Kalkulačka oblúkov - Výpočet polomeru, rozpätia a výšky

Čo je kalkulačka oblúka?

Kalkulačka oblúka určí rozmery kruhového oblúka — jeho polomer, rozpätie a vzop — z ľubovoľných dvoch z týchto hodnôt. Vypočíta aj dĺžku oblúka a plochu oblúka. Architekti, stavitelia a domáci majstri ju používajú pri plánovaní dverí, okien, mostov a záhradných prvkov zakriveného tvaru.

Základné rozmery oblúka

Kruhový oblúk je časť vyrezaná z obvodu kruhu. Jeho tvar opisuje päť meraní:

• Polomer: vzdialenosť od stredu kruhu ku ktorémukoľvek bodu na krivke oblúka.
• Rozpätie: priama vodorovná vzdialenosť medzi dvoma dolnými koncami oblúka, nazývaná aj šírka.
• Vzop: zvislá vzdialenosť od pätovej čiary (vodorovnej priamky spájajúcej oba konce) po najvyšší bod oblúka.
• Dĺžka oblúka: vzdialenosť meraná po zakrivenej čiare oblúka od jedného konca k druhému.
• Plocha oblúka: plocha zakrivenej oblasti uzavretej medzi oblúkom a pätovou čiarou.

Vzorce pre rozmery oblúka

Tieto vzorce platia pre kruhový oblúk, teda oblúk vytvorený z časti jediného kruhu. Platia pre ľubovoľnú výšku až do dvojnásobku polomeru. Tento rozsah zahŕňa oblúky dverí, okien a mostov, ktoré ľudia najčastejšie počítajú, ako aj podkovovité oblúky, pri ktorých krivka pokračuje za polkruh.

Vzorec pre vzop (z polomeru a rozpätia)

$\text{Výška} = \text{Polomer} - \sqrt{\text{Polomer}^2 - \left(\frac{\text{Rozpätie}}{2}\right)^2}$

Platí, ak sú polomer a rozpätie kladné a rozpätie ≤ 2 × polomer.

Vzorec pre polomer (z rozpätia a výšky)

$\text{Polomer} = \frac{\text{Rozpätie}^2}{8 \times \text{Výška}} + \frac{\text{Výška}}{2}$

Platí, ak sú rozpätie a výška kladné.

Vzorec pre rozpätie (z polomeru a výšky)

$\text{Rozpätie} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Polomer} \times \text{Výška} - \text{Výška}^2}$

Platí, ak sú polomer a výška kladné a výška ≤ 2 × polomer.

Vzorec pre dĺžku oblúka

$\text{Dĺžka oblúka} = \text{Polomer} \times \theta$

θ (téta) je stredový uhol v radiánoch, ktorý krivka oblúka vytvára v strede kruhu. Ak výška nie je väčšia ako polomer, oblúk je najviac polkruhom a θ je:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Rozpätie}}{2 \times \text{Polomer}}\right)$

Ak je výška väčšia ako polomer, oblúk je väčší než polkruh a θ predstavuje zvyšok cesty okolo kruhu:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Rozpätie}}{2 \times \text{Polomer}}\right)$

Kalkulačka rieši oba prípady jedným krokom: θ = 2 × atan2(Rozpätie ÷ 2, Polomer − Výška), pričom výsledok zostáva presný aj pri polkruhu.

Vzorec pre plochu oblúka

$\text{Plocha oblúka} = \frac{1}{2} \times \text{Polomer}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Rozpätie} \times (\text{Polomer} - \text{Výška})$

Ako používať kalkulačku oblúka

Kalkulačka ponúka tri režimy, po jednom pre každý rozmer, ktorý môže chýbať.

Vypočítať vzop, keď je známy polomer a rozpätie: zadajte polomer a rozpätie. Nástroj vráti vzop, dĺžku oblúka a plochu oblúka.

Vypočítať polomer, keď sú známe rozpätie a výška: zadajte rozpätie a výšku. Nástroj vráti polomer, dĺžku oblúka a plochu oblúka.

Vypočítať rozpätie, keď sú známe polomer a výška: zadajte polomer a výšku. Nástroj vráti rozpätie, dĺžku oblúka a plochu oblúka.

Kalkulačka odmietne vstupy, z ktorých nemožno vytvoriť skutočný oblúk. Rozpätie nemôže presiahnuť dvojnásobok polomeru, výška nemôže presiahnuť dvojnásobok polomeru a každý rozmer musí byť kladné číslo. Ak hodnota poruší niektoré z týchto pravidiel, zobrazí chybové hlásenie.

Vyriešený príklad

Príklad 1: Oblúk dverí

Oblúk dverí má rozpätie 36 palcov a výšku 12 palcov.

