Enhetscirkelkalkylator: Exakta trigonometriska värden
Ange en vinkel i grader eller radianer för att få dess punkt på enhetscirkeln, sinus, cosinus, tangens, referensvinkel och kvadrant. Exakta standardvinklar.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Laddningsberäknare...
📚
Dokumentation
Enhetscirkelkalkylator
Enhetscirkeln är cirkeln med radien 1 som är ritad kring origo i ett koordinatsystem. En enhetscirkelkalkylator tar en vinkel och anger var vinkeln möter cirkeln: punkten (x, y), sinus, cosinus och tangens, referensvinkeln samt kvadranten. Den här sidan läser av en vinkel i grader eller radianer och ger exakta värden som √3/2 vid de sexton standardvinklarna.
Vad kalkylatorn gör
Besökaren skriver in en vinkel och väljer grader eller radianer. Sidan visar:
- punkten (x, y) där vinkeln skär cirkeln
- cos θ, sin θ och tan θ
- referensvinkeln i grader och radianer
- kvadranten, eller axeln när vinkeln hamnar på en sådan
- vinkeln i båda enheterna samt samma vinkel hopvikt till ett enda varv
Vid de sexton standardvinklarna skrivs svaren som exakta slutna former, med decimalerna under. Alla andra vinklar visas med åtta signifikanta siffror. Endast visningen avrundas.
Enhetscirkelns formel
Vinklar mäts moturs från den positiva x-axeln. En stråle som dras med vinkeln θ skär cirkeln i en punkt, och punktens två koordinater är cosinus och sinus:
där är den horisontella koordinaten, är den vertikala koordinaten och är vinkeln.
Radien är 1, så koordinaterna och de två funktionsvärdena är samma talpar under två namn. Därför ritas cirkeln med radien 1 i stället för någon annan storlek. Tangensen bygger på samma talpar:
Varje punkt på cirkeln uppfyller också Pythagoras sats, tillämpad på den rätvinkliga triangeln med sidorna och samt hypotenusan 1:
Grader och radianer
Sidan tar emot båda enheterna och visar båda. De hänger samman genom att ett halvt varv är π radianer:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ där $\theta_{\mathrm{deg}}$ är vinkeln i grader och $\theta_{\mathrm{rad}}$ är samma vinkel i radianer. ### Hopvikning till ett varv En vinkel kan vara negativ och kan passera ett helt varv. Punkten på cirkeln upprepas varje 360°, så sidan viker först vinkeln till intervallet från 0° till, men inte med, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ där $\theta$ är vinkeln som skrevs in, i grader, och $\theta_0$ är samma riktning skriven inom ett varv. 750° viks till 30°, och −30° viks till 330°. Hopvikningen görs i grader, där resten blir exakt. ### Referensvinkel och kvadrant Referensvinkeln är den spetsiga vinkeln mellan strålen och x-axeln. Den är aldrig större än 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{annars} \end{cases}$$ där $\theta_0$ är den hopvikta vinkeln i grader. Sinusens, cosinusens och tangensens storlek beror bara på referensvinkeln. Kvadranten anger tecknen. | Kvadrant | Hopvikt vinkel | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° till 90° | + | + | + | | II | 90° till 180° | − | + | − | | III | 180° till 270° | − | − | + | | IV | 270° till 360° | + | − | − | Vinklarna 0°, 90°, 180° och 270° ligger på en axel. En kvadrant är det öppna området mellan två axlar, så ingen av dessa fyra ligger inuti en kvadrant, och sidan anger axeln i stället för att välja en granne. ### De sexton standardvinklarna Fem referensvinklar har exakta slutna former. | Referensvinkel | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | odefinierad | Genom att spegla dessa rader i de tre andra kvadranterna fås sexton vinklar: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 och 330 grader. Sidan skapar dem genom att vrida punkterna i första kvadranten ett kvarts varv i taget, i stället för att skriva av tabellen fyra gånger, eftersom det är vid avskrift som ett felaktigt tecken kan smyga sig in. 15°, 75° och 105° har också slutna former, men tvåtermiga sådana som 2 − √3. De ligger utanför denna familj och besvaras som decimaler. 