Kikokotoo cha Sehemu za Conic za Kuvutia na Eccentricity

Kihesabu cha Sehemu za Conic

Utangulizi

Kwa kukata koni na ndege, unaweza kupata mizunguko mingi ya kuvutia inayojulikana kama sehemu za conic. Hizi ni pamoja na duara, ellipse, parabola, na hyperbola. Sehemu za conic ni za msingi katika hisabati na zinapatikana katika nyanja mbalimbali kama vile astronomy, fizikia, uhandisi, na usanifu.

Kihesabu chetu cha Sehemu za Conic kinakuruhusu kuchunguza mizunguko hii ya kuvutia kwa kuhesabu eccentricity yake na kutoa mifano yake ya kawaida kulingana na vigezo vyako vya ingizo. Ingia katika ulimwengu wa sehemu za conic na gundua mali zake za kipekee na matumizi.

Jinsi ya Kutumia Kihesabu Hiki

Chagua Aina ya Sehemu ya Conic:
- Duara
- Ellipse
- Parabola
- Hyperbola
Ingiza Vigezo Vinavyohitajika:
- Duara: Ingiza Radius ( $r$ ).
- Ellipse: Ingiza Semi-major Axis ( $a$ ) na Semi-minor Axis ( $b$ ).
- Parabola: Ingiza Focal Length ( $f$ ).
- Hyperbola: Ingiza Transverse Axis ( $a$ ) na Conjugate Axis ( $b$ ).
Bonyeza "Hesabu" ili kuhesabu:
- Eccentricity ( $e$ ).
- Mifano ya Kawaida ya sehemu ya conic.
- Uwakilishi wa Kimaono wa mzunguko.
Kagua Matokeo yanayoonyeshwa chini ya kihesabu.

Uthibitishaji wa Ingizo

Kihesabu kinafanya ukaguzi ufuatao kwenye ingizo la mtumiaji:

Thamani Chanya: Vigezo vyote vya ingizo vinapaswa kuwa nambari halisi chanya.
Masharti ya Ellipse:
- Semi-major Axis ( $a$ ) lazima iwe kubwa kuliko au sawa na Semi-minor Axis ( $b$ ).
Masharti ya Hyperbola:
- Transverse Axis ( $a$ ) lazima iwe kubwa kuliko Conjugate Axis ( $b$ ).

Ikiwa ingizo zisizo sahihi zitatolewa, ujumbe wa kosa utaonyeshwa, na hesabu zitasitishwa hadi ingizo sahihi litakapowekwa.

Fomula

eccentricity ( $e$ ) ni kipimo muhimu kinachofafanua umbo la sehemu ya conic, ikionyesha jinsi inavyotofautiana na kuwa ya duara.

Duara

Eccentricity: $e = 0$
Mifano ya Kawaida: $x^2 + y^2 = r^2$
Maelezo: Duara ni kesi maalum ya ellipse ambapo pointi za foci zinakutana katikati, na kusababisha eccentricity kuwa sifuri.

Ellipse

Eccentricity: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Mifano ya Kawaida: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Vigezo:
- $a$ : Semi-major Axis (radius mrefu zaidi).
- $b$ : Semi-minor Axis (radius fupi zaidi).
Maelezo: Ellipse ni umbo la oval ambapo jumla ya umbali kutoka kila pointi kwenye mzunguko hadi pointi mbili za foci ni thabiti.

Parabola

Eccentricity: $e = 1$
Mifano ya Kawaida (ikifunguka kulia): $y^2 = 4 f x$
Vigezo:
- $f$ : Focal Length (umbali kutoka kilele hadi focus).
Maelezo: Parabola ni mzunguko wa wazi wa simetrical ulioundwa na kukutana kwa koni na ndege inayolingana na upande wake.

Hyperbola

Eccentricity: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
Mifano ya Kawaida: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Vigezo:
- $a$ : Transverse Axis (umbali kutoka katikati hadi vertex kwenye mhimili wa x).
- $b$ : Conjugate Axis (inayohusiana na umbali kati ya asymptotes).
Maelezo: Hyperbola ina mizunguko miwili tofauti inayoitwa matawi, na tofauti ya umbali kutoka kila pointi kwenye mzunguko hadi pointi mbili za foci ni thabiti.

