Z-Test Calculator

Introduction

Z-சோதனை கணக்கீட்டாளர் என்பது ஒரு மாதிரி Z-சோதனைகளை செய்யவும் புரிந்துகொள்ளவும் உதவுவதற்கான சக்திவாய்ந்த கருவியாகும். இந்த புள்ளியியல் சோதனை, ஒரு மக்கள் தொகையிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் சராசரி, அறியப்பட்ட அல்லது ஊகிக்கப்பட்ட மக்கள் தொகை சராசரியுடன் முக்கியமாக மாறுபடுகிறதா என்பதை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது.

Formula

ஒரு மாதிரி Z-சோதனைக்கு Z-சூத்திரம் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

எங்கு:

• $\bar{x}$ என்பது மாதிரி சராசரி
• $\mu$ என்பது மக்கள் தொகை சராசரி
• $\sigma$ என்பது மக்கள் தொகை நிலைமாற்றம்
• $n$ என்பது மாதிரி அளவு

இந்த சூத்திரம், மாதிரி சராசரி மக்கள் தொகை சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு நிலைமாற்றங்களைப் பின்பற்றுகிறது என்பதை கணக்கிடுகிறது.

How to Use This Calculator

1. மாதிரி சராசரியை ($\bar{x}$) உள்ளிடவும்
2. மக்கள் தொகை சராசரியை ($\mu$) உள்ளிடவும்
3. மக்கள் தொகை நிலைமாற்றத்தை ($\sigma$) உள்ளிடவும்
4. மாதிரி அளவை ($n$) உள்ளிடவும்
5. Z-சூத்திரத்தைப் பெற "கணக்கிடு" பொத்தானை அழுத்தவும்

கணக்கீட்டாளர் பெறப்பட்ட Z-சூத்திரத்தை மற்றும் அதன் விளக்கத்தை காட்டு.

Assumptions and Limitations

Z-சோதனை பல முன்னெடுப்புகளை நம்புகிறது:

1. மாதிரி மக்கள் தொகையிலிருந்து சீராக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுள்ளது.
2. மக்கள் தொகை நிலைமாற்றம் அறியப்பட்டுள்ளது.
3. மக்கள் தொகை ஒரு சாதாரண விநியோகத்தை பின்பற்றுகிறது.
4. மாதிரி அளவு போதுமானதாக இருக்க வேண்டும் (பொதுவாக n > 30).

மக்கள் தொகை நிலைமாற்றம் அறியப்படாத அல்லது மாதிரி அளவு சிறியது என்றால், t-சோதனை அதிகமாக பொருத்தமானதாக இருக்கலாம்.

Interpretation of Results

Z-சூத்திரம், மாதிரி சராசரி மக்கள் தொகை சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு நிலைமாற்றங்களில் உள்ளது என்பதை குறிக்கிறது. பொதுவாக:

• Z-சூத்திரம் 0 என்றால், மாதிரி சராசரி மக்கள் தொகை சராசரியுடன் சமமாக உள்ளது.
• -1.96 மற்றும் 1.96 இடையே உள்ள Z-சூத்திரங்கள், 95% நம்பகத்தன்மை நிலைமையில், மாதிரி சராசரி மக்கள் தொகை சராசரியுடன் முக்கியமாக மாறுபடவில்லை என்பதைக் குறிக்கின்றன.
• இந்த வரம்புக்கு வெளியே உள்ள Z-சூத்திரங்கள், புள்ளியியல் ரீதியாக முக்கியமான மாறுபாட்டைக் குறிக்கின்றன.

துல்லியமான விளக்கம், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முக்கியத்துவ நிலை (α) மற்றும் இது ஒரு ஒரு-கை அல்லது இரண்டு-கை சோதனை என்பதைக் சார்ந்துள்ளது.

