En logaritm besvarar en fråga: vilken exponent gör att basen blir detta tal? Om $b^y = x$ gäller, så är $\log_b(x) = y$. En logaritm är den omvända operationen till att upphöja ett tal i en potens. Den tar reda på exponenten. Tre typer förekommer oftast: log: basen 10, den vanliga logaritmen. log(100) frågar ”10 upphöjt till vilken potens ger 100?” ln: bas $e$ (ungefär 2,71828), den naturliga logaritmen, som är vanlig inom analys. log_a: en anpassad bas, skriven med ett understreck. log_2(8) betyder logaritmen med bas 2 av 8. En logaritm är endast definierad för ett positivt argument. Appen avvisar inmatningar som log(0) eller log(-5) som ogiltiga, eftersom ingen reell potens av en positiv bas ger noll eller ett negativt tal.

Logaritmförenklare - Direkta steg-för-steg-lösningar

Logaritmförenklare

En logaritmförenklare är ett verktyg som skriver om ett logaritmuttryck genom att tillämpa en standardregel för logaritmer, till exempel produktregeln eller potensregeln. Appen Logaritmförenklare jämför ett uttryck med en fast uppsättning mönster och returnerar den förenklade formen. Om inget enskilt mönster passar returneras uttrycket oförändrat.

Vad är en logaritm?

En logaritm besvarar en fråga: vilken exponent gör att basen blir detta tal? Om $b^y = x$ gäller, så är $\log_b(x) = y$ . En logaritm är den omvända operationen till att upphöja ett tal i en potens. Den tar reda på exponenten.

Tre typer förekommer oftast:

log: basen 10, den vanliga logaritmen. log(100) frågar ”10 upphöjt till vilken potens ger 100?”
ln: bas $e$ (ungefär 2,71828), den naturliga logaritmen, som är vanlig inom analys.
log_a: en anpassad bas, skriven med ett understreck. log_2(8) betyder logaritmen med bas 2 av 8.

En logaritm är endast definierad för ett positivt argument. Appen avvisar inmatningar som log(0) eller log(-5) som ogiltiga, eftersom ingen reell potens av en positiv bas ger noll eller ett negativt tal.

Logaritmregler och formler

Regel	Formel
Produktregeln	$\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y)$
Kvotregeln	$\log_b(x \div y) = \log_b(x) - \log_b(y)$
Potensregeln	$\log_b(x^n) = n \times \log_b(x)$
Basbytesformeln	$\log_a(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(a)}$
Identitet	$\log_b(b) = 1$
Logaritmen av ett	$\log_b(1) = 0$

Så beräknas en förenklad logaritm

Appen prövar varje regel i tur och ordning mot hela uttrycket som skrivits i inmatningsfältet. Den tillämpar den första regeln vars form passar hela uttrycket, inte bara en del av det.

Eftersom varje regel kontrollerar hela uttrycket förenklar appen en operation i taget. Ett uttryck som blandar en potens och en multiplikation i samma term, till exempel log(x^2*y), passar inget enskilt mönster och returneras därför oförändrat. Verktyget kombinerar inte flera regler för att stegvis bryta ned ett längre uttryck.

För en ren numerisk logaritm som log(8), log(100) eller ln(20) beräknar appen ett tal i stället för att tillämpa en symbolisk regel. Resultat som är heltal visas som heltal; alla andra värden avrundas till sex decimaler. Detta sker endast när hela inmatningen är en enda logaritm av ett tal. En inmatning med två logaritmer, till exempel log(8)/log(2), returneras oförändrad i stället för att delvis beräknas.

Räkneexempel

För att förenkla log(x*y) matchar appen produktregelns mönster log(A*B). Den delar upp uttrycket i två separata logaritmer som förenas med addition:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

För log(x^3) matchar potensregelns mönster log(A^n), och exponenten flyttas framför:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

Exponenten kan vara negativ eller ett decimaltal. log(x^-2) ger -2 * log(x), och log(x^0.5) ger 0.5 * log(x).

För en anpassad bas som log_2(8) tillämpar appen basbytesformeln symboliskt. Den beräknar inte det numeriska svaret (som är 3), utan returnerar kvoten log(8) / log(2).

Exempel på inmatningar och resultat

Den sista kolumnen är namnet på regeln som appen skriver ut under diagrammet.