Hesabu

Hivi ndivyo kihesabu kinavyohesabu eccentricity na mifano:

Kwa Duara:
- Eccentricity: $e = 0$ .
- Equation: $x^2 + y^2 = r^2$ .
Kwa Ellipse:
- Angalia: $a \geq b$ .
- Eccentricity: $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Equation: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Kwa Parabola:
- Eccentricity: $e = 1$ .
- Equation: $y^2 = 4 f x$
Kwa Hyperbola:
- Angalia: $a > b$ .
- Eccentricity: $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}$
- Equation: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Mambo ya Kando:

Ellipse inakuwa Duara: Wakati $a = b$ , ellipse inakuwa duara na $e = 0$ .
Ingizo zisizo sahihi:
- Thamani hasi au sifuri haziruhusiwi.
- Kwa ellipses na hyperbolas, ikiwa $b > a$ , hesabu haiwezi kuendelea.

Vitengo na Usahihi

Vitengo: Vitengo ni vya hiari lakini vinapaswa kuwa sawa (kwa mfano, vyote katika mita, sentimita).
Usahihi:
- Hesabu zinatumia hesabu za floating-point za double-precision.
- Eccentricity inaonyeshwa hadi sehemu nne za desimali.
- Mifano inashikilia usahihi sawa na vigezo vya ingizo.

Matumizi

Sehemu za conic zina matumizi mengi:

Astronomy:
- Mizunguko ya sayari ni elliptical, na jua likiwa katika focus moja.
- Njia za comet zinaweza kuwa parabolic au hyperbolic.
Fizikia:
- Mirrors za parabolic zinafanya kazi ya kuzingatia mwanga na mawimbi ya sauti.
- Njia za hyperbolic zinaelezea baadhi ya harakati za chembe.
Uhandisi:
- Kubuni sahani za satellite na telescopes zinazotumia umbo la parabolic.
- Maktaba za hyperbolic katika mitambo ya nguvu kwa ufanisi wa muundo.
Usanifu:
- Mipango ya elliptical katika madaraja na majengo kwa mvuto wa kisasa na nguvu.
- Mizunguko ya parabolic katika madaraja ya suspension.
Optics:
- Umbo la lenzi kulingana na sehemu za conic ili kurekebisha aberrations za kioo.

Mbadala

Mizunguko mingine na umbo inaweza kuzingatiwa kulingana na matumizi:

Mizunguko ya Duara: Hesabu rahisi wakati usahihi wa sehemu za conic hauhitajiki.
Mizunguko ya Spline: Inatumika katika grafiki za kompyuta kwa umbo tata.
Mizunguko ya Bezier: Inatumika katika kubuni na uhuishaji kwa mizunguko laini na inayoweza kupimwa.

Historia

Uchunguzi wa sehemu za conic unarudi nyuma zaidi ya milenia mbili:

Menaechmus (karibu 350 BCE): Alielezea kwanza sehemu za conic wakati akijaribu kutatua tatizo la kuiga cube.
Euclid na Archimedes: Walichunguza zaidi mali za sehemu za conic.
Apollonius wa Perga (karibu 200 BCE): Anajulikana kama "Mhandisi Mkuu," aliandika kazi muhimu "Conics," ambayo iliweka msingi wa masomo ya sehemu za conic.
Johannes Kepler (karne ya 17): Aligundua kwamba sayari huenda katika mizunguko ya elliptical, akaunda sheria zake tatu za mwendo wa sayari.
Isaac Newton: Alitumia sehemu za conic katika sheria yake ya mvuto wa ulimwengu kuelezea harakati za mbingu.

Sehemu za conic zimekuwa na jukumu muhimu katika maendeleo ya hisabati, fizikia, na uhandisi, zikihamasisha teknolojia za kisasa na uelewa wa kisayansi.

