Kalkulator volumna stožca - Izračun volumna stožca in frustuma

Kaj je kalkulator prostornine stožca?

Kalkulator prostornine stožca izračuna prostornino stožca ali prisekanega stožca (frustum) iz njegovega polmera in višine. Stožec je geometrijsko telo z eno ravno krožno osnovo, ki se enakomerno zoži v eno samo točko, imenovano vrh. Prisekani stožec je del stožca, ki ostane, ko njegov vrh odrežemo z rezom, vzporednim z osnovo, tako da namesto ene krožne ploskve ostaneta dve.

Formula za prostornino stožca

Prostornina celotnega stožca je odvisna od polmera njegove osnove in njegove višine.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V je prostornina stožca.
• r je polmer krožne osnove.
• h je višina, izmerjena naravnost od osnove do vrha.
• π (pi) je približno 3,14159.

Rešen primer

Stožec s polmerom osnove 3 enote in višino 4 enote ima to prostornino:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 kubičnih enot

Kako s kalkulatorjem izračunati prostornino stožca

Kalkulator sprejme tri vnose:

1. Polmer — polmer osnove.
2. Višina — višina stožca od osnove do vrha.
3. Višina reza od osnove (neobvezno) — razdalja nad osnovo, na kateri je stožec odrezan, če je njegov vrh odrezan.

Če višino reza pustite prazno ali vnesete 0, dobite prostornino celotnega, neodrezanega stožca. Če vnesete višino reza, ki je manjša od celotne višine, dobite prostornino prisekanega stožca pod rezom. Diagram pod vnosnimi polji označi iste tri meritve na obliki.

Kalkulator zavrne polmer ali višino, ki je enaka nič, negativna, prazna ali prevelika, da bi jo bilo mogoče obravnavati kot običajno število. V teh primerih namesto prostornine prikaže obvestilo, zato nikoli ne prikaže izmišljene vrednosti.

Formula za prostornino prisekanega stožca

Prostornina prisekanega stožca je odvisna od polmerov njegovih dveh krožnih ploskev in njegove višine.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R je polmer večje, spodnje ploskve.
• r je polmer manjše, zgornje ploskve.
• h je višina prisekanega stožca, izmerjena med obema ploskvama.

Kalkulator ne zahteva neposrednega vnosa polmera zgornje ploskve. Namesto tega sprejme polmer osnove, višino, ki bi jo imel stožec, če ne bi bil odrezan, in višino reza. Nato z uporabo podobnih trikotnikov izračuna polmer zgornje ploskve:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

kjer je c višina reza nad osnovo, f pa celotna višina neodrezanega stožca.

Rešen primer

Predpostavimo, da je polmer osnove 3 enote, celotna višina neodrezanega stožca 12 enot, višina reza pa 4 enote.

Polmer zgornje ploskve = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 enoti

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 kubičnih enot

Če je višina reza enaka celotni višini ali večja od nje, je rez na vrhu ali nad njim, zato se nič ne odstrani. Kalkulator nato vrne prostornino celotnega stožca, diagram pa prikaže celotni stožec.

Zgodovina formule za prostornino stožca

Starogrški matematiki so prvi povezali prostornino stožca s prostornino valja. Demokritu, ki je deloval v poznem 5. stoletju pr. n. št., pripisujejo trditev, da je prostornina stožca enaka tretjini valja z enako osnovo in višino. Tega ni dokazal. Evdoks iz Knida, ki je deloval v naslednjem stoletju, je podal prvi strog dokaz z uporabo tehnike, imenovane metoda izčrpavanja, ki je zgodnja predhodnica integralnega računa. Formula V = (1/3)πr²h je od takrat ostala enaka.

Uporaba izračunov prostornine stožca

Prostornine stožcev in prisekanih stožcev se pojavljajo povsod, kjer se oblika zoži od široke osnove do konice ali manjše zgornje ploskve. Inženirji formule uporabljajo za določanje velikosti stožčastih rezervoarjev, zalogovnikov in lijakov. Arhitekti jih uporabljajo za ocenjevanje količine materiala za stožčaste strehe. Geologi jih uporabljajo za ocenjevanje prostornine vulkanskih stožcev in podobnih reliefnih oblik.

Pogosta vprašanja

Kako izračunate prostornino stožca?

Pomnožite π s kvadratom polmera, rezultat pomnožite z višino in ga nato delite z 3: V = (1/3)πr²h. Stožec s polmerom 5 cm in višino 10 cm ima prostornino približno 261,80 kubičnih centimetrov.

Kakšna je formula za prostornino prisekanega stožca?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), pri čemer sta R in r polmera obeh krožnih ploskev, h pa lastna višina prisekanega stožca, izmerjena med tema ploskvama.

Kako kalkulator določi polmer zgornje ploskve prisekanega stožca?

Uporablja podobne trikotnike. Polmer zgornje ploskve je enak polmeru osnove, pomnoženemu z (1 − višina reza ÷ celotna višina stožca). To velja za prisekani stožec, ki izhaja iz stožca z ravnimi stranicami.

Kaj se zgodi, če je višina reza večja od višine ali ji je enaka?

Kalkulator obliko obravnava kot celotni, neodrezani stožec in vrne V = (1/3)πr²h z uporabo vnesenega polmera in višine.

Kaj se zgodi, če je polmer ali višina enaka nič ali negativna?

Kalkulator zahteva, da sta polmer in višina večja od nič. Če je katera od teh vrednosti enaka nič, negativna, prazna ali prevelika, da bi jo bilo mogoče obravnavati kot običajno število, namesto prostornine prikaže obvestilo.

Kako izračunate prostornino stožca iz premera namesto iz polmera?

Premer delite z 2, da dobite polmer, nato pa kot običajno uporabite V = (1/3)πr²h.

Viri

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—spletni vir Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—spletni vir Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html