Kvadratisk Ekvationslösare - Beräkna Rötter för ax² + bx + c = 0

Vad är en andragradsekvation?

En andragradsekvation är en ekvation av formen $ax^2 + bx + c = 0$, där $a$, $b$ och $c$ är tal och $a$ inte är noll. Andragradsekvationslösaren på den här sidan hittar det eller de värden på $x$ som gör ekvationen sann, med hjälp av koefficienterna $a$, $b$ och $c$ som användaren anger.

Om $a$ vore noll skulle termen $x^2$ försvinna och ekvationen bli linjär i stället för kvadratisk. Därför kräver räknaren att $a \neq 0$ och visar ett fel om $a = 0$.

Andragradsformeln

Alla andragradsekvationer på formen $ax^2 + bx + c = 0$ kan lösas med andragradsformeln:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Tecknet $\pm$ står för två separata beräkningar, en med plustecken och en med minustecken. Därför kan en andragradsekvation ha två olika lösningar.

Uttrycket under kvadratroten, $b^2 - 4ac$, kallas diskriminanten. Den skrivs vanligtvis som $\Delta$ (den grekiska bokstaven delta). Enbart diskriminanten visar hur många reella lösningar ekvationen har, innan resten av beräkningen utförs.

Så beräknas rötterna

1. Skriv ekvationen på standardform, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifiera koefficienterna $a$, $b$ och $c$.
3. Beräkna diskriminanten: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Om $\Delta$ är positiv, beräkna båda rötterna med $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Om $\Delta$ är noll, beräkna den enda roten med $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Om $\Delta$ är negativ har ekvationen inga reella rötter, eftersom ett negativt tal saknar en reell kvadratrot.

Räknaren på den här sidan utför dessa steg automatiskt. Den accepterar koefficienter mellan $-10^{10}$ och $10^{10}$ och avrundar resultaten till ett valt antal decimaler, från 0 till 10.

Vad diskriminanten betyder

Den här räknaren anger ”inga reella rötter” när $\Delta$ är negativ. Den beräknar inte komplexa rötter (tal som innehåller $i = \sqrt{-1}$).

Räkneexempel

Lös $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Här är $a = 1$, $b = 5$ och $c = 6$.

Börja med att hitta diskriminanten:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Eftersom $\Delta$ är positiv har ekvationen två reella rötter:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Detta kan kontrolleras genom faktorisering: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, vilket är noll när $x = -2$ eller $x = -3$.

Ett annat exempel visar en negativ diskriminant. För $x^2 + x + 1 = 0$ är $a = 1$, $b = 1$ och $c = 1$, så $\Delta = 1 - 4 = -3$. Eftersom $\Delta$ är negativ har ekvationen inga reella rötter.

Parabeln, toppunkten och symmetriaxeln

Grafen av $f(x) = ax^2 + bx + c$ är en kurva som kallas parabel. Om $a$ är positiv öppnar sig parabeln uppåt och har en lägsta punkt. Om $a$ är negativ öppnar den sig nedåt och har en högsta punkt. Den lägsta eller högsta punkten är toppunkten.

Toppunkten ligger i:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

En vertikal linje genom vertexen, $x = -\dfrac{b}{2a}$, kallas symmetriaxeln, eftersom parabelns två halvor speglar varandra över den. Ekvationens reella rötter är de punkter där parabeln korsar x-axeln, så de ligger på varsin sida om symmetriaxeln, på samma avstånd från den.

Räknaren ritar denna parabel bredvid resultatet. Den markerar toppunkten och eventuella reella rötter på kurvan och utvidgar det visade intervallet vid behov så att varje rot förblir synlig.

Var andragradsekvationer används

Andragradsekvationer beskriver många verkliga situationer. Inom fysiken följer höjden för ett kastat föremål över tid ekvationen $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, och om man löser den med avseende på $t$ får man tiden då föremålet landar. Inom ingenjörsvetenskap förekommer paraboliska former i parabolantenner och brokablar på grund av hur de fokuserar eller fördelar krafter. Inom datorgrafik löser program för strålspårning andragradsekvationer för att hitta var en linje skär en sfär.

En kort historik

Babyloniska matematiker löste specifika andragradsproblem omkring 2000 f.Kr. med geometriska metoder i stället för algebra. Grekiska matematiker som Euklides behandlade också andragradsekvationer geometriskt. Omkring 600 e.Kr. gav den indiske matematikern Brahmagupta en uttrycklig formel för rötterna, inklusive negativa lösningar. Omkring 800 e.Kr. beskrev den persiske matematikern al-Khwarizmi systematiska metoder för att lösa andragradsekvationer i en bok vars titel gav upphov till ordet ”algebra”. Den moderna symboliska formen av andragradsformeln blev standard senare, när den algebraiska notation utvecklades under renässansen.

Vanliga frågor och svar

Vad händer om jag anger 0 för koefficienten a? Räknaren visar ett fel, eftersom $a = 0$ gör ekvationen linjär, $bx + c = 0$, och den löses på ett annat sätt.

Varför har en ekvation ibland inga reella rötter? Det händer när diskriminanten, $b^2 - 4ac$, är negativ. Ett negativt tal saknar en reell kvadratrot, så formeln kan inte ge ett reellt värde på $x$. Ekvationen har fortfarande två komplexa rötter, men den här räknaren beräknar dem inte.

Vad är skillnaden mellan en rot och en lösning? Ingen. Båda orden syftar på ett värde på $x$ som gör ekvationen lika med noll. ”Rot” syftar på var grafen möter x-axeln; ”lösning” syftar på algebran.

Hur många decimaler kan jag välja? Mellan 0 och 10. Två eller tre decimaler räcker vanligtvis för vardagliga problem.

Kan jag ange mycket stora koefficienter? Koefficienterna måste ligga mellan $-10^{10}$ och $10^{10}$. Värden utanför det intervallet kan orsaka avrundningsfel och avvisas.

Kan den här räknaren hitta komplexa rötter? Nej. När diskriminanten är negativ anger den ”inga reella rötter” i stället för att beräkna komplexa tal.

Referenser

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Algebra: Andragradsekvation