Calculator pentru Distribuția Binomială - Instrument Gratuit de Probabilitate

Ce este un calculator pentru distribuția binomială?

Un calculator pentru distribuția binomială calculează probabilitatea obținerii unui număr exact de succese într-un număr fix de încercări independente, când fiecare încercare are aceeași șansă de reușită. Este utilizat în statistică, controlul calității, medicină și în orice domeniu care studiază evenimente repetate cu două rezultate posibile: da sau nu.

Ideea de bază este distribuția binomială, un model probabilistic pentru numărarea succeselor în încercări repetate, fiecare având doar două rezultate, numite de obicei succes și eșec.

Formula distribuției binomiale

Probabilitatea obținerii exact a k succese în n încercări este:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Fiecare simbol înseamnă:

• n — numărul de încercări.
• k — numărul de succese pentru care se calculează probabilitatea.
• p — probabilitatea succesului la o singură încercare, un număr între 0 și 1.
• $\binom{n}{k}$ — coeficientul binomial, numărul de moduri diferite de a alege k succese din n încercări. Acesta este egal cu $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Fiecare încercare trebuie să fie independentă, ceea ce înseamnă că rezultatul unei încercări nu modifică șansele alteia, iar probabilitatea succesului p trebuie să rămână aceeași la toate încercările. O singură încercare cu două rezultate posibile, precum aruncarea unei monede, se numește încercare Bernoulli. O distribuție binomială se obține prin însumarea a n încercări Bernoulli.

Cum se calculează probabilitatea binomială

1. Notați n, k și p.
2. Calculați coeficientul binomial $\binom{n}{k}$, adică numărul de moduri de a aranja k succese în n încercări.
3. Ridicați p la puterea k.
4. Ridicați (1 − p) la puterea (n − k).
5. Înmulțește cele trei numere.

Calculatorul de pe această pagină efectuează automat acești pași. Introduceți n, p și k, iar acesta returnează P(X = k), împreună cu o diagramă cu bare care arată probabilitatea fiecărui rezultat posibil, de la 0 până la n succese.

Exemplu de calcul

Exemplul 1: aruncări ale unei monede

O monedă corectă este aruncată de 10 ori. Care este probabilitatea de a obține exact 3 fețe?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Rezultat: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, adică aproximativ 11,72 %

Exemplul 2: controlul calității

O fabrică inspectează 100 de articole. Fiecare articol are o șansă de 2 % să fie defect. Care este probabilitatea ca niciunul dintre cele 100 de articole să nu fie defect?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Deoarece k = 0, formula se reduce la $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Rezultat: ≈ 0,1326, adică aproximativ 13,26 %

Exemplul 3: testarea bolilor

Un oraș testează 1.000 de persoane pentru o boală care afectează 0,1 % din populație (p = 0,001). Care este probabilitatea ca exact 5 dintre cele 1.000 de persoane să fie infectate?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Rezultat: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, adică aproximativ 0,30 % (valoarea exactă 0,0030488, adică 0,30488 %)

Media și varianța

Pentru o distribuție binomială cu parametrii n și p:

• Media (valoarea așteptată): E(X) = np
• Varianța: Var(X) = np(1 − p)
• Deviația standard: σ = √[np(1 − p)]

Media indică numărul mediu de succese așteptat în urma multor repetări. În exemplul 1, media este 10 × 0,5 = 5 fețe.

Ce valori acceptă calculatorul

• n trebuie să fie un număr întreg de 1 sau mai mare. O valoare zecimală este rotunjită la cel mai apropiat număr întreg de încercări, astfel încât 10,9 este tratat ca 11.
• p trebuie să fie între 0 și 1, inclusiv capetele intervalului.
• k trebuie să fie un număr întreg de 0 sau mai mare și nu poate fi mai mare decât n. Obținerea a 8 succese în 5 încercări este imposibilă, astfel încât calculatorul afișează o eroare în locul unui număr.

Dacă orice câmp este lăsat necompletat, calculatorul nu afișează niciun rezultat și nicio diagramă, în loc să presupună o valoare.

Când se aplică distribuția binomială

Distribuția binomială se potrivește unei situații numai atunci când sunt îndeplinite toate cele patru condiții:

1. Numărul de încercări, n, este stabilit în prealabil.
2. Fiecare încercare are doar două rezultate: succes sau eșec.
3. Probabilitatea succesului, p, este aceeași la fiecare încercare.
4. Încercările sunt independente unele de altele.

Extragerea cărților dintr-un pachet fără înlocuire încalcă condiția independenței, deoarece eliminarea unei cărți modifică șansele pentru următoarea extragere. În această situație se folosește distribuția hipergeometrică.

Distribuții asociate

• Distribuția Poisson: utilizată pentru aproximarea distribuției binomiale când n este mare și p este mic, astfel încât numărul mediu de succese (np) rămâne moderat. Este folosită frecvent pentru modelarea evenimentelor rare, precum cazul de boală din exemplul 3.
• Distribuția normală: pentru n mare și când p nu este prea apropiat de 0 sau 1, distribuția binomială are aproximativ forma unui clopot și poate fi aproximată printr-o distribuție normală cu media np și varianța np(1 − p).
• Distribuția hipergeometrică: utilizată în locul distribuției binomiale când eșantionarea se face fără înlocuire dintr-o populație finită.

Întrebări frecvente

Ce face un calculator pentru distribuția binomială?

Acesta calculează probabilitatea obținerii exact a k succese în n încercări independente, fiecare cu probabilitatea de succes p, folosind formula P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Care este diferența dintre distribuția binomială și distribuția normală?

Distribuția binomială este discretă, ceea ce înseamnă că produce doar numărători întregi ale succeselor. Distribuția normală este continuă. Pentru n mare, o distribuție binomială poate fi aproximată printr-o curbă normală cu media np și varianța np(1 − p).

Poate p să fie 0 sau 1?

Da. Dacă p = 0, nicio încercare nu poate avea succes, deci P(X = 0) = 1. Dacă p = 1, fiecare încercare reușește, deci P(X = n) = 1. În aceste cazuri, toate celelalte valori ale lui k au probabilitatea 0.

Care este relația dintre distribuțiile binomială și Bernoulli?

O distribuție Bernoulli descrie o singură încercare cu două rezultate (n = 1). O distribuție binomială este suma a n încercări Bernoulli independente, astfel încât o distribuție Bernoulli este pur și simplu o distribuție binomială cu n = 1.

Cât de mare poate fi n înainte ca calculatorul să devină inexact?

Calculatorul utilizează aritmetica standard cu precizie dublă. Înmulțește direct cele trei componente ale formulei și trece la logaritmi când coeficientul binomial depășește cel mai mare număr pe care îl poate stoca un tip de date cu precizie dublă, lucru care se întâmplă în apropierea valorii n = 1.000 când k este apropiat de n/2. Rezultatele rămân corecte și după acest punct. O probabilitate mai mică de aproximativ 1e-308 este raportată ca 0, deoarece niciun tip de date cu precizie dublă nu o poate stoca.

Cum se calculează coeficientul binomial?

Coeficientul binomial C(n, k) numără modurile de a alege k elemente din n elemente, indiferent de ordine. Acesta este egal cu n! / (k! × (n − k)!). Calculatorul îl construiește pas cu pas, înmulțind cu un factor și împărțind la următorul, astfel încât nu trebuie să stocheze niciodată un factorial complet. Pentru valori foarte mari ale lui n, acesta adună în schimb logaritmii acelor factori.

Referințe

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Fundația Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. și colab. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.