Kalkulator pravokotnega krožnega stožca - Volumen, Površina in Formule

Kaj je pokončni krožni stožec?

Pokončni krožni stožec je geometrijsko telo z ravno krožno osnovo in eno ukrivljeno stranico, ki se zoži v eno samo točko, imenovano vrh. Je »pokončen«, ker je vrh neposredno nad središčem osnove. Daljica od vrha naravnost navzdol do osnove se z osnovo stika pod pravim kotom. Ta kalkulator iz polmera in višine izračuna prostornino stožca, ploščino osnove, stransko površino in celotno površino.

Pogosti primeri te oblike so prometni stožci, korneti za sladoled, lijaki in strehe nekaterih stolpov.

Meritve stožca

Pokončni krožni stožec opišeta dve meritvi:

• Polmer (r): razdalja od središča krožne osnove do njenega roba.
• Višina (h): ravna navpična razdalja od osnove do vrha.

Tretja dolžina, poševna višina (l), je razdalja po zunanji strani stožca od vrha do roba osnove. Ne meri se neposredno. Namesto tega se izračuna iz polmera in višine, saj te tri dolžine tvorijo pravokotni trikotnik. Kalkulator poševno višino uporabi za izračun stranske površine, vendar je ne prikaže kot ločen rezultat.

Kalkulator ne določa merske enote. Polmer in višino vnesite v isti enoti. Vsaka ploščina je nato izražena v kvadratih te enote, prostornina pa v kubikih te enote. Nobena vrednost ne sme biti negativna, saj dolžina ne more biti negativna; kalkulator namesto rezultata prikaže sporočilo. Rezultati so podani na štiri decimalna mesta.

Formule za stožec

Formula za izračun izvodnice

Polmer, višina in poševna višina tvorijo pravokotni trikotnik, zato poševno višino dobimo s Pitagorovim izrekom:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Formula za ploščino osnove

Osnova je krog, zato se njena ploščina izračuna s standardno formulo za ploščino kroga:

$$A_b = \pi r^2$$

Formula za stransko površino

Stranska površina zajema samo ukrivljeno stranico, ne pa tudi osnove. Če bi ukrivljeno stranico razvili v ravnino, bi dobili krožni izsek s ploščino:

$$A_l = \pi r l$$

Formula za celotno površino

Celotna površina je vsota osnove in ukrivljene stranice:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Stožec, ki je pri osnovi odprt, na primer papirnati lijak, pri izračunu količine materiala potrebuje le stransko površino.

Formula za prostornino stožca

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Prostornina stožca je natanko tretjina prostornine valja z enako osnovo in višino. Arhimed je to povezavo dokazal z metodo, ki je nastala pred razvojem infinitezimalnega računa. Pozneje je bila potrjena z integralnim računom, ki stožec obravnava kot neskončen niz vse manjših krožnih ploščic od osnove do vrha.

Kako izračunati prostornino stožca: prikazan primer

Vzemimo stožec s polmerom r = 5 enot in višino h = 12 enot.

1. Izračunajte poševno višino.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ enot}$$

2. Izračunajte ploščino osnove.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ enot}^2$$

3. Izračunajte stransko površino.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ enot}^2$$

4. Izračunajte celotno površino.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ enot}^2$$

5. Izračunajte prostornino.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ enot}^3$$

Diagram

Črtkana navpična črta je višina od osnove do vrha. Črtkana vodoravna črta je polmer od središča osnove do njenega roba.

Kje se stožci pojavljajo v vsakdanjem življenju

Izračuni prostornine in površine stožca se uporabljajo v več praktičnih primerih:

• Izdelava pločevine: stranska površina določa količino ravnega materiala, potrebnega za zvijanje v stožčasti lijak, lijak ali reducirni kos kanala, preden se doda dodatek za šive in odpad.
• Prostornina za shranjevanje: formula za prostornino določa prostornino stožčastih rezervoarjev in stožčastih spodnjih delov silosov.
• Gradbeništvo: konice, zaključki stolpov in drugi stožčasti strešni elementi uporabljajo stransko površino za oceno količine strešnega materiala.
• Predmeti vsakdanje rabe: papirnati lončki, korneti za sladoled in prometni stožci so vsi približno pokončni krožni stožci.

Ta kalkulator predpostavlja popoln stožec s krožno osnovo in vrhom, ki je središčno nad osnovo. Stožec, ki je odrezan na vrhu in se imenuje prisekan stožec, potrebuje drugačen nabor formul, ker ima dva polmera namesto enega.

Zgodovina

Starogrški matematiki so stožce preučevali že okoli 300 pr. n. št. Evklidovi Elementi so stožec opredelili kot geometrijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli ene od njegovih katet. Pozneje je Apolonij iz Perge preučeval krivulje, ki nastanejo pri rezanju stožca pod različnimi koti; danes jih imenujemo stožnice: krog, elipsa, parabola in hiperbola. Arhimed je formulo za prostornino V = (1/3)πr²h dokazal z metodo izčrpavanja, geometrijsko tehniko, ki je za približno 2.000 let prehitela razvoj integralnega računa.

Pogosta vprašanja

Kaj pomeni »pokončni krožni« stožec?

»Pokončni« pomeni, da je vrh neposredno nad središčem osnove, zato je os pravokotna na osnovo. Pri poševnem stožcu je vrh odmaknjen na eno stran. »Krožni« pomeni, da je osnova krog in ne elipsa ali druga oblika.

Kakšna je formula za prostornino stožca?

V = (1/3)πr²h, pri čemer je r polmer osnove, h pa pravokotna višina. Za prostornino poševna višina ni potrebna.

Kakšna je formula za površino stožca?

Celotna površina je A = πr² + πrl, pri čemer je r polmer, l pa poševna višina. Prvi člen je ploščina osnove, drugi pa stranska površina. Če stožec nima osnove, na primer pri odprtem lijaku, prvi člen izpustimo.

Kaj je poševna višina in kako se razlikuje od višine?

Višina je ravna navpična razdalja od osnove do vrha, izmerjena skozi notranjost stožca. Poševna višina je razdalja po zunanji površini od vrha do roba osnove. Povezani sta z enačbo l = √(r² + h²), pri čemer je poševna višina vedno daljša od višine, kadar je polmer večji od nič.

Kako iz premera izračunam prostornino stožca?

Premer delite z 2, da dobite polmer, nato uporabite V = (1/3)πr²h. Stožec s premerom 10 cm in višino 15 cm ima na primer polmer 5 cm, zato je V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Ali ta kalkulator deluje za prisekane stožce?

Ne. Prisekan stožec je stožec, ki mu je vrh odrezan, zato ima dva polmera namesto enega in potrebuje lastne formule za prostornino in površino.