Calculator Distribuție Gamma - Instrument de Analiză Statistică

Ce este un calculator pentru distribuția gamma?

Un calculator pentru distribuția gamma determină media, varianța, coeficientul de asimetrie, coeficientul de curtosis și moda unei distribuții gamma pe baza a două valori introduse: un parametru de formă și un parametru de scară. De asemenea, reprezintă grafic funcția de densitate de probabilitate a distribuției sub forma unei curbe.

Ce este distribuția gamma?

Distribuția gamma este o distribuție continuă de probabilitate pentru valori pozitive. Este definită de doi parametri: un parametru de formă, scris de obicei k, și un parametru de scară, scris de obicei θ (theta). Ambii trebuie să fie mai mari decât zero. Distribuția gamma este utilizată pentru modelarea mărimilor care nu pot fi negative, precum cantitățile totale de precipitații, valorile daunelor de asigurare și timpul până la defectarea unei componente a unei mașini.

Formula distribuției gamma

Funcția de densitate de probabilitate (PDF) a distribuției gamma este:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Aici, x este valoarea la care se măsoară densitatea, iar Γ(k) este funcția gamma, o generalizare a factorialului pentru numere neîntregi. Formula este valabilă numai pentru x > 0; densitatea este zero pretutindeni în rest.

Cum se calculează proprietățile distribuției gamma

Pe baza parametrului de formă k și a parametrului de scară θ, calculatorul determină:

• Media: k × θ
• Varianța: k × θ²
• Asimetria: 2 / √k
• Coeficientul de curtosis: 3 + 6 / k
• Moda: (k − 1) × θ când k ≥ 1, altfel 0

Asimetria măsoară cât de dezechilibrată este curba. O valoare mai mică a lui k produce o coadă dreaptă mai lungă. Coeficientul de curtosis măsoară cât de groase sunt cozile în comparație cu o distribuție normală, care are curtosisul 3. Moda este valoarea lui x la care curba atinge maximul. Când k este mai mic decât 1, densitatea continuă să crească pe măsură ce x se apropie de 0, astfel că nu există un maxim interior, iar calculatorul indică o modă de 0.

Exemplu de calcul

Să luăm un parametru de formă k = 2 și un parametru de scară θ = 3.

• Media = 2 × 3 = 6
• Varianța = 2 × 3² = 18
• Asimetria = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Coeficientul de curtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Moda = (2 − 1) × 3 = 3

La modă, x = 3, densitatea se calculează ca f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Calculatorul reprezintă automat grafic curba completă după introducerea ambilor parametri.

Cum se utilizează calculatorul pentru distribuția gamma

1. Introduceți parametrul de formă (k), un număr pozitiv.
2. Introduceți parametrul de scară (θ), un număr pozitiv.
3. Media, varianța, asimetria, curtosisul și moda apar imediat ce ambele câmpuri conțin numere valide. Nu există un buton separat de calcul; rezultatele se actualizează pe măsură ce sunt introduse numerele.
4. Graficul de sub rezultate arată funcția de densitate de probabilitate. Este trasat de la o valoare puțin mai mare decât x = 0 până la valoarea mai mare dintre de trei ori media și de cinci ori parametrul de scară.

Ambii parametri trebuie să fie numere finite mai mari decât 0 și niciunul nu poate fi mai mare decât 1000. Sunt respinse și valorile mai mici de aproximativ 2 × 10⁻¹⁶, deoarece la această scară valorile rezumative nu mai sunt relevante. O valoare din afara intervalului acceptat produce un mesaj de eroare în locul rezultatelor.

Unde este utilizată distribuția gamma

Distribuția gamma modelează numeroase mărimi reale care sunt întotdeauna pozitive și adesea asimetrice spre dreapta:

• Asigurări: valori ale daunelor și sume plătite
• Meteorologie: cantități totale de precipitații într-o perioadă fixă
• Inginerie: timpul până la defectarea unei componente
• Teoria cozilor: timpi de așteptare alcătuiți din mai multe etape exponențiale
• Biologie: niveluri de expresie genică și date privind numărul de specii

Distribuții asociate

Două distribuții bine cunoscute sunt cazuri particulare ale distribuției gamma:

• Distribuția exponențială: o distribuție gamma cu k = 1
• Distribuția chi-pătrat: o distribuție gamma cu k = n/2 și θ = 2, unde n este numărul gradelor de libertate

Distribuțiile Weibull și log-normală sunt alternative utilizate frecvent pentru modelarea datelor pozitive și asimetrice.

Întrebări frecvente

La ce se utilizează distribuția gamma? Modelează mărimi continue și pozitive, precum timpii de așteptare, cantitățile de precipitații și daunele de asigurare, în special atunci când datele tind spre valori mari.

Cum se determină media unei distribuții gamma? Se înmulțește parametrul de formă cu parametrul de scară: media = k × θ. Pentru k = 2 și θ = 3, media este 6.

Care este diferența dintre parametrii de formă și de scară? Parametrul de formă (k) controlează forma curbei, inclusiv asimetria acesteia. Parametrul de scară (θ) întinde sau comprimă curba de-a lungul axei x, fără să-i schimbe forma de bază.

Cum este legată distribuția gamma de distribuția exponențială? Distribuția exponențială este distribuția gamma cu parametrul de formă k = 1.

Poate distribuția gamma să ia valori negative? Nu. Este definită numai pentru x > 0. Pentru datele care pot fi negative este necesară o altă distribuție, precum distribuția normală.

Calculează acest calculator funcția de distribuție cumulativă? Nu. Calculează media, varianța, asimetria, curtosisul și moda și reprezintă grafic funcția de densitate de probabilitate. Nu afișează valori ale probabilității cumulative.

Referințe

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S. și Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, volumul 1. John Wiley & Sons.