Kalkulator Millerjevih indeksov - Pretvorba presečnih točk kristalne ravnine v (hkl)

Kaj so Millerjevi indeksi?

Millerjevi indeksi so množica treh celih števil, zapisanih kot (h,k,l), ki določajo ravnino v kristalni mreži. Kristalna mreža je ponavljajoča se urejena razporeditev atomov v trdni snovi. Millerjevi indeksi znanstvenikom natančno povedo, kateri prerez skozi to mrežo predstavlja ravnina, ne da bi bilo treba njeno geometrijo opisovati z besedami. Uvedel jih je britanski mineralog William Hallowes Miller leta 1839 in še danes so standardni zapis v kristalografiji.

Ta kalkulator pretvori presečišča ravnine s kristalografskimi osmi x, y in z v njene Millerjeve indekse (h,k,l).

Formula za Millerjeve indekse

Millerjevi indeksi izhajajo iz recipročnih vrednosti presečišč ravnine z osmi. Če ravnina seka osi x, y in z v razdaljah a, b in c od izhodišča, indeksi izpolnjujejo:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kako izračunati Millerjeve indekse iz presečišč

1. Določite, kje ravnina seka vsako os, merjeno v enotah roba osnovne celice. Ta presečišča označite z a, b in c.
2. Izračunajte recipročno vrednost vsakega presečišča: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Vse tri recipročne vrednosti pomnožite z istim številom, tako da vsaka postane celo število.
4. Tri cela števila delite z njihovim največjim skupnim deliteljem, tako da jih ni mogoče več krajšati.

Tri dobljena cela števila so h, k in l. Za ravnino, ki osi nikoli ne seka, se šteje, da jo seka v neskončnosti, in 1, deljeno z neskončnostjo, je 0, zato ta os dobi Millerjev indeks 0.

Rešen primer

Ravnina seka os x pri 2, os y pri 3 in os z pri 6.

1. Presečišča: (2, 3, 6)
2. Recipročne vrednosti: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Pomnožite z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev, 6: (3, 2, 1)
4. Največji skupni delitelj števil 3, 2 in 1 je 1, zato števil ni mogoče več krajšati.

Millerjevi indeksi so (321).

Drugi primeri

• Ravnina skozi (1, ∞, 2) — vzporedna z osjo y — ima recipročne vrednosti (1, 0, 1/2). Če jih pomnožimo z 2, dobimo (2, 0, 1). Vrednost 0 kaže, da ravnina osi y nikoli ne seka.
• Ravnina skozi (-1, 2, 3) ima recipročne vrednosti (-1, 1/2, 1/3). Če jih pomnožimo z 6, dobimo (-6, 3, 2), kar se običajno zapiše kot (6̄32), s črtico nad negativnim indeksom.
• Ravnina skozi (1, ∞, ∞) ima recipročne vrednosti (1, 0, 0), zato dobimo (100). To je ena od šestih ploskev kocke.

Posebni primeri

Ravnina, vzporedna z osjo, je nikoli ne seka, zato se njeno presečišče obravnava kot neskončno, njen Millerjev indeks pa je 0. Ravnina, ki seka os na negativni strani izhodišča, dobi negativen indeks, ki se v formalnem zapisu zapiše s črtico nad številom ali v navadnem besedilu z minusom. Ravnina, ki poteka skozi samo izhodišče, nima določenih Millerjevih indeksov, saj mora biti vsaka družina vzporednih ravnin v mreži odmaknjena od izhodišča, da jo je mogoče indeksirati; pred opisom take ravnine je treba izhodišče premakniti. Z ulomljenimi presečišči ravnamo enako kot s celimi: izračunamo recipročno vrednost vsakega in nato odpravimo ulomke.

Indeksi se vedno reducirajo na najmanjša možna cela števila. (622) in (311) opisujeta isto družino ravnin, vendar kristalografi vedno zapišejo (311).

Kako uporabljati ta kalkulator

Vnesite presečišča ravnine z osmi x, y in z.

• Za presečišče na pozitivni strani izhodišča uporabite pozitivno število, za tisto na negativni strani pa negativno število.
• Za ravnino, ki poteka vzporedno z osjo, vnesite »infinity«, »inf« ali »∞«.
• Presečišče z vrednostjo nič ni sprejeto, ker ravnini, ki poteka skozi izhodišče, s to metodo ni mogoče dodeliti Millerjevih indeksov.

Kalkulator indekse izračuna takoj in prikaže diagram ravnine znotraj osnovne celice.

