Kalkulator koničnih prerezov - Krog, Elipsa, Parabola

Kaj je kalkulator stožnic?

Kalkulator stožnic iz nekaj meritev določi ekscentričnost in standardno enačbo krožnice, elipse, parabole ali hiperbole. Te štiri krivulje nastanejo, ko ravnina pod različnimi koti prereže stožec.

Štiri stožnice

Če stožec prerežemo pravokotno na njegovo os, dobimo krožnico. Z nagibanjem ravnine dobimo elipso. Če režemo vzporedno s stranico stožca, dobimo parabolo. Če ravnina prereže obe polovici dvodelnega stožca, dobimo hiperbolo.

Vsaka krivulja ima ekscentričnost, število, ki kaže, koliko se razlikuje od popolne krožnice.

• Krožnica: $e = 0$
• Elipsa: $0 < e < 1$
• Parabola: $e = 1$
• Hiperbola: $e > 1$

Kako uporabljati ta kalkulator

1. Izberite vrsto stožnice: krožnica, elipsa, parabola ali hiperbola.
2. Vnesite zahtevane meritve.
   • Krožnica: polmer (⟨ r ⟩)
   • Elipsa: velika polos (⟨ a ⟩) in mala polos (⟨ b ⟩)
   • Parabola: goriščna razdalja (⟨ f ⟩)
   • Hiperbola: prečna polos (⟨ a ⟩) in konjugirana polos (⟨ b ⟩)
3. Ekscentričnost in standardna enačba se samodejno prikažeta, takoj ko za izbrano stožnico vnesete veljavne pozitivne vrednosti; gumba »Izračunaj«, ki bi ga bilo treba klikniti, ni.
4. Pod rezultati se izriše graf krivulje.

Kalkulator izpiše enačbo z že vstavljenimi vnesenimi števili, zato je elipsa z $a = 5$ in $b = 3$ prikazana kot $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. To je ista enačba kot $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Ekscentričnost je prikazana na štiri decimalna mesta.

Vsi vnosi morajo biti pozitivna števila. Pri elipsi mora biti velika polos vsaj tako dolga kot mala polos, saj je velika polos po definiciji daljša. Hiperbola takega pravila nima: njena prečna in konjugirana polos sta lahko poljubni pozitivni dolžini, tudi enaki.

Enačba krožnice

Za krožnico s polmerom $r$, katere središče je v izhodišču:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Ekscentričnost: $e = 0$.

Krožnica je poseben primer elipse, pri katerem sta obe osi enako dolgi in obe gorišči ležita v središču.

Enačba elipse

Za elipso s središčem v izhodišču, veliko polosjo $a$ in malo polosjo $b$, kjer velja $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Primer: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Enačba: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Ko velja $a = b$, elipsa postane krožnica in $e = 0$.

Enačba parabole

Za parabolo, odprto v desno, z goriščno razdaljo $f$ (razdaljo od temena do gorišča):

$$y^2 = 4fx$$

Ekscentričnost: $e = 1$, vedno.

Primer: $f = 2$. Enačba: $y^2 = 8x$.

Enačba hiperbole

Za hiperbolo s središčem v izhodišču, prečno polosjo $a$ in konjugirano polosjo $b$, pri čemer sta $a$ in $b$ poljubni pozitivni števili:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Prečna polos $a$ je polovica razdalje med temenoma, točkama, kjer se krivulja obrne. Konjugirana polos $b$ je polovica dolžine konjugirane osi, odseka, ki je skozi središče pravokoten nanjo. Določa, kako hitro se veji razpirata.

V nasprotju z elipso pri hiperboli ni treba, da je $a$ večji od $b$. Dolžini sta neodvisni, zato je $b$ lahko manjši, enak ali večji od $a$. Ko velja $a = b$, se krivulja imenuje pravokotna hiperbola z ekscentričnostjo $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Primer: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Enačba: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Uporaba stožnic v vsakdanjem svetu

Planeti in kometi se gibljejo po tirnicah v obliki stožnic. Keplerjev prvi zakon pravi, da je tirnica planeta elipsa, pri čemer je Sonce v enem od gorišč. Nekateri kometi potujejo po paraboličnih ali hiperboličnih tirnicah in se nikoli ne vrnejo.

Parabole vzporedne žarke usmerijo v eno samo točko, zato inženirji parabolične oblike uporabljajo pri satelitskih krožnikih, zrcalih teleskopov in avtomobilskih žarometih. Hiperbolične krivulje se pojavljajo na stenah hladilnih stolpov, kjer oblika zagotavlja trdnost ob manjši porabi materiala. Elipse se uporabljajo pri obokih, stropih galerij šepeta in zasnovi zobnikov.

Kratka zgodovina stožnic

Grški matematik Menajhmos je proučeval stožnice okoli 350 pr. n. št., ko je poskušal rešiti problem podvojitve kocke. Apolonij iz Perge je okoli 200 pr. n. št. napisal podrobno razpravo z naslovom Stožnice. Poimenoval je elipso, parabolo in hiperbolo ter opisal njihove lastnosti. Stoletja pozneje je Johannes Kepler z elipso opisal gibanje planetov, Isaac Newton pa je s stožnicami pojasnil gravitacijo.

Pogosta vprašanja

Katere so štiri vrste stožnic?

Krožnica, elipsa, parabola in hiperbola. Vsaka nastane, ko ravnina pod drugačnim kotom prereže stožec, vsaka pa ima tudi drugačen razpon ekscentričnosti.

Kako izračunate ekscentričnost?

Ekscentričnost je pri krožnici ($e = 0$) in paraboli ($e = 1$) stalna. Pri elipsi velja $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, pri čemer se uporabita velika polos $a$ in mala polos $b$. Pri hiperboli velja $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, pri čemer se uporabita prečna polos $a$ in konjugirana polos $b$.

Ali mora biti prečna polos hiperbole daljša od konjugirane polosi?

Ne. V nasprotju z veliko in malo polosjo elipse sta prečna polos ($a$) in konjugirana polos ($b$) hiperbole neodvisni meritvi. Obe morata biti pozitivni, vendar je lahko katera koli od njiju daljša.

Ali lahko elipsa postane krožnica?

Da. Ko je velika polos enaka mali polosi, je elipsa krožnica in njena ekscentričnost je 0.

Zakaj imajo satelitski krožniki parabolično obliko?

Parabola odbija žarke, ki potujejo vzporedno z njeno osjo, v eno samo goriščno točko. Satelitski krožniki in zrcala teleskopov to lastnost uporabljajo za zbiranje signalov ali svetlobe v eni točki.

Kaj je pravokotna hiperbola?

Pravokotna hiperbola je hiperbola, pri kateri je prečna polos enaka konjugirani polosi ($a = b$). Njeni asimptoti sta pravokotni, njena ekscentričnost pa je $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Viri

1. Stožnica – Wikipedija
2. Ekscentričnost stožnic – Khan Academy
3. Stožnice – OpenStax