Kalkuleta Diametri ya Koni - Tumia Urefu na Radius

Kipenyo cha koni ni nini?

Kipenyo cha koni ni upana wa msingi wake wa duara, unaopimwa kwa mstari ulionyooka unaopita katikati. Ni sawa na mara mbili ya radiusi ya msingi. Koni pia inaweza kufafanuliwa kwa urefu wake (umbali ulionyooka kutoka kwenye msingi hadi kileleni) na urefu wake wa mteremko (umbali kutoka kileleni kushuka kando ya nje ya koni hadi ukingo wa msingi). Ikiwa thamani mbili kati ya hizi tatu zinajulikana, ya tatu inaweza kupatikana.

Fomula ya kipenyo cha koni

Kuna njia mbili za kawaida za kupata kipenyo, kulingana na vipimo vilivyopo.

Kwa kutumia urefu na urefu wa mteremko:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Hapa d ni kipenyo, s ni urefu wa mteremko, na h ni urefu. Hii inatokana na nadharia ya Pythagoras: urefu wa mteremko ni hypotenusi ya pembetatu yenye pembe ya kulia inayoundwa na urefu na radiusi, kwa hiyo $s^2 = h^2 + r^2$. Kutatua kwa ajili ya radiusi na kuizidisha mara mbili kunatoa kipenyo. Kikokotoo hupata thamani hiyo hiyo kwa kutumia umbo linganifu $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Maumbo yote mawili hutoa jibu lilelile, lakini la pili huhifadhi tarakimu sahihi zaidi wakati urefu wa mteremko ni mkubwa kidogo tu kuliko urefu.

Kwa kutumia radiusi:

$d = 2r$

Hii ni fasili tu ya kipenyo. Ikiwa radiusi tayari inajulikana, hakuna kipimo kingine kinachohitajika.

Urefu wa mteremko lazima uwe mrefu kuliko urefu kila wakati, kwa sababu ni hypotenusi ya pembetatu yenye pembe ya kulia, na hypotenusi huwa upande mrefu zaidi. Ikiwa urefu wa mteremko ni sawa na au mfupi kuliko urefu, umbo lililofafanuliwa si koni halali.

Jinsi ya kukokotoa kipenyo cha koni

Njia 1: urefu na urefu wa mteremko

1. Pima urefu (h), yaani umbali wima ulionyooka kutoka kwenye msingi hadi kileleni.
2. Pima urefu wa mteremko (s), yaani umbali kutoka kileleni hadi ukingo wa msingi ukifuata uso wa koni.
3. Weka mraba wa thamani zote mbili, toa urefu uliowekwa mraba kutoka kwa urefu wa mteremko uliowekwa mraba, kisha pata mzizi wa mraba: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Zidisha matokeo kwa 2 ili kupata kipenyo.

Njia 2: radiusi

1. Pima radiusi (r), yaani umbali kutoka katikati ya msingi hadi ukingoni mwake.
2. Zidisha kwa 2.

Ni njia moja tu kati ya hizi mbili inayopaswa kutumiwa kwa wakati mmoja. Kutoa urefu, urefu wa mteremko, na radiusi pamoja kuna utata, kwa kuwa thamani hizo tatu huenda zisionyeshe koni yenye uwiano sahihi.

Mfano wa kuhesabu

Mfano 1: urefu na urefu wa mteremko

Koni ina urefu wa vitengo 3 na urefu wa mteremko wa vitengo 5.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Kipenyo ni vitengo 8.

Mfano 2: radiusi

Koni ina radiusi ya vitengo 4.

$d = 2 \times 4 = 8$

Kipenyo ni vitengo 8. Hii inalingana na Mfano 1, kwa kuwa koni yenye urefu wa 3 na urefu wa mteremko wa 5 ina radiusi ya msingi ya 4.

Mfano 3: koni bapa

Koni ina urefu wa vitengo 0.1 na urefu wa mteremko wa vitengo 10.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Kipenyo ni takribani vitengo 20.00. Urefu unapokuwa mdogo sana ikilinganishwa na urefu wa mteremko, kipenyo hukaribia mara mbili ya urefu wa mteremko.

