Calculator de Indici Miller - Convertire Interceptări Plan Cristalin la (hkl)

Ce sunt indicii Miller?

Indicii Miller sunt un set de trei numere întregi, scrise (h,k,l), care identifică un plan într-o rețea cristalină. O rețea cristalină este dispunerea repetitivă și ordonată a atomilor dintr-un material solid. Indicii Miller le indică oamenilor de știință exact ce secțiune prin rețea reprezintă un plan, fără a fi necesară descrierea geometriei sale în cuvinte. Aceștia au fost introduși de mineralogul britanic William Hallowes Miller în 1839 și rămân notația standard în cristalografie și astăzi.

Acest calculator convertește intersecțiile unui plan cu axele cristalografice x, y și z în indicii Miller (h,k,l).

Formula indicilor Miller

Indicii Miller se obțin din reciprocele intersecțiilor unui plan cu axele. Dacă un plan intersectează axele x, y și z la distanțele a, b și c față de origine, indicii respectă relația:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Cum se calculează indicii Miller din intersecții

1. Determinați locul în care planul intersectează fiecare axă, măsurat în unități ale lungimii muchiei celulei elementare. Notați aceste intersecții cu a, b și c.
2. Calculați reciprocul fiecărei intersecții: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Înmulțiți toate cele trei reciproce cu același număr, astfel încât fiecare să devină număr întreg.
4. Împărțiți cele trei numere întregi la cel mai mare divizor comun al lor, astfel încât să nu mai poată fi simplificate.

Cele trei numere întregi rezultate sunt h, k și l. Un plan care nu intersectează niciodată o axă este considerat că o intersectează la infinit, iar 1 împărțit la infinit este 0, astfel încât acea axă primește indicele Miller 0.

Exemplu de calcul

Un plan intersectează axa x la 2, axa y la 3 și axa z la 6.

1. Intersecții: (2, 3, 6)
2. Reciproce: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Înmulțirea cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, 6: (3, 2, 1)
4. Cel mai mare divizor comun al numerelor 3, 2 și 1 este 1, astfel încât numerele nu mai pot fi simplificate.

Indicii Miller sunt (321).

Alte exemple

• Un plan care trece prin (1, ∞, 2) — paralel cu axa y — are reciprocele (1, 0, 1/2). Înmulțirea cu 2 dă (2, 0, 1). Valoarea 0 arată că planul nu intersectează niciodată axa y.
• Un plan care trece prin (-1, 2, 3) are reciprocele (-1, 1/2, 1/3). Înmulțirea cu 6 dă (-6, 3, 2), scris de obicei (6̄32), cu o bară deasupra indicelui negativ.
• Un plan care trece prin (1, ∞, ∞) are reciprocele (1, 0, 0), rezultând (100). Aceasta este una dintre cele șase fețe ale unui cub.

Cazuri speciale

Un plan paralel cu o axă nu o intersectează niciodată, astfel încât acea intersecție este considerată infinită, iar indicele Miller este 0. Un plan care intersectează o axă pe partea negativă a originii primește un indice negativ, scris cu o bară deasupra numărului în notația formală sau cu semnul minus în text obișnuit. Un plan care trece prin origine nu are indici Miller definiți, deoarece fiecare familie de plane paralele dintr-o rețea trebuie deplasată față de origine pentru a putea fi indexată; originea trebuie deplasată înainte ca un astfel de plan să poată fi descris. Intersecțiile fracționare sunt tratate la fel ca cele cu valori întregi: se calculează reciprocul fiecăreia, apoi se elimină fracțiile.

Indicii sunt întotdeauna reduși la cele mai mici numere întregi posibile. (622) și (311) descriu aceeași familie de plane, dar cristalografii scriu întotdeauna (311).

Cum se utilizează acest calculator

Introduceți intersecțiile planului cu axele x, y și z.

• Folosiți un număr pozitiv pentru o intersecție pe partea pozitivă a originii și un număr negativ pentru partea negativă.
• Tastați „infinity”, „inf” sau „∞” pentru un plan paralel cu o axă.
• O intersecție zero nu este acceptată, deoarece unui plan care trece prin origine nu i se pot atribui indici Miller prin această metodă.

Calculatorul determină instantaneu indicii și afișează o diagramă a planului în interiorul celulei elementare.