Mifano

Excel (VBA)

1' VBA Function to Calculate Eccentricity of a Hyperbola
2Function HyperbolaEccentricity(a As Double, b As Double) As Double
3    If a <= 0 Or b <= 0 Then
4        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
5    ElseIf a <= b Then
6        HyperbolaEccentricity = CVErr(xlErrValue)
7    Else
8        HyperbolaEccentricity = Sqr(1 + (b ^ 2) / (a ^ 2))
9    End If
10End Function
11' Usage in Excel:
12' =HyperbolaEccentricity(5, 3)
13

Python

1import math
2
3def ellipse_eccentricity(a, b):
4    if a <= 0 or b <= 0 or b > a:
5        raise ValueError("Vigezo visivyo sahihi: Hakikisha a >= b > 0")
6    e = math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2))
7    return e
8
9## Mfano wa matumizi:
10a = 5.0  # Semi-major axis
11b = 3.0  # Semi-minor axis
12ecc = ellipse_eccentricity(a, b)
13print(f"Eccentricity ya ellipse: {ecc:.4f}")
14

JavaScript

1function calculateEccentricity(a, b) {
2  if (a <= 0 || b <= 0 || b > a) {
3    throw new Error("Vigezo visivyo sahihi: a lazima iwe >= b > 0");
4  }
5  const e = Math.sqrt(1 - (b ** 2) / (a ** 2));
6  return e;
7}
8
9// Mfano wa matumizi:
10const a = 5;
11const b = 3;
12const eccentricity = calculateEccentricity(a, b);
13console.log(`Eccentricity: ${eccentricity.toFixed(4)}`);
14

MATLAB

1% MATLAB Script to Calculate Eccentricity of a Parabola
2% Kwa parabola, eccentricity daima ni 1
3e = 1;
4fprintf('Eccentricity ya parabola: %.4f\n', e);
5

C#

1using System;
2
3class ConicSection
4{
5    public static double ParabolaEccentricity()
6    {
7        return 1.0;
8    }
9
10    static void Main()
11    {
12        double eccentricity = ParabolaEccentricity();
13        Console.WriteLine($"Eccentricity ya parabola: {eccentricity}");
14    }
15}
16

Java

1public class ConicSectionCalculator {
2    public static double calculateCircleEccentricity() {
3        return 0.0;
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        double e = calculateCircleEccentricity();
8        System.out.printf("Eccentricity ya duara: %.4f%n", e);
9    }
10}
11

Rust

1fn hyperbola_eccentricity(a: f64, b: f64) -> Result<f64, &'static str> {
2    if a <= 0.0 || b <= 0.0 || a <= b {
3        Err("Vigezo visivyo sahihi: a lazima iwe > b > 0")
4    } else {
5        Ok((1.0 + (b.powi(2) / a.powi(2))).sqrt())
6    }
7}
8
9fn main() {
10    let a = 5.0;
11    let b = 3.0;
12    match hyperbola_eccentricity(a, b) {
13        Ok(eccentricity) => println!("Eccentricity: {:.4}", eccentricity),
14        Err(e) => println!("Kosa: {}", e),
15    }
16}
17

Mifano ya Nambari

Duara:
- Radius ( $r$ ): 5 vitengo
- Eccentricity ( $e$ ): $0$
- Equation: $x^2 + y^2 = 25$
Ellipse:
- Semi-major Axis ( $a$ ): 5 vitengo
- Semi-minor Axis ( $b$ ): 3 vitengo
- Eccentricity ( $e$ ): $e = \sqrt{1 - \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$
- Equation: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
Parabola:
- Focal Length ( $f$ ): 2 vitengo
- Eccentricity ( $e$ ): $1$
- Equation: $y^2 = 8 x$
Hyperbola:
- Transverse Axis ( $a$ ): 5 vitengo
- Conjugate Axis ( $b$ ): 3 vitengo
- Eccentricity ( $e$ ): $e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1667$
- Equation: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Whiz Tools

Kikokotoo cha Sehemu za Conic za Kuvutia na Eccentricity

Sehemu ya Conic

Nyaraka