சரியான சுற்றியல் கோணத்தின் கணக்கீட்டாளர் மற்றும் அளவீடுகள்

நேர்மறை வளைய கோணக் கணக்கீட்டாளர்

அறிமுகம்

நேர்மறை வளைய கோணம் என்பது ஒரு முக்கோண வடிவமாகும், இது ஒரு தட்டையான வளைய அடிப்படையிலிருந்து ஒரு புள்ளி எனப்படும் உச்சிக்கு அல்லது உச்சிக்கு மென்மையாகக் குறைகிறது. அடிப்படையை மையத்துடன் இணைக்கும் கோடு (அச்சு) அடிப்படைக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், இதனை "நேர்மறை" என அழைக்கின்றனர். இந்த கணக்கீட்டாளர், நேர்மறை வளைய கோணத்தின் முக்கிய பண்புகளை கண்டுபிடிக்க உதவுகிறது:

மொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு (A): அடிப்படையின் பரப்பளவு மற்றும் பக்க (பக்கம்) மேற்பரப்புப் பரப்பளவின் மொத்தம்.
அளவு (V): கோணத்தின் உள்ளே அடைக்கப்பட்ட இடத்தின் அளவு.
பக்க மேற்பரப்புப் பரப்பளவு (Aₗ): கோணத்தின் பக்க (பக்கம்) மேற்பரப்பின் பரப்பளவு.
அடிப்படை மேற்பரப்புப் பரப்பளவு (A_b): வளைய அடிப்படையின் பரப்பளவு.

இந்த பண்புகளைப் புரிந்துகொள்வது பொறியியல், கட்டிடக்கலை, மற்றும் பல இயற்பியல் விஞ்ஞானங்களில் முக்கியமாக இருக்கிறது.

சூத்திரம்

வரையறைகள்

என்பது:

r = அடிப்படையின் வட்டத்தின் கதிர்
h = கோணத்தின் உயரம் (அடிப்படையிலிருந்து உச்சிக்கு செங்குத்தான தூரம்)
l = கோணத்தின் சாய்வு உயரம்

சாய்வு உயரம் (l) பிதாகோரஸ் தேதியைக் கொண்டு கணக்கிடலாம்:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

கணக்கீடுகள்

அடிப்படை மேற்பரப்புப் பரப்பளவு (A_b):

வளைய அடிப்படையின் பரப்பளவு:
$A_b = \pi r^2$
பக்க மேற்பரப்புப் பரப்பளவு (Aₗ):

பக்க மேற்பரப்புப் பரப்பளவு:
$Aₗ = \pi r l$
மொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு (A):

அடிப்படையின் பரப்பளவு மற்றும் பக்க மேற்பரப்புப் பரப்பளவின் மொத்தம்:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
அளவு (V):

கோணத்தின் உள்ளே அடைக்கப்பட்ட இடம்:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

மைய வழக்குகள்

சூ μηன் கதிர் (r = 0): கதிர் பூஜ்யமாக இருந்தால், கோணம் ஒரு கோட்டாகக் குறைகிறது, இதனால் அளவு மற்றும் மேற்பரப்புகள் பூஜ்யமாகும்.
பூஜ்ய உயரம் (h = 0): உயரம் பூஜ்யமாக இருந்தால், கோணம் ஒரு தட்டான வட்டமாக மாறுகிறது (அடிப்படை), மற்றும் அளவு பூஜ்யமாகும். மொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு அடிப்படையின் பரப்பளவுக்கு சமமாகும்.
எதிர்மறை மதிப்புகள்: எதிர்மறை மதிப்புகள் கதிர் அல்லது உயரத்திற்கு உள்ளடக்கமாக இல்லை. கணக்கீட்டாளர் r ≥ 0 மற்றும் h ≥ 0 என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது.

பயன்பாட்டு வழிகள்

பொறியியல் மற்றும் வடிவமைப்பு

உற்பத்தி: குழாய்கள், பாதுகாப்பு கோணங்கள் மற்றும் இயந்திரப் பகுதிகள் போன்ற கோண வடிவங்களை வடிவமைத்தல்.
கட்டுமானம்: கோணமான கூரைகள், கோடுகள் அல்லது ஆதரவு கட்டமைப்புகளுக்கான தேவையான பொருட்களை கணக்கீடு செய்தல்.

