidade de exatamente 3 ligações naquela hora é aproximadamente 0,140, ou 14%.

Mais exemplos

Onde a distribuição de Poisson é usada

A distribuição de Poisson modela contagens de eventos raros e independentes. Entre os usos comuns estão:

• Centrais de atendimento e serviço ao cliente: prever quantas ligações ou conversas chegam por hora.
• Fabricação: estimar o número de defeitos em um lote de produtos.
• Seguros: estimar quantos sinistros ocorrerão em um determinado período.
• Biologia e medicina: modelar contagens de mutações ou a disseminação de doenças raras.
• Física: descrever o decaimento radioativo, no qual cada átomo decai independentemente a uma taxa média constante.
• Tráfego e engenharia de redes: estimar a chegada de veículos a um cruzamento ou de solicitações a um servidor.

Condições para usar a distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson se ajusta a uma situação somente quando todas estas condições são satisfeitas:

• Os eventos ocorrem um de cada vez; dois eventos não podem ocorrer exatamente no mesmo instante.
• Os eventos ocorrem de forma independente — um evento não torna o próximo mais ou menos provável.
• A taxa média, λ, permanece constante durante o intervalo estudado.

Se a taxa mudar ao longo do tempo ou os eventos tenderem a ocorrer em agrupamentos, a distribuição de Poisson simples não descreverá bem os dados.

Poisson versus distribuições relacionadas

• Distribuição binomial: usada quando há um número fixo de tentativas e uma probabilidade conhecida de sucesso em cada uma, como lançar uma moeda 20 vezes. A distribuição de Poisson é o resultado para o qual a distribuição binomial converge quando o número de tentativas cresce muito e a probabilidade de sucesso por tentativa diminui em direção a zero, enquanto o produto entre ambos permanece próximo de λ.
• Distribuição normal: para λ grande, aproximadamente acima de 20, a distribuição de Poisson se aproxima de uma distribuição normal em forma de sino, com média λ e variância λ.
• Distribuição exponencial: enquanto a distribuição de Poisson conta quantos eventos ocorrem em um intervalo fixo, a distribuição exponencial descreve o tempo de espera entre esses eventos.

Uma observação sobre a história

O matemático francês Siméon Denis Poisson introduziu a distribuição em 1837, em um livro sobre probabilidade aplicada a veredictos judiciais. A princípio, ela recebeu pouca atenção. Seu uso cresceu no início do século 20, depois que estatísticos como Ladislaus Bortkiewicz e Ronald Fisher a aplicaram a dados reais de contagem, incluindo um estudo famoso sobre soldados prussianos mortos por coices de cavalos.

Dúvidas frequentes

O que lambda (λ) significa em uma distribuição de Poisson? Lambda é o número médio de eventos esperados no intervalo estudado. Ela também é a variância da distribuição; portanto, um λ maior significa tanto uma contagem média mais alta quanto uma maior dispersão nos resultados possíveis.

k ou λ podem ser negativos ou fracionários? λ deve ser maior que 0, mas pode ser decimal, como 2,5 eventos por hora. k deve ser um número inteiro de 0 ou mais, pois conta eventos reais; não pode ser negativo nem fracionário.

Qual é a diferença entre a distribuição de Poisson e a distribuição binomial? A distribuição binomial precisa de um número fixo de tentativas e de uma probabilidade fixa de sucesso por tentativa. A distribuição de Poisson precisa apenas de uma taxa média e funciona para eventos que, em princípio, podem ocorrer qualquer número de vezes.

Quando a distribuição normal deve ser usada? Para λ grande, geralmente acima de aproximadamente 20, uma distribuição normal com a mesma média e variância aproxima bem a distribuição de Poisson e costuma ser mais fácil de calcular manualmente.

Por que a calculadora às vezes mostra um número em notação científica? Os resultados normalmente são mostrados com seis casas decimais. Quando uma probabilidade é menor que 0,0001, seis casas decimais a arredondariam para 0,000000 e ocultariam o quanto ela realmente é pequena; por isso, a calculadora muda para a notação científica. Para λ = 20 e k = 1, ela mostra 4.122307e-8, que significa 0,00000004122307.

Há limites para os valores aceitos pela calculadora? Sim. λ deve ser maior que 0 e não pode ser maior que 700, e k deve ser um número inteiro de 0 a 1000. Fora desses limites, a calculadora mostra um erro. Esses limites mantêm o resultado dentro da faixa de números que um computador pode armazenar e mantêm o gráfico com um número legível de barras.

A distribuição de Poisson permite mais de um evento ao mesmo tempo? Não. O modelo pressupõe que os eventos ocorram um de cada vez. Se dois eventos ocorrerem juntos regularmente, outra distribuição se ajustará melhor aos dados.

Referências

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. Nova York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, seção 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp e Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.