Mfano 4: koni yenye umbo la sindano

Koni ina urefu wa vitengo 9.99 na urefu wa mteremko wa vitengo 10.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Kipenyo ni takribani vitengo 0.89. Urefu wa mteremko unapokuwa mrefu kidogo tu kuliko urefu, koni huwa ndefu na nyembamba, na kipenyo cha msingi wake huwa kidogo.

Mahali ambapo hesabu za kipenyo cha koni hutumiwa

Kipenyo cha koni hutumika popote ambapo maumbo ya koni hupimwa au kujengwa. Wahandisi hukitumia katika kubuni funeli, nozeli na matangi yenye umbo la koni. Watengenezaji hukitumia kuainisha ukubwa wa ukungu na sehemu zenye umbo la koni. Wanajiolojia hutumia vipimo vinavyofanana kufafanua koni za volkeno. Uhusiano huo huo kati ya urefu, urefu wa mteremko na radiusi hutumika katika koni yoyote ya duara ya kulia, kuanzia kofia ya karamu ya karatasi hadi ncha ya mbele ya roketi yenye umbo la koni.

Historia

Utafiti wa kihisabati wa koni ulianza katika Ugiriki ya kale. Apollonius wa Perga, aliyefanya kazi karibu na 200 KK, aliandika risala kubwa iliyoitwa Conics iliyochunguza jinsi ambavyo ndege hukata koni na kutengeneza duara, duaradua, parabola na hiperbola. Uhusiano wa msingi kati ya urefu, radiusi na urefu wa mteremko wa koni, unaotegemea nadharia ya Pythagoras, umejulikana tangu zamani na bado ndiyo njia inayotumiwa leo.

Maswali yanayoulizwa mara kwa mara

Kipenyo cha koni ni nini?

Ni upana wa msingi wa duara wa koni, unaopimwa moja kwa moja kutoka upande mmoja hadi mwingine kupitia katikati. Ni mara mbili ya radiusi ya msingi.

Unapataje kipenyo cha koni bila radiusi?

Tumia urefu na urefu wa mteremko pamoja na fomula $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Hii hutumia nadharia ya Pythagoras kupata radiusi, kisha hui­zidisha mara mbili.

Kuna uhusiano gani kati ya kipenyo, urefu na urefu wa mteremko wa koni?

Urefu, radiusi na urefu wa mteremko huunda pembetatu yenye pembe ya kulia. Urefu wa mteremko ni hypotenusi, urefu ni upande mmoja, na radiusi ni upande mwingine: $s^2 = h^2 + r^2$. Kipenyo ni mara mbili ya radiusi.

Kwa nini kikokotoo hukataa baadhi ya thamani?

Urefu lazima uwe mkubwa kuliko sufuri. Urefu wa mteremko lazima uwe mkubwa kuliko urefu, kwa kuwa hypotenusi haiwezi kuwa fupi kuliko au sawa na upande mmoja. Radiusi lazima iwe kubwa kuliko sufuri. Urefu na urefu wa mteremko, au radiusi, vinapaswa kuingizwa kila kimoja peke yake; kuingiza vyote vitatu kwa wakati mmoja kuna utata na hukataliwa. Ikiwa radiusi imeingizwa pamoja na urefu, radiusi pekee ndiyo hutumiwa, kwa sababu radiusi tayari huamua kipenyo.

Je, koni inaweza kuwa na vipenyo viwili tofauti?

Koni ya kawaida ina kipenyo kimoja kwenye msingi wake na huishia kwenye ncha kileleni. Koni iliyokatwa ncha, yaani koni ambayo sehemu yake ya juu yenye ncha imekatwa, ina vipenyo viwili, kimoja kwenye kila mwisho bapa.

Ni vitengo gani vinapaswa kutumiwa?

Kitengo chochote kinacholingana kinafaa, kama sentimita, mita au inchi. Matokeo yatakuwa katika kitengo kilekile kilichotumiwa kwa thamani za kuingiza.

Marejeo

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. na Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/