இயற்பியல் விஞ்ஞானங்கள்

ஒளியியல்: கோண வடிவங்களில் ஒளியின் பரவலைப் புரிந்துகொள்வது.
பூவியல்: தீவிரமான கோணங்களை மாதிரியாகக் கணக்கீடு செய்தல் மற்றும் மாக்மா அறை அளவுகளை கணக்கீடு செய்தல்.

கணிதக் கல்வி

கணிதம் கற்பித்தல்: மூன்றாவது பரிமாண கணிதம் மற்றும் கால்குலசை விளக்குதல்.
சிக்கல்கள் தீர்வு: கணிதக் கருத்துக்களுக்கு நடைமுறை பயன்பாடுகளை வழங்குதல்.

மாற்றுகள்

சிலிண்டர் கணக்கீடுகள்: ஒரே மாதிரியான கட்சிகளுடன் வடிவங்களுக்கு, சிலிண்டரின் சூத்திரங்கள் அதிகம் பொருத்தமானதாக இருக்கலாம்.
கோணத்தின் மையம்: கோணம் வெட்டப்பட்டால் (கத்திரிக்கையால்), கோண மையத்தின் கணக்கீடுகள் தேவை.

வரலாறு

கோணங்களின் ஆய்வு பழமையான கிரேக்க கணிதவியலாளர்களான யூகிளிட்ஸ் மற்றும் அபொல்லோனியஸ் ஆகியோரால் தொடங்கப்பட்டது, அவர்கள் முறையாக கோண கட்டுப்பாடுகளை ஆய்வு செய்தனர். கோணங்கள், கணிதம், கால்குலசு மற்றும் விண்வெளி மற்றும் இயற்பியலில் பயன்பாடுகளுக்கு முக்கியமானவை.

யூகிளிட்ஸ் இல் உள்ள உருப்படிகள்: கோணங்களின் ஆரம்ப வரையறைகள் மற்றும் பண்புகள்.
அபொல்லோனியஸ் இன் கோண கட்டுப்பாடுகள்: கோணத்துடன் ஒரு தளத்தை சந்திக்கும் போது உருவாகும் வளைவுகளை விரிவாக ஆய்வு செய்தார்.
கால்குலசு வளர்ச்சி: அளவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் கணக்கீடு, ஒருங்கிணைந்த கால்குலசுக்கு பங்களித்தது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எண்ணியல் எடுத்துக்காட்டு

கதிர் r = 5 அலகுகள் மற்றும் உயரம் h = 12 அலகுகள் கொண்ட கோணத்தை எடுத்துக்கொண்டால்.

சாய்வு உயரத்தை (l) கணக்கிடுங்கள்:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ அலகுகள்}$
அடிப்படை மேற்பரப்புப் பரப்பளவு (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ அலகுகள்}^2$
பக்க மேற்பரப்புப் பரப்பளவு (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ அலகுகள்}^2$
மொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ அலகுகள்}^2$
அளவு (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ அலகுகள்}^3$

குறியீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள்

எக்ஸெல்

1' Excel VBA இல் நேர்மறை வளைய கோணத்தின் பண்புகளை கணக்கிடுங்கள்
2Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
3    If r < 0 Or h < 0 Then
4        ConeProperties = "கதிர் மற்றும் உயரம் பூஜ்யம் அல்ல."
5        Exit Function
6    End If
7    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
8    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
9    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
10    A = A_b + A_l
11    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
12    ConeProperties = "அடிப்படை பரப்பளவு: " & A_b & vbCrLf & _
13                     "பக்க பரப்பளவு: " & A_l & vbCrLf & _
14                     "மொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு: " & A & vbCrLf & _
15                     "அளவு: " & V
16End Function
17' எக்ஸெல் செல்களில் பயன்படுத்துதல்:
18' =ConeProperties(5, 12)
19

