Frekvensräknare för halvtonssteg - transponera tonhöjd med halvtonssteg och cent

Vad är en frekvenskalkylator för halvtoner?

En frekvenskalkylator för halvtoner omvandlar mellan musikaliska intervall och ljudfrekvenser uppmätta i hertz (Hz). Den fungerar i två riktningar. Den kan utgå från en startfrekvens och höja eller sänka den med ett angivet antal halvtoner och cent, och ange den nya frekvensen samt den närmaste tonen. Den kan också utgå från två frekvenser och ange intervallet mellan dem i halvtoner och cent.

En halvton är det minsta intervallet i västerländsk standardmusik, avståndet mellan en pianotangent och den omedelbart följande, svart eller vit. En oktav innehåller 12 halvtoner. En cent är en ännu mindre enhet: en hundradel av en halvton, så en oktav innehåller 1200 cent. Cent gör det möjligt för musiker att mäta tonhöjdsskillnader som är för små för att uppfattas som en tydlig förändring av ton, till exempel en mindre ostämdhet.

Så beräknas frekvensen för ett halvtonssteg

Kalkylatorn använder liksvävning, den standardstämning som används för moderna pianon, gitarrer och de flesta västerländska instrument. I liksvävning delas oktaven in i 12 lika stora steg, så varje halvton är exakt lika stor.

För att höja en startfrekvens $f_0$ med $n$ halvtoner och $c$ cent:

$f = f_0 \times 2^{(n + c/100)/12}$

Ett positivt $n$ höjer tonhöjden och ett negativt $n$ sänker den. Centfältet är en finjustering; 100 cent motsvarar en halvton, så att ange 100 cent har samma effekt som att lägga till 1 till antalet halvtoner.

Förhållandet för liksvävig temperatur

Varje halvtonssteg multiplicerar frekvensen med:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

Multiplicera en frekvens med 1,059463 så höjs den med en halvton. Gör det 12 gånger så fördubblas frekvensen, vilket motsvarar en oktav:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

Den närmaste tonen

Förutom frekvensen anger kalkylatorn den närmaste tonen i liksvävande temperatur, med A4 = 440 Hz som referens. Den omvandlar frekvensen till ett MIDI-tonnummer, avrundar det till närmaste heltal och läser sedan av tonnamn och oktav:

$m = \operatorname{round}\left(69 + 12 \times \log_2\left(\frac{f}{440}\right)\right)$

Tonnamn använder vetenskaplig tonhöjdsnotation, där talet anger oktaven: A4 är stämtonen A vid 440 Hz, och C4 är ettstrukna C. Eftersom värdet avrundas anges en frekvens mellan två toner som den ton som ligger närmast.

Så beräknas antalet halvtoner mellan två frekvenser

Det andra läget använder samma samband baklänges. Antalet halvtoner $n$ mellan två frekvenser är:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Här är $f_1$ startfrekvensen i Hz och $f_2$ slutfrekvensen. Eftersom en halvton motsvarar 100 cent multiplicerar centversionen samma förhållande med 1200:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Ett positivt resultat betyder att den andra frekvensen är högre än den första. Ett negativt resultat betyder att den är lägre.

Varför formeln använder en logaritm

Människans hörsel bedömer tonhöjd utifrån frekvensförhållandet, inte utifrån den faktiska skillnaden i Hz. En fördubbling av frekvensen låter alltid som samma språng, en oktav, oavsett var man börjar.

• 110 Hz till 220 Hz är en oktav (12 halvtoner)
• 220 Hz till 440 Hz är en oktav (12 halvtoner)
• 440 Hz till 880 Hz är en oktav (12 halvtoner)

Varje par har en annan skillnad i Hz men samma förhållande, så en logaritm behövs för att omvandla förhållandet till en jämn, linjär skala av halvtoner.

Så använder du kalkylatorn

Välj först ett beräkningsläge.