Polomer = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 palca (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radiánov

Dĺžka oblúka = 19,5 × 2,352 = 45,86 palca (116 cm)

Plocha oblúka = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 štvorcových palcov (2 010 cm²)

Príklad 2: Záhradný oblúk

Záhradný oblúk má polomer 4 stopy a rozpätie 6 stôp.

Výška = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 stopy (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radiánov

Dĺžka oblúka = 4 × 1,696 = 6,78 stopy (2,07 m)

Plocha oblúka = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 štvorcových stôp (0,523 m²)

Príklad 3: Mostný oblúk

Mostný oblúk má rozpätie 50 stôp a výšku 15 stôp.

Polomer = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 stopy (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radiánov

Dĺžka oblúka = 28,33 × 2,162 = 61,25 stopy (18,7 m)

Plocha oblúka = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 štvorcových stôp (49,6 m²)

Bežné použitia výpočtov oblúkov

Stavitelia používajú rozmery oblúka na vyrezanie debnenia pre betónové oblúky, na zostavenie šablón z tehál alebo kameňa pre murované oblúky a na plánovanie zakrivenia klenutých stropov. Projektanti mostov používajú rozpätie, výšku a polomer na zosúladenie rozloženia zaťaženia s potrebnou svetlou výškou. Pri obnove sa tie isté vzorce používajú na presné prispôsobenie geometrie historického oblúka pri jeho oprave alebo opätovnej výstavbe. Záhradníci a domáci majstri ich používajú pri oblúkových mrežiach, bránach a dekoratívnych otvoroch.

Táto kalkulačka pracuje iba s kruhovými oblúkmi, teda s oblúkmi vytvorenými z časti jediného kruhu. Eliptické, parabolické, gotické a reťazovkové oblúky sa riadia inými krivkami a vyžadujú odlišné vzorce.

Stručná história oblúka

Stavitelia v starovekej Mezopotámii používali prvé formy podobné oblúkom už približne 2500 pred n. l., hoci väčšina z nich vznikala pomocou krakorcovania — ukladaním kameňov tak, aby každá vrstva presahovala vrstvu pod ňou — a nie ako skutočný zakrivený oblúk. Rimania zdokonalili polkruhový oblúk na štandardnú stavebnú metódu a používali ho pri akvaduktoch, mostoch a stavbách, ako bolo Koloseum. Stredovekí stavitelia v Európe vyvinuli lomený gotický oblúk, ktorý umožnil stavať vyššie a ľahšie konštrukcie. Neskorší architekti sa vrátili k polkruhovým tvarom založeným na presných proporciách a moderné materiály, napríklad oceľ a železobetón, dnes umožňujú oblúkom preklenúť oveľa väčšie vzdialenosti.

Najčastejšie otázky

Aký je rozdiel medzi vzopom a výškou oblúka?

Vzop je zvislá vzdialenosť od pätovej čiary po vrchol jeho krivky. Výška niekedy označuje celkovú výšku otvoru vrátane rovnej steny pod pätou oblúka.

Funguje táto kalkulačka pre všetky typy oblúkov?

Nie. Funguje iba pre kruhové oblúky, teda oblúky tvarované ako časť kruhu. Eliptické, parabolické, gotické a reťazovkové oblúky sa riadia inými krivkami a vyžadujú samostatné vzorce.

Aký je vzťah medzi rozpätím a polomerom pri polkruhovom oblúku?

Pri polkruhovom oblúku sa polomer rovná polovici rozpätia a výška sa rovná polomeru. Oblúk tvorí presne polovicu kruhu.

Prečo rozpätie nemôže byť väčšie ako dvojnásobok polomeru?

Rozpätie rovnajúce sa dvojnásobku polomeru už vytvára polkruh, teda najširší možný oblúk s daným polomerom. Širšie rozpätie by sa do kruhu vôbec nezmestilo.

Prečo výška nemôže byť väčšia ako dvojnásobok polomeru (v režime výpočtu rozpätia)?

Výška sa meria od päty oblúka po jeho najvyšší bod na tom istom kruhu. Dvojnásobok polomeru je celková výška kruhu, takže väčšia výška by umiestnila vrchol oblúka úplne mimo kruhu. Výška medzi polomerom a jeho dvojnásobkom je prípustná. Oblúk je potom väčší než polkruh, čo je tvar používaný pri podkovovitých oblúkoch.

Aké jednotky používa kalkulačka?

Funguje ľubovoľná jednotka, ak ju používate jednotne — palce, stopy, metre alebo centimetre. Zadajte každú hodnotu v rovnakej jednotke a výsledky budú v tej istej jednotke, pričom plocha bude v tejto jednotke na druhú.