Калкулатор лукова - Израчунавање радијуса, распона и висине

Шта је калкулатор за лукове?

Калкулатор за лукове одређује димензије кружног лука — полупречник, распон и стрелу — на основу било које две од тих вредности. Такође израчунава дужину лука и површину лука. Архитекте, грађевинари и хобисти користе га за планирање врата, прозора, мостова и баштенских елемената лучног облика.

Кључне димензије лука

Кружни лук је део одсечен од обода круга. Његов облик описује пет мерења:

• Полупречник: растојање од центра тог круга до било које тачке на кривој лука.
• Распон: право хоризонтално растојање између два доња краја лука, које се назива и ширина.
• Стрела: вертикално растојање од линије ослонца (хоризонталне линије која спаја оба краја) до највише тачке лука.
• Дужина лука: растојање дуж криве линије лука, од једног краја до другог.
• Површина лука: површина закривљеног дела ограниченог луком и линијом ослонца.

Формуле за димензије лука

Ове формуле важе за кружни лук, односно лук направљен од дела једног круга. Важе за сваку стрелу до двоструке вредности полупречника. Тај опсег обухвата лукове врата, прозора и мостова које већина људи израчунава, као и потковичасте лукове, код којих се крива наставља иза полуокруга.

Формула за стрелу (на основу полупречника и распона)

$\text{Успон} = \text{Полупречник} - \sqrt{\text{Полупречник}^2 - \left(\frac{\text{Распон}}{2}\right)^2}$

Важећа је када су полупречник и распон позитивни, а распон ≤ 2 × полупречник.

Формула за полупречник (на основу распона и стреле)

$\text{Полупречник} = \frac{\text{Распон}^2}{8 \times \text{Успон}} + \frac{\text{Успон}}{2}$

Важећа је када су распон и стрела позитивни.

Формула за распон (на основу полупречника и стреле)

$\text{Распон} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Полупречник} \times \text{Успон} - \text{Успон}^2}$

Важећа је када су полупречник и стрела позитивни, а стрела ≤ 2 × полупречник.

Формула за дужину лука

$\text{Дужина лука} = \text{Полупречник} \times \theta$

Овде је θ (тета) централни угао, изражен у радијанима, који крива лука захвата у центру круга. Када стрела није већа од полупречника, лук је највише полуокруг, па је θ:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{распон}}{2 \times \text{полупречник}}\right)$

Када је стрела већа од полупречника, лук је већи од полуокруга, а θ се добија као преостали део круга:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{распон}}{2 \times \text{полупречник}}\right)$

Калкулатор обухвата оба случаја у једном кораку, θ = 2 × atan2(распон ÷ 2, полупречник − стрела), што остаје тачно и код полуокруга.

Формула за површину лука

$\text{Површина лука} = \frac{1}{2} \times \text{Полупречник}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Распон} \times (\text{Полупречник} - \text{Успон})$

Како се користи калкулатор за лукове

Калкулатор нуди три режима, по један за сваку димензију која можда недостаје.

Израчунај стрелу, када су познати полупречник и распон: унесите полупречник и распон. Алат враћа стрелу, дужину лука и површину лука.

Израчунај полупречник, када су познати распон и стрела: унесите распон и стрелу. Алат враћа полупречник, дужину лука и површину лука.

Израчунај распон, када су познати полупречник и стрела: унесите полупречник и стрелу. Алат враћа распон, дужину лука и површину лука.

Калкулатор одбацује уносе који не могу да образују стварни лук. Распон не може бити већи од двоструког полупречника, стрела не може бити већа од двоструког полупречника, а свака димензија мора бити позитиван број. Приказује поруку о грешци када вредност прекрши неко од ових правила.

Решени пример

Пример 1: лук изнад врата

Лук изнад врата има распон од 36 инча (91,4 cm) и стрелу од 12 инча (30,5 cm).

Полупречник = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 инча (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 радијана

Дужина лука = 19,5 × 2,352 = 45,86 инча (116 cm)

Површина лука = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 квадратних инча (2.010 cm²)

Пример 2: баштенски лук

Баштенски лук има полупречник од 4 стопе (1,2 m) и распон од 6 стопа (1,8 m).

Стрела = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 стопа (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 радијана

Дужина лука = 4 × 1,696 = 6,78 стопа (2,07 m)

Површина лука = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 квадратних стопа (0,523 m²)

Пример 3: мостовски лук

Мостовски лук има распон од 50 стопа (15 m) и стрелу од 15 стопа (4,57 m).

Полупречник = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 стопе (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 радијана

Дужина лука = 28,33 × 2,162 = 61,25 стопа (18,7 m)

Површина лука = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 квадратних стопа (49,6 m²)

Уобичајене примене прорачуна лукова

Грађевинари користе димензије лука за сечење оплате за бетонске лукове, израду шаблона од цигле или камена за зидане лукове и планирање закривљености сводова. Пројектанти мостова користе распон, стрелу и полупречник за усклађивање расподеле оптерећења са слободном висином. Приликом рестаурације исте формуле служе за подударање са тачном геометријом историјског лука током поправке или поновне изградње. Баштовани и мајстори аматери користе их за лучне решетке, капије и украсне отворе.

Овај калкулатор обухвата само кружне лукове, односно оне који су формирани луком једног круга. Елиптични, параболични, готички и катенарни лукови прате различите криве и захтевају друге формуле.

Кратка историја лука

Грађевинари у древној Месопотамији користили су ране облике налик луку још око 2500. године пре нове ере, мада је већина била изграђена конзолним зидањем — слагањем камења тако да сваки слој надвиси онај испод себе — а не као прави закривљени лук. Римљани су полукружни лук развили у стандардни начин градње и користили га за аквадукте, мостове и грађевине попут Колосеума. Средњовековни градитељи у Европи развили су шиљати готички лук, који им је омогућио да граде више и лакше конструкције. Каснији архитекти вратили су се полукружним облицима заснованим на прецизним пропорцијама, а савремени материјали попут челика и армираног бетона сада омогућавају луковима да премосте знатно већа растојања.

Најчешће постављана питања

Која је разлика између стреле и висине лука?

Стрела је вертикално растојање од линије ослонца до врха криве лука. Висина се понекад односи на укупну висину отвора, укључујући и сваки прави зид испод линије ослонца.

Да ли овај калкулатор ради за све врсте лукова?

Не. Ради само за кружне лукове, односно оне облика дела круга. Елиптични, параболични, готички и катенарни лукови прате различите криве и захтевају засебне формуле.

Какав је однос између распона и полупречника код полукружног лука?

Код полукружног лука полупречник је једнак половини распона, а стрела је једнака полупречнику. Лук чини тачно половину круга.

Зашто распон не може бити већи од двоструког полупречника?

Распон једнак двоструком полупречнику већ образује полуокруг, најшири могући лук за тај полупречник. Шири распон уопште не би могао да стане на круг.

Зашто стрела не може бити већа од двоструког полупречника (у режиму за израчунавање распона)?

Стрела се мери од линије ослонца до највише тачке лука на истом кругу. Двоструки полупречник је пуна висина тог круга, па би већа стрела поставила врх лука изван круга. Стрела између полупречника и његове двоструке вредности је дозвољена. Лук је тада већи од полуокруга, што је облик који се користи код потковичастих лукова.

Које јединице користи калкулатор?

Може се користити свака усклађена јединица — инчи, стопе, метри или центиметри. Унесите сваку вредност у истој јединици, а резултати ће бити у тој истој јединици, при чему ће површина бити изражена у квадратним јединицама.