Young-Laplace ekvationslösare | Gränssnittstryck

Vad är Young–Laplace-ekvationen?

Young–Laplace-ekvationen är en formel inom fluidmekaniken som anger tryckskillnaden över en krökt gränsyta mellan två fluider, till exempel ytan på en vattendroppe eller en såpbubbla. Den visar att tryckskillnaden beror på fluidens ytspänning och på hur kraftigt gränsytan kröker sig. Ekvationen förklarar varför tryck byggs upp inuti droppar och bubblor och varför mindre sådana har högre inre tryck än större.

Den är uppkallad efter Thomas Young och Pierre-Simon Laplace, som var och en beskrev sambandet i början av 1800-talet.

Young–Laplace-ekvationens formel

Ekvationen har följande allmänna form:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ är tryckskillnaden över gränsytan, i pascal (Pa)
• $\gamma$ (gamma) är fluidens ytspänning, i newton per meter (N/m)
• $R_1$ och $R_2$ är ytans två huvudsakliga krökningsradier, i meter (m)

En yta kröker sig olika i olika riktningar. $R_1$ och $R_2$ beskriver krökningen längs två riktningar som är vinkelräta mot varandra. För en sfär, till exempel en droppe eller en bubbla, är $R_1$ lika med $R_2$, så formeln förenklas till:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Teckenkonvention

Trycket är alltid högre på den konkava sidan av en krökt gränsyta, alltså den sida som ytan buktar bort från. För en droppe eller bubbla innebär det att trycket på insidan är högre än trycket på utsidan. En radie räknas som positiv när dess krökningscentrum ligger på sidan med högre tryck. Om ytan kröker åt andra hållet i en riktning räknas den radien som negativ. En sadelformad gränsyta, till exempel vätskehalsen mellan två korn som berör varandra, har en positiv och en negativ radie, och termerna tar delvis ut varandra.

Den här kalkylatorn använder endast positiva radier.

Specialfall

• Plan yta: när en radie växer mot oändligheten minskar dess term i formeln mot noll. En fullständigt plan gränsyta har ingen tryckskillnad alls.
• Cylinder: en lång cylindrisk yta, till exempel en vätskestråle som lämnar ett munstycke, kröker sig endast i en riktning. Den ena radien är cylinderns radie och den andra är oändlig längs dess längd, så formeln förenklas till $\Delta P = \gamma / R$. Det är hälften av tryckskillnaden för en sfär med samma radie.
• Mycket små skalor: under ungefär 10 till 20 nanometer blir ytterligare effekter, till exempel linjespänning, betydelsefulla och den enkla ekvationen blir mindre noggrann.

Så beräknas tryckskillnaden med Young–Laplace-ekvationen

1. Ta reda på fluidens ytspänning, i N/m, vid den temperatur som är aktuell. Ytspänningen minskar när temperaturen stiger.
2. Mät eller uppskatta den första huvudsakliga krökningsradien, $R_1$, i meter.
3. Mät eller uppskatta den andra huvudsakliga krökningsradien, $R_2$, i meter. För en sfär används samma värde som $R_1$. För en cylinder används ett mycket stort tal som approximation för oändligheten.
4. Multiplicera ytspänningen med summan av $1/R_1$ och $1/R_2$. Resultatet är tryckskillnaden i pascal.

Använd SI-enheter för alla värden. Om millimeter blandas med meter blir svaret till exempel fel med en faktor på tusen.

Räkneexempel

Betrakta en sfärisk vattendroppe med radien 1 millimeter (0,001 m) och en ytspänning på 0,072 N/m, ett typiskt värde för vatten nära rumstemperatur.

Eftersom droppen är en sfär gäller $R_1 = R_2 = R$, så:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Trycket inuti droppen är 144 Pa högre än det omgivande lufttrycket. Det är litet jämfört med normalt atmosfärstryck, cirka 101 325 Pa, men effekten ökar snabbt när en droppe krymper. En droppe som är en tiondel så stor, med radien 0,1 mm, har tio gånger så stor tryckskillnad: 1 440 Pa. En droppe med radien 0,01 mm når 14 400 Pa, vilket är mer än 14 % av atmosfärstrycket.