Inmatning	Resultat	Visad regel
`log(100)`	`2`	Basberäkning
`log(8)`	`0.903090`	Basberäkning
`log(1)`	`0`	Basberäkning
`log(10)`	`1`	Basberäkning
`log(0.5)`	`-0.301030`	Basberäkning
`ln(20)`	`2.995732`	Basberäkning
`ln(e^5)`	`5`	Naturliga logaritmen av e^n
`log(x^3)`	`3 * log(x)`	Potensregel
`log(x^-2)`	`-2 * log(x)`	Potensregel
`log(x*y)`	`log(x) + log(y)`	Produktregel
`log(x/y)`	`log(x) - log(y)`	Kvotregel
`log_5(5)`	`1`	Logaritmbasidentitet
`log_2(8)`	`log(8) / log(2)`	Basbyte (symboliskt resultat, inte `3`)
`log(x+y)`	`log(x+y)` (oförändrad)	Förenkling

Använda appen

Skriv ett uttryck i inmatningsfältet och använd * för multiplikation, / för division, ^ för exponenter och parenteser för att gruppera termer. Använd understrecksnotation av typen log_2(8) för en anpassad bas. Resultatet visas så snart ett giltigt uttryck har skrivits in, tillsammans med ett litet diagram som visar inmatningen, resultatet och vilken enskild regel som utlöstes. Med en kopieringsknapp kan resultatet klistras in i andra dokument.

Begränsningar

Appen är en liten mönsterigenkännare, inte ett fullständigt datoralgebrasystem. Den kan inte:

Tillämpa två eller fler regler på samma uttryck, så flertermsuttryck som log(x^2*y/z) bryts inte ned ytterligare.
Arbeta med en inmatning som innehåller mer än en logaritm. log(8)/log(2) returneras oförändrad och beräknas inte som 3.
Beräkna en logaritm med anpassad bas till ett vanligt tal. log_2(8) förblir log(8) / log(2) i stället för att bli 3.
Förenkla summor eller differenser inuti en logaritm, till exempel log(x + y), eftersom produkt- och kvotreglerna endast gäller multiplikation och division.
Lösa ekvationer, rita funktionsgrafer eller hantera nästlade logaritmer.

För sådana uppgifter passar ett fullständigt datoralgebrasystem som Wolfram Alpha eller en grafräknare bättre.

En kort historik

Den skotske matematikern John Napier introducerade logaritmer år 1614 för att omvandla multiplikation till addition och därigenom minska astronomers och navigatörers tid för handberäkningar. Henry Briggs arbetade senare tillsammans med Napier med att framställa logaritmtabeller med bas 10, som publicerades år 1617 och användes i över tre århundraden. Under 20-talet fick logaritmerna en ny roll: Claude Shannon använde dem år 1948 för att definiera biten, informations grundläggande enhet, och datavetare använder nu logaritmer för att beskriva hur effektivt algoritmer som binärsökning skalar.

Vanliga frågor

Vad är en logaritmförenklare? Det är ett verktyg som skriver om ett logaritmuttryck med hjälp av en logaritmregel, till exempel genom att omvandla log(x*y) till log(x) + log(y). Appen jämför en regel i taget med hela det inskrivna uttrycket.

Förenklas log_2(8) till 3? Nej. Appen tillämpar basbytesformeln symboliskt och returnerar log(8) / log(2). Den beräknar inte logaritmer med anpassad bas till ett tal, inte ens när det numeriska svaret är ett heltal.

Kan appen kombinera flera regler i ett uttryck? Nej. Varje regel kontrollerar hela uttrycket på en gång. Ett uttryck som kräver två regler, till exempel att först separera en produkt och sedan tillämpa potensregeln på en del av den, returneras oförändrat.

Varför förenklas inte log(x + y) ytterligare? Produkt- och kvotreglerna gäller endast multiplikation och division inuti en logaritm, inte addition eller subtraktion. log(x + y) kan inte skrivas om som log(x) + log(y); det är ett vanligt misstag.

Var sker beräkningen? I webbläsaren på enheten. Uttrycket skickas inte till någon server, och verktyget kan användas kostnadsfritt utan att registrera sig.

Logaritmförenklare - Direkta steg-för-steg-lösningar