Aplicațiile indicilor Miller

Difracția de raze X. Fiecare pată sau maxim dintr-o diagramă de difracție de raze X corespunde unei familii de plane ale rețelei, cu un anumit (hkl). Legea lui Bragg leagă distanța dintre aceste plane de unghiul de difracție:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Aici, d_hkl este distanța dintre planele (h,k,l), λ este lungimea de undă a razelor X, iar θ este unghiul de difracție. Asocierea maximelor observate cu valorile (hkl), proces numit indexare, este un pas de bază în identificarea unei structuri cristaline necunoscute.

Știința materialelor. Diferitele plane cristaline expun dispuneri diferite ale atomilor, astfel încât au energii de suprafață diferite, viteze diferite ale reacțiilor chimice și roluri diferite în modul în care se deformează un metal. În metalele cubice cu fețe centrate, precum aluminiul, planele atomice alunecă cel mai ușor unele pe lângă altele de-a lungul planelor {111}. Plăcile de siliciu pentru cipuri de calculator sunt de obicei tăiate de-a lungul planului (100) sau (111), deoarece alegerea influențează modul în care se desfășoară etapele ulterioare de fabricație.

Mineralogie. Fețele plane observate pe un cristal natural și direcțiile de-a lungul cărora un mineral se desparte curat, adică clivajul său, corespund ambele unor plane specifice cu indici mici. Halitul (sarea de bucătărie) se desface prin clivaj de-a lungul planelor {100}, iar fluorina de-a lungul planelor {111}.

Indicii Miller-Bravais pentru cristale hexagonale

Cristalele hexagonale, precum magneziul, zincul și titanul, sunt descrise de obicei printr-un sistem cu patru indici (hkil), în locul unuia cu trei. Indicele suplimentar i nu este independent; el este întotdeauna i = -(h+k). Această formă facilitează observarea faptului că două plane aparțin aceleiași familii echivalente din punct de vedere al simetriei, lucru care nu este întotdeauna evident doar din notația Miller cu trei indici într-o rețea hexagonală.

Istoric

Indicii Miller au fost introduși de William Hallowes Miller în cartea sa din 1839, A Treatise on Crystallography. Existau deja sisteme anterioare de etichetare a fețelor cristalelor, dar metoda lui Miller, bazată pe reciprocele intersecțiilor, a făcut ca planele paralele cu o axă să fie ușor de tratat, deoarece intersecția lor este infinită, iar reciprocul este pur și simplu 0. După ce Max von Laue a descoperit difracția razelor X de către cristale în 1912, William Henry Bragg și William Lawrence Bragg au arătat că indicii Miller descriu exact planele responsabile pentru maximele de difracție, activitate pentru care au împărțit Premiul Nobel pentru fizică în 1915.

Întrebări frecvente

La ce sunt folosiți indicii Miller? Aceștia identifică plane specifice dintr-o rețea cristalină. Sunt utilizați pentru indexarea maximelor de difracție a razelor X și a electronilor, pentru descrierea planelor de alunecare din metale, pentru specificarea orientării plăcilor semiconductoare și pentru etichetarea fețelor și a clivajului mineralelor.

Ce înseamnă valoarea zero într-un indice Miller? Înseamnă că planul este paralel cu acea axă și nu o intersectează niciodată. De exemplu, (201) este paralel cu axa y.

Ce înseamnă indicii Miller negativi? Aceștia înseamnă că planul intersectează axa pe partea negativă a originii. Un indice negativ este scris cu o bară deasupra numărului, precum (2̄11), sau cu semnul minus, precum (-2,1,1).

De ce nu poate avea indici Miller un plan care trece prin origine? Indicii Miller se obțin din reciprocul unei intersecții. Un plan care trece prin origine intersectează fiecare axă la 0, iar 1/0 este nedefinit, astfel încât metoda nu poate atribui indici decât dacă planul este deplasat.

Care este diferența dintre indicii Miller și indicii Miller-Bravais? Indicii Miller (hkl) folosesc trei numere și funcționează pentru orice sistem cristalin. Indicii Miller-Bravais (hkil) adaugă un al patrulea indice dependent și sunt utilizați în principal pentru cristale hexagonale, unde facilitează recunoașterea planelor echivalente din punct de vedere al simetriei.

Cum se raportează distanța dintre plane la indicii Miller? Într-un cristal cubic cu lungimea muchiei a, distanța dintre planele adiacente (hkl) este d = a / √(h² + k² + l²). Plane cu indici mai mari sunt mai apropiate unele de altele. Alte sisteme cristaline folosesc o formulă similară, dar mai complexă, care ține cont de lungimi inegale ale axelor și de unghiuri diferite de 90°.

Referințe

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (ediția a 4-a). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (ediția a 3-a). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.