Kalkuleta ya Koni Sawa ya Mduara - Kima, Eneo la Uso & Formulazi

Koni ya mviringo iliyo wima ni nini?

Koni duara iliyo wima ni umbo gumu lenye msingi bapa wa duara na upande mmoja uliopinda unaopungua hadi kufikia nukta moja, inayoitwa kilele. Inaitwa “wima” kwa sababu kilele kiko moja kwa moja juu ya katikati ya msingi. Mstari kutoka kwenye kilele ukishuka moja kwa moja hadi kwenye msingi hukutana na msingi kwa pembe ya kulia. Kikokotozi hiki hupata ujazo wa koni, eneo la msingi, eneo la uso wa kando, na eneo lote la uso kwa kutumia nusu kipenyo na urefu wake.

Mifano ya kawaida ya umbo hili ni pamoja na koni za kuongozea trafiki, koni za aiskrimu, faneli na paa za baadhi ya minara.

Vipimo vya koni

Vipimo viwili vinaeleza koni duara iliyo wima:

• Nusu kipenyo (r): umbali kutoka katikati ya msingi wa duara hadi ukingo wake.
• Urefu (h): umbali wima wa moja kwa moja kutoka kwenye msingi hadi kilele.

Urefu wa tatu, urefu wa mwinamo (l), ni umbali kando ya nje ya koni kutoka kwenye kilele ukishuka hadi ukingo wa msingi. Haupimwi moja kwa moja. Badala yake, huhesabiwa kutokana na radiusi na urefu, kwa sababu urefu huu mitatu huunda pembetatu yenye pembe ya kulia. Kikokotozi hutumia urefu wa mwinamo kukokotoa eneo la upande uliopinda, lakini hauonyeshi kama matokeo tofauti.

Kikokotozi hakibainishi kitengo maalum. Weka radiusi na urefu katika kitengo kilekile. Kila eneo litatolewa kwa kitengo hicho kilichowekwa ikiwa na mraba, na ujazo kwa kitengo hicho kilichowekwa ikiwa na mchemraba. Thamani yoyote kati ya hizo haiwezi kuwa hasi, kwa sababu urefu hauwezi kuwa hasi; badala ya matokeo, kikokotozi huonyesha ujumbe. Matokeo hutolewa hadi nafasi nne za desimali.

Fomula za koni

Fomula ya urefu wa mteremko

Radiusi, urefu na urefu wa mteremko huunda pembetatu ya pembe-kulia, kwa hiyo urefu wa mteremko hupatikana kwa kutumia nadharia ya Pythagoras:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Fomula ya eneo la msingi

Msingi ni duara, kwa hiyo eneo lake hutumia fomula ya kawaida ya eneo la duara:

$$A_b = \pi r^2$$

Fomula ya eneo la uso wa pembeni

Eneo la uso wa pembeni hufunika tu upande uliopinda, si msingi. Upande uliopinda ukifunguliwa na kulazwa, ungeunda sekta ya duara yenye eneo:

$$A_l = \pi r l$$

Fomula ya eneo lote la uso

Eneo lote la uso hujumlisha msingi na upande uliopinda:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Koni iliyo wazi upande wa msingi, kama faneli ya karatasi, huhitaji eneo la uso wa pembeni pekee katika hesabu za nyenzo.

Fomula ya ujazo wa koni

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Ujazo wa koni ni theluthi moja kamili ya ujazo wa silinda yenye msingi na urefu sawa. Archimedes alithibitisha uhusiano huu kwa kutumia mbinu iliyotangulia kalkulasi. Baadaye ulithibitishwa kwa kalkulasi jumuishi, ambayo huichukulia koni kama tabaka lisilo na kikomo la diski za duara zinazopungua kutoka msingi hadi kilele.

Jinsi ya kukokotoa ujazo wa koni: Mfano wa kukokotoa

Chukua koni yenye nusu kipenyo r = 5 vitengo na urefu h = 12 vitengo.

1. Pata urefu wa mteremko.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ vipimo}$$

2. Pata eneo la msingi.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ vipimo}^2$$

3. Pata eneo la uso wa pembeni.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ vipimo}^2$$

4. Pata eneo lote la uso.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ vipimo}^2$$

5. Pata ujazo.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ vipimo}^3$$

Mchoro

Mstari wima wa nukta-nukta ni urefu, kutoka kwenye msingi hadi kilele. Mstari mlalo wa nukta-nukta ni radiusi, kutoka katikati ya msingi hadi ukingo wake.