பைதான்

1import math
2
3def cone_properties(r, h):
4    if r < 0 or h < 0:
5        return "கதிர் மற்றும் உயரம் பூஜ்யம் அல்ல."
6    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
7    A_b = math.pi * r ** 2
8    A_l = math.pi * r * l
9    A = A_b + A_l
10    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
11    return {
12        'அடிப்படை பரப்பளவு': A_b,
13        'பக்க பரப்பளவு': A_l,
14        'மொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு': A,
15        'அளவு': V
16    }
17
18## எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு
19result = cone_properties(5, 12)
20for key, value in result.items():
21    print(f"{key}: {value:.4f}")
22

ஜாவாஸ்கிரிப்ட்

1function coneProperties(r, h) {
2  if (r < 0 || h < 0) {
3    return "கதிர் மற்றும் உயரம் பூஜ்யம் அல்ல.";
4  }
5  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
6  const A_b = Math.PI * r ** 2;
7  const A_l = Math.PI * r * l;
8  const A = A_b + A_l;
9  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
10  return {
11    அடிப்படை பரப்பளவு: A_b,
12    பக்க பரப்பளவு: A_l,
13    மொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு: A,
14    அளவு: V,
15  };
16}
17
18// எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு
19const result = coneProperties(5, 12);
20for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
21  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
22}
23

ஜாவா

1public class RightCircularCone {
2    public static void main(String[] args) {
3        double r = 5;
4        double h = 12;
5        String result = coneProperties(r, h);
6        System.out.println(result);
7    }
8
9    public static String coneProperties(double r, double h) {
10        if (r < 0 || h < 0) {
11            return "கதிர் மற்றும் உயரம் பூஜ்யம் அல்ல.";
12        }
13        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
14        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
15        double A_l = Math.PI * r * l;
16        double A = A_b + A_l;
17        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
18        return String.format("அடிப்படை பரப்பளவு: %.4f\nபக்க பரப்பளவு: %.4f\nமொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு: %.4f\nஅளவு: %.4f",
19                A_b, A_l, A, V);
20    }
21}
22

C++

1#include <iostream>
2#include <cmath>
3#include <string>
4
5std::string coneProperties(double r, double h) {
6    if (r < 0 || h < 0) {
7        return "கதிர் மற்றும் உயரம் பூஜ்யம் அல்ல.";
8    }
9    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
10    double A_b = M_PI * r * r;
11    double A_l = M_PI * r * l;
12    double A = A_b + A_l;
13    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
14    char buffer[256];
15    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "அடிப்படை பரப்பளவு: %.4f\nபக்க பரப்பளவு: %.4f\nமொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு: %.4f\nஅளவு: %.4f",
16             A_b, A_l, A, V);
17    return std::string(buffer);
18}
19
20int main() {
21    double r = 5;
22    double h = 12;
23    std::string result = coneProperties(r, h);
24    std::cout << result << std::endl;
25    return 0;
26}
27

வரைபடங்கள்

நேர்மறை வளைய கோணத்தின் SVG வரைபடம்

வரைபட விளக்கம்

கோண வடிவம்: கோணம் பக்கம் பாதையாகவும் அடிப்படையாகவும் மூன்றாவது பரிமாண வடிவத்தை பிரதிநிதித்துவம் செய்கிறது.
உயரம் (h): உச்சியில் இருந்து அடிப்படையின் மையத்திற்கு செங்குத்தான கோடு.
கதிர் (r): அடிப்படையின் மையத்திலிருந்து அதன் எல்லைக்கு செங்குத்தான கோடு.
குறிச்சொற்கள்: கோணத்தின் அளவுகளை குறிக்கின்றன.

மேற்கோள்கள்

ஹைட்ராலிக் விட்டம் - விக்கிப்பீடியா
திறந்த சேனல் ஓட்டக் கணக்கீட்டாளர்
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (1996). Calculus and Analytic Geometry. Addison Wesley.

குறிப்பு: கணக்கீட்டாளர் கதிர் (r) மற்றும் உயரம் (h) பூஜ்யம் அல்லது அதற்கு மேல் இருக்க வேண்டும் என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது. எதிர்மறை உள்ளீடுகள் செல்லுபடியாகாது மற்றும் தவறு செய்தி உருவாக்கும்.

Whiz Tools