Hesaburi ya Nusu-Duara: Gundua Nusu-Duara kutoka Kipenyo na Eneo

Nusu kipenyo cha duara

Urefu wa duara ni umbali kutoka katikati ya duara hadi hatua yoyote kwenye ukingo wake. Unaweza kupatikana kutokana na kipenyo, mzingo, au eneo, kwa kutumia fomula tatu rahisi. Kikokotoo hiki hukokotoa urefu wa duara kutokana na mojawapo ya thamani hizo tatu inayojulikana.

Urefu wa duara ni nini?

Duara ni mstari uliopinda unaoundwa na kila hatua iliyo katika umbali sawa kutoka kwa hatua moja isiyobadilika, inayoitwa kitovu. Umbali huo usiobadilika ndio urefu wa duara. Kila nusu kipenyo cha duara moja kina urefu sawa. Urefu huamua ukubwa wa duara: urefu mkubwa hutengeneza duara kubwa zaidi.

Vipimo vingine vitatu vinahusiana moja kwa moja na urefu:

• Kipenyo ($d$): mstari ulionyooka kutoka ukingo mmoja wa duara hadi mwingine, ukipita katikati. Daima huwa mara mbili ya urefu.
• Mzingo ($C$): umbali kuzunguka nje ya duara.
• Eneo ($A$): kiasi cha nafasi iliyozingirwa na duara.

Jinsi ya kukokotoa urefu wa duara

Fomula inayotumika inategemea kipimo ambacho tayari kinajulikana.

Kutokana na kipenyo

$$r = \frac{d}{2}$$

Kipenyo ni mara mbili ya urefu, kwa hiyo kukigawanya kwa 2 kunatoa tena urefu.

Kutokana na mzingo

$$r = \frac{C}{2\pi}$$

Hii inatokana na fomula ya mzingo $C = 2\pi r$, iliyotatuliwa kwa ajili ya $r$. Herufi ya Kigiriki $\pi$ (pi) ni konstanti, takribani 3.14159.

Kutokana na eneo

$$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

Hii inatokana na fomula ya eneo $A = \pi r^2$, iliyotatuliwa kwa ajili ya $r$.

Mfano wa kuhesabu

Mfano 1: urefu kutokana na kipenyo

Duara lina kipenyo cha vipimo 10.

$$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ vipimo}$$

Mfano 2: urefu kutokana na mzingo

Duara lina mzingo wa vipimo 31.4159.

$$r = \frac{31.4159}{2\pi} \approx \frac{31.4159}{6.2832} \approx 5 \text{ vipimo}$$

Mfano 3: urefu kutokana na eneo

Duara lina eneo la vipimo vya mraba 78.5398.

$$r = \sqrt{\frac{78.5398}{\pi}} \approx \sqrt{25} = 5 \text{ vipimo}$$

Kutumia kikokotoo

Chagua thamani inayojulikana: kipenyo, mzingo, au eneo. Kisha weka nambari iliyo kubwa kuliko sifuri. Kikokotoo hutoa urefu uliokadiriwa hadi sehemu nne za desimali. Kuweka sifuri au nambari hasi huonyesha ujumbe "Ingizo batili: thamani lazima iwe kubwa kuliko sifuri.", kwa sababu duara haliwezi kuwa na kipenyo, mzingo, au eneo la sifuri au chini ya hapo. Kisanduku cha ingizo kinakubali nambari pekee, kwa hiyo herufi na maandishi mengine hupuuzwa yanapoandikwa, na matokeo hubaki yamefichwa.

Urefu hutolewa kwa kipimo kilekile na ingizo. Kuweka kipenyo kwa sentimita hutoa urefu kwa sentimita; kuweka eneo kwa mita za mraba hutoa urefu kwa mita.

Kwa nini urefu wa duara ni muhimu

Urefu ndio kipimo kimoja ambacho kutokana nacho kila sifa nyingine ya duara inaweza kukokotolewa. Unaonekana katika fomula za kipenyo, mzingo, eneo, ujazo na eneo la uso wa tufe. Wahandisi huitumia kuamua ukubwa wa mabomba, gia na magurudumu. Wasanifu majengo huitumia kubuni matao na kuba. Wanaastronomia huitumia kueleza ukubwa wa sayari, nyota na mizunguko.

Historia fupi

Miduara ilichunguzwa na wanahisabati wa kale wa Misri na Babiloni, ambao walipata makadirio ya awali ya uwiano kati ya mzingo wa duara na kipenyo chake. Karibu na 300 KK, mwanahisabati wa Kigiriki Euclid alifafanua duara katika kitabu chake Elements kuwa umbo ambalo hatua zote za mpaka wake ziko katika umbali sawa kutoka kitovu chake. Baadaye, Archimedes alibuni mbinu ya kukadiria $\pi$ kwa kulinganisha duara na poligoni zilizochorwa ndani na nje yake. Wanahisabati nchini China, India na kwingineko waliboresha thamani ya $\pi$ katika karne zilizofuata, na kufikia tarakimu zinazotumika katika hesabu leo.

Maswali yanayoulizwa mara kwa mara

Urefu wa duara ni nini?

Urefu ni umbali kutoka katikati ya duara hadi hatua yoyote kwenye ukingo wake. Ni nusu ya urefu wa kipenyo.

Unapataje urefu kutokana na kipenyo?

Gawanya kipenyo kwa 2: $r = d/2$. Duara lenye kipenyo cha vipimo 10 lina urefu wa vipimo 5.

Unapataje urefu kutokana na mzingo?

Gawanya mzingo kwa $2\pi$: $r = C/(2\pi)$. Duara lenye mzingo wa takribani vipimo 31.42 lina urefu wa takribani vipimo 5.

Unapataje urefu kutokana na eneo?

Gawanya eneo kwa $\pi$, kisha pata mzizi wa mraba: $r = \sqrt{A/\pi}$. Duara lenye eneo la takribani vipimo vya mraba 78.54 lina urefu wa takribani vipimo 5.

Kuna tofauti gani kati ya urefu na kipenyo?

Kipenyo ni mstari ulionyooka unaopita katikati na kuunganisha hatua mbili kwenye duara. Ni mara mbili kamili ya urefu: $d = 2r$.

Je, urefu unaweza kuwa hasi au sifuri?

Hapana. Duara halisi lazima liwe na urefu mkubwa kuliko sifuri. Kikokotoo huonyesha hitilafu ikiwa kipenyo, mzingo, au eneo lililoingizwa ni sifuri au hasi, na hakionyeshi matokeo hadi nambari chanya iingizwe.

Marejeo

1. Duara — Wikipedia
2. Pi — Wikipedia