Frekvens från halvtoner. Ange basfrekvensen i Hz, antalet halvtoner som frekvensen ska flyttas (negativt för att sänka den) och en valfri centjustering. Kalkylatorn returnerar den nya frekvensen i Hz och den närmaste tonen.

Intervall mellan frekvenser. Ange två frekvenser i Hz. Kalkylatorn returnerar intervallet från den första till den andra, i halvtoner och cent.

Varje angiven frekvens måste vara större än noll. En nollfrekvens eller negativ frekvens har ingen tonhöjd, så kalkylatorn rapporterar ett fel i stället för ett resultat.

Räkneexempel

Höja en tonhöjd med halvtoner

Ettstrukna C har frekvensen cirka 261,63 Hz. Om den höjs med 7 halvtoner:

• Frekvens = 261,63 × 2^(7/12) ≈ 261,63 × 1,059463^7 ≈ 392,00 Hz.
• Närmaste ton: G4.

Sju halvtoner är en ren kvint, ett av de vanligaste intervallen i musik, så G ovanför ettstrukna C är det förväntade svaret.

Lägga till en centjustering

Med stämtonen A vid 440 Hz som utgångspunkt, 0 halvtoner och en justering på 50 cent:

• Frekvens = 440 × 2^(50/1200) ≈ 452,89 Hz.

Femtio cent är en halv halvton, det vill säga en kvartston. Den ligger mitt emellan A4 och A#4, så avläsningen av närmaste ton är bara en approximation för en tonhöjd av detta slag.

Mäta intervallet mellan två frekvenser

Om samma två toner matas in i det andra läget, med 261,63 Hz först och 392,00 Hz därefter:

• Halvtoner = 12 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 7,00.
• Cent = 1200 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 699,99.

Resultatet ligger en bråkdel av en cent under rena 700 eftersom 261,63 Hz och 392,00 Hz själva är avrundade värden.

Mäta ett litet tonhöjdsfel

Cent är användbara för små avvikelser. Anta att ett rum har en oönskad resonans vid 147 Hz och att en ljudtekniker arbetar med ett spår byggt kring tonen D, vars standardgrundfrekvens är 146,83 Hz.

• Cent = 1200 × log₂(147 / 146,83) ≈ 2,00 cent.

Resonansen ligger cirka 2 cent över D, en skillnad som är för liten för att de flesta lyssnare ska uppfatta den som en annan tonhöjd, men som ändå kan mätas och är värd att notera vid akustisk rumsbehandling.

Vanliga musikintervall

Tabellen listar standardnamn för intervall i liksvävande temperatur, med deras storlek i halvtoner, cent och frekvensförhållande samt den resulterande tonhöjden med A440 (440 Hz) som utgångspunkt.

Dessa värden gäller endast för liksvävig temperatur. I andra stämningssystem ligger samma intervallnamn vid något andra frekvenser.

Alternativa stämningssystem

Liksvävig temperatur är den moderna standarden, men det är inte det enda sättet att stämma musik, och det överensstämmer inte helt med ljudets fysik.

Renstämning bygger intervall från enkla heltalsförhållanden, till exempel 3:2 för en ren kvint eller 5:4 för en stor ters. Dessa förhållanden låter helt rena tillsammans, utan hörbara svävningar, men de avviker från liksvävig temperatur med upp till cirka 16 cent beroende på intervallet. En ren stor ters (5:4) är cirka 14 cent lägre än den liksväviga stora tersen.

Pythagoreisk stämning bygger en skala helt av staplade rena kvinter (förhållandet 3:2). Kvinter är rena och svävningsfria, men de stora terserna blir cirka 8 cent högre än stora terser i liksvävig temperatur. Jämfört med den rena 5:4 stora tersen i renstämning är den pythagoreiska tersen ännu högre, med nära 22 cent, en skillnad som kallas den syntoniska kommat. Pythagoreisk stämning var vanlig i medeltida musik och musik från den tidiga renässansen.

Medeltonstemperering gör de rena kvinter något mindre, så att de stora terserna blir rena. Den användes brett från renässansen till den tidiga barocken och passar musik som håller sig inom ett litet antal närbesläktade tonarter.

