Calculadora de Distribuição de Poisson - Calcule Probabilidades de Eventos

O que é uma calculadora da distribuição de Poisson?

Uma calculadora da distribuição de Poisson encontra a probabilidade de que um determinado número de eventos ocorra em um período fixo de tempo ou espaço, considerando a frequência média desses eventos. Ela é usada quando os eventos ocorrem um de cada vez, independentemente uns dos outros, a uma taxa média constante. Exemplos típicos incluem o número de ligações recebidas por uma central de atendimento em uma hora ou o número de erros de digitação em uma página.

Fórmula da distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson fornece a probabilidade de exatamente k eventos quando o número médio de eventos no intervalo é λ (a letra grega lambda). Sua função de massa de probabilidade é:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Cada símbolo significa:

• λ (lambda) — o número médio de eventos por intervalo. É a única entrada de que a distribuição precisa.
• k — o número exato de eventos cuja probabilidade está sendo calculada. Deve ser um número inteiro, 0 ou maior.
• e — o número de Euler, aproximadamente igual a 2,71828.
• k! — “fatorial de k”, o produto de todos os números inteiros de 1 até k. Por exemplo, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Por convenção, 0! = 1.

A fórmula precisa apenas de λ e k. Ela não precisa de um número total de tentativas, ao contrário da distribuição binomial.

Como calcular uma probabilidade de Poisson

1. Escolha λ, o número médio de eventos no intervalo estudado.
2. Escolha k, o número exato de eventos cuja probabilidade deve ser encontrada.
3. Eleve e à potência de −λ: isso resulta em e^(−λ).
4. Eleve λ à potência de k: isso resulta em λ^k.
5. Encontre k!, o fatorial de k.
6. Multiplique os resultados das etapas 3 e 4 e depois divida pelo resultado da etapa 5.

O número obtido é uma probabilidade entre 0 e 1. Multiplique-o por 100 para expressá-lo como porcentagem.

Exemplo prático

Uma central de atendimento recebe, em média, 5 ligações por hora (λ = 5). Qual é a probabilidade de receber exatamente 3 ligações em uma determinada hora (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,00673795
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multiplique: 0,00673795 × 125 ≈ 0,842244
5. Divida por 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

A probabilidade de exatamente 3 ligações naquela hora é aproximadamente 0,140, ou 14%.

Mais exemplos

Onde a distribuição de Poisson é usada

A distribuição de Poisson modela contagens de eventos raros e independentes. Entre os usos comuns estão:

• Centrais de atendimento e serviço ao cliente: prever quantas ligações ou conversas chegam por hora.
• Fabricação: estimar o número de defeitos em um lote de produtos.
• Seguros: estimar quantos sinistros ocorrerão em um determinado período.
• Biologia e medicina: modelar contagens de mutações ou a disseminação de doenças raras.
• Física: descrever o decaimento radioativo, no qual cada átomo decai independentemente a uma taxa média constante.
• Tráfego e engenharia de redes: estimar a chegada de veículos a um cruzamento ou de solicitações a um servidor.

Condições para usar a distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson se ajusta a uma situação somente quando todas estas condições são satisfeitas:

• Os eventos ocorrem um de cada vez; dois eventos não podem ocorrer exatamente no mesmo instante.
• Os eventos ocorrem de forma independente — um evento não torna o próximo mais ou menos provável.
• A taxa média, λ, permanece constante durante o intervalo estudado.

Se a taxa mudar ao longo do tempo ou os eventos tenderem a ocorrer em agrupamentos, a distribuição de Poisson simples não descreverá bem os dados.

Poisson versus distribuições relacionadas

• Distribuição binomial: usada quando há um número fixo de tentativas e uma probabilidade conhecida de sucesso em cada uma, como lançar uma moeda 20 vezes. A distribuição de Poisson se ajusta ao caso em que a chance do evento em cada tentativa é muito pequena, mas o número de tentativas é muito grande. O produto do número de tentativas pela chance por tentativa passa então a fazer o papel de λ.
• Distribuição normal: para λ grande, a distribuição de Poisson se aproxima de uma distribuição normal em forma de sino, com média λ e variância λ.
• Distribuição exponencial: enquanto a distribuição de Poisson conta quantos eventos ocorrem em um intervalo fixo, a distribuição exponencial descreve o tempo de espera entre esses eventos.

Uma observação sobre a história

O matemático francês Siméon Denis Poisson apresentou a distribuição em 1837, em um livro sobre probabilidade aplicada a veredictos judiciais. A obra teve pouca aceitação na época. Em 1898, Ladislaus Bortkiewicz publicou A Lei dos Pequenos Números. Ele mostrou que eventos raros em uma grande população seguem uma distribuição de Poisson, usando o número de soldados prussianos mortos por coices de cavalo a cada ano.

Perguntas frequentes

O que significa lambda (λ) em uma distribuição de Poisson? Lambda é o número médio de eventos esperado no intervalo estudado. É também a variância da distribuição, já que o desvio padrão é √λ; portanto, um λ maior significa tanto uma contagem média mais alta quanto mais dispersão nos resultados possíveis.

k ou λ podem ser negativos ou fracionários? λ deve ser maior que 0, mas pode ser decimal, como 2,5 eventos por hora. k deve ser um número inteiro igual ou maior que 0, pois conta eventos reais; não pode ser negativo nem fracionário. A calculadora também limita λ a 700 e k a 1.000 para manter os resultados numericamente estáveis.

Qual é a diferença entre a distribuição de Poisson e a distribuição binomial? A distribuição binomial precisa de um número fixo de tentativas e de uma probabilidade fixa de sucesso por tentativa. A distribuição de Poisson precisa apenas de uma taxa média e funciona para eventos que, em princípio, podem ocorrer qualquer número de vezes.

Quando se deve usar a distribuição normal em vez dela? Para λ grande, uma distribuição normal com a mesma média e a mesma variância aproxima bem a distribuição de Poisson e costuma ser mais fácil de usar à mão.

Por que a calculadora às vezes mostra um número em notação científica? Quando a probabilidade é inferior a 0,0001, a calculadora passa para a notação científica com seis casas decimais (por exemplo, 1.000000e-7). Resultados maiores são mostrados com seis casas decimais. Uma exibição fixa com seis casas decimais mostraria resultados minúsculos como 0,000000 e esconderia o quão pequenos eles são.

A distribuição de Poisson permite mais de um evento ao mesmo tempo? Não. O modelo pressupõe que os eventos ocorram um de cada vez. Se dois eventos ocorrerem juntos regularmente, outra distribuição se ajustará melhor aos dados.

Referências

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.19 Poisson Distribution. NIST: distribuição de Poisson — função de massa de probabilidade, média λ e desvio padrão √λ.
2. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Siméon-Denis Poisson. MacTutor: Poisson — a distribuição aparece pela primeira vez nas Recherches de 1837; probabilidade pequena, grande número de tentativas; pouca aceitação na época.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Ladislaus Bortkiewicz. MacTutor: Bortkiewicz — The Law of Small Numbers (1898) e os dados dos coices de cavalo na Prússia.