15° ger cos 0,96592583, sin 0,25881905 och tan 0,26794919. ### Exempel: 210 grader 210° är större än 180° och mindre än 270°, så den hamnar i kvadrant III. Om 180 dras bort återstår en referensvinkel på 30°. Vid en referensvinkel på 30° är de tre storheterna √3/2, 1/2 och √3/3. Kvadrant III gör båda koordinaterna negativa, så punkten är (−√3/2, −1/2). Tangensen är ett negativt tal dividerat med ett negativt tal och förblir därför positiv vid √3/3. I radianer är vinkeln 7π/6 och referensvinkeln är π/6. Som decimaler visar sidan cos −0,8660254, sin −0,5 och tan 0,57735027. 570° och −150° ger samma svar, eftersom båda viks till 210°. ### Vilka konstanter är exakta | Konstant | Värde | Exakt? | Källa | |---|---|---|---| | Grader i ett varv | 360 | exakt enligt definition | ISO 80000-3 | | Radianer i ett varv | 2π | exakt enligt definition | ISO 80000-3; SI-broschyren | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | exakt | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | exakt | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | exakt | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | saknar värde | exakt, en pol | NIST DLMF §4,15 | π är irrationellt, så det har ingen exakt decimal- eller binärform och varje lagrat värde av det är avrundat. Sidan håller denna avrundning borta från svaren på två sätt. Hopvikningen görs i grader, där 360 går jämnt upp. Och standardvinklarna läses från tabellen med slutna former ovan, aldrig från en flyttalsberäknad sinus. ### Läsa av en vinkel som skrivits in i radianer Ett radianvärde är redan en avrundad decimal. π/2 skrivs in som 1,5707963267948966, och vid omvandling tillbaka blir vinkeln ungefär en tiotusendels miljarddels grad från 90 i stället för exakt 90. Därför läser sidan alla vinklar som ligger inom en miljondels grad från en standardvinkel som den vinkeln. Toleransen väljer vilken tabell som används; den gör aldrig ett svar mindre exakt. 30,001° blir inte 30°. Vinklar över en miljard grader avvisas. Det är en gräns för aritmetiken, inte för geometrin: avståndet mellan de tal en dator kan lagra växer med talens storlek, och efter ungefär fyra och en halv miljard grader är avståndet större än toleransen på en miljondels grad, så hopvikningen innehåller inte längre tillräckligt med detaljer för att ange en vinkel. En miljard lämnar en marginal under denna gräns. ### Vanliga frågor och svar **Vad används enhetscirkeln till?** Den omvandlar sinus och cosinus till koordinater. Genom att läsa av en punkt på cirkeln får man båda värdena samtidigt, och bilden visar varför de upprepas vid varje helt varv och varför deras tecken ändras från en kvadrant till nästa. **Vad är det exakta värdet av sin 30°?** En halv. cos 30° är √3/2, ungefär 0,8660254, och tan 30° är √3/3, ungefär 0,57735027. **Varför är tan 90° odefinierad?** Tangensen är sinus dividerad med cosinus, och cos 90° är 0. Division med noll har inget svar. Sidan hittar polen genom att ange vinkeln, inte genom att kontrollera om en beräknad tangens blev stor, eftersom en brant tangens strax före 90° är ett vanligt tal. **Vad är en referensvinkel?** Det är den spetsiga vinkeln mellan strålen och x-axeln, så den ligger alltid mellan 0° och 90°. 150°, 210° och 330° har alla referensvinkeln 30°, vilket är anledningen till att deras sinus och cosinus har samma tre storlekar och endast skiljer sig åt genom tecknet. **Fungerar en negativ vinkel?** Ja. En negativ vinkel vrider medurs. −30° pekar åt samma håll som 330°, så sidan visar punkten (√3/2, −1/2) och kvadrant IV. **Varför visar sidan vinkeln två gånger?** 750° och 30° skär cirkeln i samma punkt, men de är inte samma rotation. Sidan återger vinkeln som den skrevs in, omvandlad till den andra enheten, och visar den hopvikta vinkeln bredvid.