Mikrotonala system delar in oktaven i fler än 12 steg. Vanliga val är 19, 24, 31 eller 53 steg. De förekommer i experimentell musik och i viss icke-västerländsk musik.

Praktiska användningsområden

• Musikproduktion: transponering av samplingar, stämning av syntesoscillatorer och kontroll av att lager med ljud är tonmässigt samstämda.
• Ljudteknik: att relatera equalizerband eller rumsresonanser till musikaliska toner, som i exemplet med rumsresonans ovan.
• Instrumentbygge: gitarrbyggare placerar band med hjälp av konstanten 17,817, som härleds från $2^{1/12}$, så att varje band höjer tonhöjden med en halvton. Orgelbyggare och klockgjutare använder samma matematik för att planera pipornas längder och stämma klockor.
• Forskning och utbildning: att studera hur människor uppfattar tonhöjd, analysera djurläten eller undervisa i logaritmer och ljudets fysik.

Vanliga frågor

Hur beräknar man frekvensen ett antal halvtoner bort?

Multiplicera startfrekvensen med 2 upphöjt till antalet halvtoner delat med 12: f = f₀ × 2^(n/12). För att inkludera en centjustering adderar man antalet cent delat med 100 till antalet halvtoner innan man dividerar med 12.

Hur beräknar man halvtoner från två frekvenser?

Dividera den andra frekvensen med den första, beräkna bas-2-logaritmen av förhållandet och multiplicera sedan med 12: n = 12 × log₂(f₂/f₁). Multiplicera med 1200 i stället för 12 för att få svaret i cent.

Vad är skillnaden mellan en halvton och en cent?

En halvton är standardintervallet mellan intilliggande toner i västerländsk musik, till exempel mellan närliggande pianotangenter. En cent är 1/100 av en halvton, så det finns 1200 cent i en oktav. Cent ger en finare skala för att mäta små tonhöjdsskillnader som ligger mellan halvtonerna.

Hur många Hz är en halvton?

Det finns inget fast antal Hz per halvton. En halvton är ett förhållande, cirka 1,059463, inte en fast frekvensskillnad, så storleken i Hz beror på starttonhöjden. En halvton över 440 Hz är 466,16 Hz, en ökning med 26,16 Hz. En halvton över 220 Hz är 233,08 Hz, en ökning med endast 13,08 Hz.

Vilken frekvens ligger 12 halvtoner över 440 Hz?

880 Hz. Tolv halvtoner utgör en oktav, och en oktav innebär alltid en fördubbling av frekvensen, oavsett starttonhöjd.

Hur hänger MIDI-tonnummer samman med halvtoner?

Varje MIDI-tonnummer ligger en halvton från sina grannar. Ettstrukna C är MIDI-tonnummer 60 och A440 är MIDI-tonnummer 69. Frekvensen från ett MIDI-tonnummer följer av f = 440 × 2^((m − 69)/12), vilket är den formel som kalkylatorn inverterar för att namnge den närmaste tonen.

Varför låter vissa intervall i liksvävig temperatur något ostämda?

Liksvävig temperatur delar oktaven i 12 identiska steg så att musiken kan röra sig fritt mellan tonarter, men denna kompromiss flyttar de flesta intervall något från de rena heltalsförhållandena i renstämning. Den liksväviga stora tersen är till exempel cirka 14 cent högre än den rena 5:4 stora tersen. Tränade lyssnare kan ibland höra detta, även om de flesta inte märker det vid normalt lyssnande.

Hur noggrann måste en frekvensmätning vara för stämning?

För vardagliga musikaliska ändamål räcker vanligtvis en noggrannhet på cirka 5 cent, nära gränsen för den genomsnittliga förmågan att urskilja tonhöjd. Professionell instrumentstämning siktar vanligtvis på cirka 2 cent, och vissa tränade musiker kan under goda förhållanden upptäcka skillnader så små som 1 cent.