Koni hupatikana wapi katika maisha halisi

Hesabu za ujazo na eneo la uso wa koni hutumika katika mazingira kadhaa ya vitendo:

• Uundaji wa mabati: eneo la uso wa kando hutoa kiasi cha nyenzo bapa kinachohitajika kukunjwa na kuwa hopa yenye umbo la koni, funeli au kipunguza mfereji, kabla ya kuongeza nafasi ya mishono na upotevu.
• Uwezo wa kuhifadhi: fomula ya ujazo hutoa uwezo wa matangi yenye umbo la koni na sehemu za chini zenye umbo la koni za maghala ya kuhifadhia nafaka.
• Ujenzi: vilele vya minara, vifuniko vya minara na vipengele vingine vya paa vyenye umbo la koni hutumia eneo la uso wa kando kukadiria nyenzo za kuezekea.
• Vitu vya kila siku: vikombe vya karatasi, koni za aiskrimu na koni za barabarani vyote kwa kukadiria ni koni duara zilizo wima.

Kikokotozi hiki huchukulia koni kamili yenye msingi wa duara na kilele kilichowekwa katikati juu ya msingi. Koni iliyokatwa sehemu ya juu, inayoitwa koni pungufu, huhitaji seti tofauti ya fomula kwa sababu ina radiusi mbili badala ya moja.

Historia

Wanahisabati wa Ugiriki ya kale walichunguza koni tangu takribani 300 KK. Kitabu Elements cha Euclid kilifafanua koni kuwa umbo gumu linaloundwa kwa kuzungusha pembetatu yenye pembe ya kulia kuzunguka mojawapo ya pande zake. Baadaye, Apollonius wa Perga alichunguza mikunjo inayoundwa kwa kukata koni kwa pembe mbalimbali, ambayo sasa huitwa mikato ya koni: duara, duaradufu, parabola na hiperbola. Fomula ya ujazo V = (1/3)πr²h ilithibitishwa na Archimedes kwa kutumia mbinu ya uchoshaji, mbinu ya kijiometri iliyotangulia kalkulasi jumuishi kwa takribani miaka 2,000.

Maswali yanayoulizwa mara kwa mara

Ni nini hufanya koni iwe “duara iliyo wima”?

“Wima” inamaanisha kilele kiko moja kwa moja juu ya katikati ya msingi, kwa hiyo mhimili huunda pembe ya kulia na msingi. Katika koni iliyoinama, kilele kiko upande mmoja. “Duara” inamaanisha msingi ni duara badala ya duaradufu au umbo lingine.

Fomula ya ujazo wa koni ni ipi?

V = (1/3)πr²h, ambapo r ni nusu kipenyo cha msingi na h ni urefu wa wima. Ujazo hauhitaji urefu wa mteremko.

Fomula ya eneo la uso wa koni ni ipi?

Eneo lote la uso ni A = πr² + πrl, ambapo r ni nusu kipenyo na l ni urefu wa mteremko. Kipengele cha kwanza ni eneo la msingi na cha pili ni eneo la uso wa pembeni. Acha kipengele cha kwanza ikiwa koni haina msingi, kama vile faneli iliyo wazi.

Urefu wa mteremko ni nini, na unatofautianaje na urefu?

Urefu ni umbali wima wa moja kwa moja kutoka kwenye msingi hadi kilele, unaopimwa kupitia ndani ya koni. Urefu wa mteremko ni umbali kando ya uso wa nje kutoka kwenye kilele hadi ukingo wa msingi. Uhusiano wao ni l = √(r² + h²), huku urefu wa mteremko ukiwa mrefu zaidi kati ya hiyo miwili kila mara nusu kipenyo inapokuwa kubwa kuliko sifuri.

Ninawezaje kupata ujazo wa koni kutokana na kipenyo chake?

Gawanya kipenyo kwa 2 ili kupata nusu kipenyo, kisha tumia V = (1/3)πr²h. Kwa mfano, koni yenye kipenyo cha 10 cm na urefu wa 15 cm ina nusu kipenyo ya 5 cm, kwa hiyo V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392.7 cm³.

Je, kikokotozi hiki hufanya kazi kwa koni zilizokatwa (frustum)?

Hapana. Koni iliyokatwa ni koni ambayo sehemu ya juu imekatwa, kwa hiyo ina nusu vipenyo viwili badala ya kimoja na inahitaji fomula zake za ujazo na eneo la uso.