Uporaba Millerjevih indeksov

Rentgenska difrakcija. Vsaka pika ali vrh na rentgenskem difrakcijskem vzorcu ustreza množici mrežnih ravnin z določenim (hkl). Braggov zakon povezuje razmik med temi ravninami z difrakcijskim kotom:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Pri tem je d_hkl razmik med ravninami (h,k,l), λ valovna dolžina rentgenskih žarkov, θ pa difrakcijski kot. Ujemanje opaženih vrhov z vrednostmi (hkl), postopek, imenovan indeksiranje, je osnovni korak pri določanju neznane kristalne strukture.

Veda o materialih. Različne kristalne ravnine razkrivajo različne razporeditve atomov, zato imajo različne površinske energije, različne hitrosti kemijskih reakcij in različne vloge pri deformaciji kovine. V kovinah s ploskovno centrirano kubično kristalno strukturo, kot je aluminij, atomske ravnine najlaže drsijo druga ob drugi vzdolž ravnin {111}. Silicijeve rezine za računalniške čipe so običajno izrezane vzdolž ravnine (100) ali (111), ker izbira vpliva na potek poznejših proizvodnih korakov.

Mineralogija. Ravne ploskve, vidne na naravnem kristalu, in smeri, vzdolž katerih se mineral čisto razkolje (njegova cepljivost), ustrezajo specifičnim ravninam z nizkimi indeksi. Halit (kamena sol) se kolje vzdolž ravnin {100}, fluorit pa vzdolž ravnin {111}.

Miller-Bravaisovi indeksi za heksagonalne kristale

Heksagonalne kristale, kot so magnezij, cink in titan, običajno opisujemo s sistemom štirih indeksov (hkil) namesto s tremi. Dodatni indeks i ni neodvisen; vedno velja i = -(h+k). Ta zapis olajša prepoznavanje, da dve ravnini pripadata isti simetrijsko ekvivalentni družini, kar v heksagonalni mreži samo iz tr iindeksnega Millerjevega zapisa ni vedno očitno.

Zgodovina

Millerjeve indekse je William Hallowes Miller uvedel v svoji knjigi A Treatise on Crystallography iz leta 1839. Prejšnji sistemi označevanja kristalnih ploskev so že obstajali, vendar je Millerjeva metoda uporabe recipročnih vrednosti presečišč olajšala obravnavo ravnin, vzporednih z osjo, saj je njihovo presečišče neskončno, njegova recipročna vrednost pa preprosto 0. Ko je Max von Laue leta 1912 odkril rentgensko difrakcijo na kristalih, sta William Henry Bragg in William Lawrence Bragg pokazala, da Millerjevi indeksi natančno opisujejo ravnine, odgovorne za difrakcijske vrhove; za to delo sta si delila 1915 Nobelovo nagrado za fiziko.

Pogosta vprašanja

Za kaj se uporabljajo Millerjevi indeksi? Določajo specifične ravnine v kristalni mreži. Uporabljajo se za indeksiranje vrhov rentgenske in elektronske difrakcije, opis drsnih ravnin v kovinah, določanje orientacije polprevodniških rezin ter označevanje ploskev in cepljivosti mineralov.

Kaj pomeni ničla v Millerjevem indeksu? Pomeni, da je ravnina vzporedna s to osjo in je nikoli ne seka. Na primer, (201) je vzporedna z osjo y.

Kaj pomenijo negativni Millerjevi indeksi? Pomenijo, da ravnina seka os na negativni strani izhodišča. Negativni indeks se zapiše s črtico nad številom, na primer (2̄11), ali z minusom, na primer (-2,1,1).

Zakaj ravnina skozi izhodišče ne more imeti Millerjevih indeksov? Millerjevi indeksi izhajajo iz recipročne vrednosti presečišča. Ravnina skozi izhodišče seka vsako os pri 0, izraz 1/0 pa ni definiran, zato metoda ne more določiti indeksov, dokler ravnine ne premaknemo.

Kakšna je razlika med Millerjevimi in Miller-Bravaisovimi indeksi? Millerjevi indeksi (hkl) uporabljajo tri števila in veljajo za kateri koli kristalni sistem. Miller-Bravaisovi indeksi (hkil) dodajo četrti, odvisni indeks in se uporabljajo predvsem za heksagonalne kristale, pri katerih olajšajo prepoznavanje simetrijsko ekvivalentnih ravnin.

Kako je razmik med ravninami povezan z Millerjevimi indeksi? V kubičnem kristalu z dolžino roba a je razmik med sosednjimi ravninami (hkl) enak d = a / √(h² + k² + l²). Ravnine z višjimi indeksi so tesneje razporejene. Drugi kristalni sistemi uporabljajo podobno, vendar bolj zapleteno formulo, ki upošteva neenake dolžine osi in kote, ki niso 90°.

Viri

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. izdaja). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. izdaja). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.