Var ekvationen används

• Droppar och bubblor: högre tryck inuti små droppar driver Ostwaldmognad, den process där små droppar i en emulsion krymper medan större växer, eftersom innehållet diffunderar från högt till lågt tryck.
• Kapillärkraft: den krökta ytan inuti ett smalt rör drar vätskan uppåt. Det är därför vatten stiger i hushållspapper och smala glasrör.
• Andning: de små luftsäckarna i lungorna, som kallas alveoler, beter sig som små bubblor. En beläggning som kallas pulmonellt surfaktant minskar ytspänningen, så att små alveoler inte kollapsar under det tryck som ekvationen förutsäger. För tidigt födda barn som saknar tillräckligt med surfaktant kan därför få andningsproblem.
• Bläckstråleskrivare: skrivarens munstycken bildar droppar som är tiotals mikrometer breda, där trycket från krökningen är tillräckligt stort för att påverka hur bläcket lämnar munstycket.
• Materialvetenskap: instrument som mäter hur vätskor väter en yta och hur tunna beläggningar beter sig använder ekvationen för att relatera en droppes form till dess ytenergi.

Historia

Människor observerade vätskor som steg i smala rör långt innan någon förklarade varför. I början av 1700-talet visade Francis Hauksbee experimentellt att smalare rör ger större kapillär stighöjd, och år 1718 beskrev James Jurin stighöjden som omvänt proportionell mot rörets diameter.

Thomas Young förklarade den underliggande fysiken i en artikel från 1805, där han introducerade ytspänning som en egenskap hos en fluid och kopplade den till trycket över krökta ytor, även om hans behandling huvudsakligen var beskrivande. År 1806 utarbetade Pierre-Simon Laplace den matematiska formen med hjälp av differentialkalkyl och kom oberoende fram till samma samband. Deras samlade arbete blev Young–Laplace-ekvationen. Senare forskare, däribland Carl Friedrich Gauss och Joseph Plateau, prövade och vidareutvecklade teorin under 1800-talet.

Vanliga frågor

Vad beräknar Young–Laplace-ekvationen? Den beräknar tryckskillnaden över en krökt gränsyta mellan två fluider utifrån fluidens ytspänning och gränsytans krökning.

Varför är trycket högre inuti en mindre droppe? Ytspänningen drar längs droppens kant, och denna dragkraft ökar i takt med radien. Arean som trycket måste trycka mot ökar med radien i kvadrat. När dessa krafter balanseras får man $\Delta P = 2\gamma/R$, så tryckskillnaden är omvänt proportionell mot radien: halveras radien fördubblas tryckskillnaden.

Hur påverkar temperaturen ekvationen? Temperaturen ändrar ytspänningens värde, och ytspänningen minskar när temperaturen stiger. För vatten minskar ytspänningen från omkring 0,073 N/m vid 20 °C till ungefär 0,063 N/m vid 80 °C, en minskning på cirka 0,17 mN/m för varje grad Celsius. Ytspänningen vid rumstemperatur är högre än ytspänningen i varmt vatten, så om ett rumstemperaturvärde används för ett varmt system överskattas tryckskillnaden.

Fungerar ekvationen för andra former än sfärer? Ja. Den allmänna formen, med två separata radier $R_1$ och $R_2$, gäller för alla krökta ytor, inklusive ellipsoider och sadelformade gränsytor. Endast den förenklade formen $2\gamma/R$ är begränsad till sfärer.

Hur skiljer sig Young–Laplace-ekvationen från Youngs ekvation? Young–Laplace-ekvationen anger tryckskillnaden som orsakas av en krökt gränsyta. Youngs ekvation, ett separat samband som också kommer från Thomas Young, anger kontaktvinkeln som en droppe bildar där den möter en fast yta, utifrån ytenergin hos de tre material som ingår. De beskriver olika saker och används ibland tillsammans för att analysera en droppe som vilar på en yta.

Hur liten kan en droppe vara innan ekvationen slutar fungera? Ekvationen är noggrann ner till ungefär 1 mikrometer. Under cirka 10 till 20 nanometer blir ytterligare krafter som ekvationen bortser från, däribland linjespänning och krafter mellan ytor på molekylär skala, tillräckligt stora för att ha betydelse, och mer detaljerade modeller behövs.

Referenser

1. Young, T. (1805). "An Essay on the Cohesion of Fluids." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, tillägg till bok 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6:e uppl.). Wiley-Interscience.