Calculadora da Distribuição de Laplace

Introdução

A distribuição de Laplace, também conhecida como distribuição exponencial dupla, é uma distribuição de probabilidade contínua nomeada em homenagem a Pierre-Simon Laplace. É simétrica em torno de sua média (parâmetro de localização) e possui caudas mais pesadas em comparação com a distribuição normal. Esta calculadora permite que você calcule a função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição de Laplace para parâmetros dados e visualize sua forma.

Como Usar Esta Calculadora

1. Insira o parâmetro de localização (μ), que representa a média da distribuição.
2. Insira o parâmetro de escala (b), que determina a dispersão da distribuição (b > 0).
3. A calculadora exibirá o valor da função de densidade de probabilidade (PDF) em x = 0 e mostrará um gráfico da distribuição.

Nota: O parâmetro de escala deve ser estritamente positivo (b > 0).

Fórmula

A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição de Laplace é dada por:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Onde:

• x é a variável
• μ (mu) é o parâmetro de localização
• b é o parâmetro de escala (b > 0)

Cálculo

A calculadora usa esta fórmula para calcular o valor da PDF em x = 0 com base na entrada do usuário. Aqui está uma explicação passo a passo:

1. Validar entradas: Garantir que o parâmetro de escala b seja positivo.
2. Calcular |x - μ|: Neste caso, é simplesmente |0 - μ| = |μ|.
3. Calcular o termo exponencial: $\exp(-|μ| / b)$
4. Calcular o resultado final: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Casos extremos a considerar:

• Se b ≤ 0, exibir uma mensagem de erro.
• Para |μ| muito grande ou b muito pequeno, o resultado pode ser extremamente próximo de zero.
• Para μ = 0, a PDF atingirá seu valor máximo de 1/(2b) em x = 0.

Casos de Uso

A distribuição de Laplace tem várias aplicações em diferentes campos:

1. Processamento de Sinais: Usada na modelagem e análise de sinais de áudio e imagem.

2. Finanças: Aplicada na modelagem de retornos financeiros e avaliação de risco.

3. Aprendizado de Máquina: Usada no mecanismo de Laplace para privacidade diferencial e em alguns modelos de inferência bayesiana.

4. Processamento de Linguagem Natural: Aplicada em modelos de linguagem e tarefas de classificação de texto.

5. Geologia: Usada na modelagem da distribuição de magnitudes de terremotos (lei de Gutenberg-Richter).

Alternativas

Embora a distribuição de Laplace seja útil em muitos cenários, existem outras distribuições de probabilidade que podem ser mais apropriadas em certas situações:

1. Distribuição Normal (Gaussiana): Mais comumente usada para modelar fenômenos naturais e erros de medição.

2. Distribuição de Cauchy: Tem caudas ainda mais pesadas do que a distribuição de Laplace, útil para modelar dados propensos a outliers.

3. Distribuição Exponencial: Usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson.

4. Distribuição t de Student: Frequentemente usada em testes de hipóteses e modelagem de retornos financeiros.

5. Distribuição Logística: Semelhante em forma à distribuição normal, mas com caudas mais pesadas.

História

A distribuição de Laplace foi introduzida por Pierre-Simon Laplace em seu memorial de 1774 "Sobre a Probabilidade das Causas dos Eventos." No entanto, a distribuição ganhou mais proeminência no início do século XX com o desenvolvimento da estatística matemática.

Principais marcos na história da distribuição de Laplace:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace introduz a distribuição em seu trabalho sobre teoria da probabilidade.
2. Anos 1930: A distribuição é redescoberta e aplicada em vários campos, incluindo economia e engenharia.
3. Anos 1960: A distribuição de Laplace ganha importância na estatística robusta como uma alternativa à distribuição normal.
4. Anos 1990-presente: Uso crescente em aprendizado de máquina, processamento de sinais e modelagem financeira.

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos de código para calcular a PDF da distribuição de Laplace:

1' Função VBA do Excel para PDF da Distribuição de Laplace
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Uso:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("O parâmetro de escala deve ser positivo")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Exemplo de uso:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Valor da PDF em x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("O parâmetro de escala deve ser positivo");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Exemplo de uso:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Valor da PDF em x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("O parâmetro de escala deve ser positivo");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Valor da PDF em x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Esses exemplos demonstram como calcular a PDF da distribuição de Laplace para parâmetros dados. Você pode adaptar essas funções para suas necessidades específicas ou integrá-las em sistemas de análise estatística maiores.

Exemplos Numéricos

1. Distribuição de Laplace Padrão:

   • Localização (μ) = 0
   • Escala (b) = 1
   • PDF em x = 0: 0.500000

2. Distribuição de Laplace Deslocada:

   • Localização (μ) = 2
   • Escala (b) = 1
   • PDF em x = 0: 0.183940

3. Distribuição de Laplace Escalonada:

   • Localização (μ) = 0
   • Escala (b) = 3
   • PDF em x = 0: 0.166667

4. Distribuição de Laplace Deslocada e Escalonada:

   • Localização (μ) = -1
   • Escala (b) = 0.5
   • PDF em x = 0: 0.367879

Referências

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Distribuição de Laplace." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Acessado em 2 de agosto de 2024.