Use Cases

Z-சோதனை பல துறைகளில் பல்வேறு பயன்பாடுகள் உள்ளன:

1. தரக் கட்டுப்பாடு: ஒரு உற்பத்தி வரிசை குறிப்பிட்ட தரங்களை பூர்த்தி செய்கிறதா என்பதை சோதிக்கிறது.
2. மருத்துவ ஆராய்ச்சி: ஒரு சிகிச்சை குழுவின் முடிவுகளை அறியப்பட்ட மக்கள் தொகை மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடுகிறது.
3. சமூக அறிவியல்: ஒரு மாதிரியின் பண்புகள் மக்கள் தொகை தரவுகளுடன் மாறுபடுகிறதா என்பதை மதிப்பீடு செய்கிறது.
4. நிதி: ஒரு போர்ட்ஃபோலியோவின் செயல்திறன் சந்தை சராசரியுடன் முக்கியமாக மாறுபடுகிறதா என்பதை மதிப்பீடு செய்கிறது.
5. கல்வி: மாணவர் செயல்திறனை நிலையான சோதனை சராசரிகளுடன் ஒப்பிடுகிறது.

Alternatives

Z-சோதனை பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் சில சூழ்நிலைகளில் மாற்று சோதனைகள் அதிகமாக பொருத்தமானதாக இருக்கலாம்:

1. T-சோதனை: மக்கள் தொகை நிலைமாற்றம் அறியப்படாத அல்லது மாதிரி அளவு சிறியது.
2. ANOVA: இரண்டு குழுக்களுக்கு மேற்பட்ட சராசரிகளை ஒப்பிடுவதற்கானது.
3. சி-சதுர சோதனை: வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுப் பகுப்பாய்வுக்கு.
4. அநியமிதமான சோதனைகள்: தரவுகள் சாதாரண விநியோகத்தை பின்பற்றாத போது.

History

Z-சோதனை, 19வது மற்றும் 20வது நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் புள்ளியியல் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியில் அதன் அடிப்படைகளைப் பெற்றுள்ளது. இது முதலில் அப்ரஹாம் டி மோயரால் 1733 இல் விவரிக்கப்பட்ட சாதாரண விநியோகத்துடன் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டுள்ளது. "மாண்புமிகு மதிப்பு" அல்லது "Z-சூத்திரம்" என்ற சொல், சார்லஸ் ஸ்பியர்மேன் 1904 இல் அறிமுகப்படுத்தியது.

Z-சோதனை, 20வது நூற்றாண்டின் ஆரம்பத்தில் கல்வி மற்றும் உளவியல் துறையில் தரநிலைகளைப் பயன்படுத்தும் போது பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது. இது ரொனால்ட் ஃபிஷர், ஜெர்சி நெய்மன் மற்றும் எகான் பியர்சன் போன்ற புள்ளியியல் நிபுணர்களால் உத்தியாக்க சோதனை கட்டமைப்புகளை உருவாக்குவதில் முக்கிய பங்கு வகித்தது.

இன்று, Z-சோதனை, மக்கள் தொகை அளவீடுகள் அறியப்பட்ட அல்லது நம்பகமாக மதிப்பீடு செய்யக்கூடிய பெரிய மாதிரி ஆய்வுகளில், புள்ளியியல் பகுப்பாய்வில் அடிப்படையான கருவியாக உள்ளது.

Examples

இங்கே பல்வேறு நிரலாக்க மொழிகளில் Z-சூத்திரங்களை கணக்கிடுவதற்கான சில குறியீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன:

1' Excel Function for Z-score
2Function ZScore(sampleMean As Double, populationMean As Double, populationStdDev As Double, sampleSize As Double) As Double
3    ZScore = (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Sqr(sampleSize))
4End Function
5' Usage:
6' =ZScore(10, 9.5, 2, 100)
7

1import math
2
3def z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size):
4    return (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / math.sqrt(sample_size))
5
6## Example usage:
7sample_mean = 10
8population_mean = 9.5
9population_std_dev = 2
10sample_size = 100
11z = z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
12print(f"Z-score: {z:.4f}")
13

1function zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize) {
2  return (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Math.sqrt(sampleSize));
3}
4
5// Example usage:
6const sampleMean = 10;
7const populationMean = 9.5;
8const populationStdDev = 2;
9const sampleSize = 100;
10const z = zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize);
11console.log(`Z-score: ${z.toFixed(4)}`);
12

1z_score <- function(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size) {
2  (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / sqrt(sample_size))
3}
4
5## Example usage:
6sample_mean <- 10
7population_mean <- 9.5
8population_std_dev <- 2
9sample_size <- 100
10z <- z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
11cat(sprintf("Z-score: %.4f\n", z))
12

Visualization

Z-சூத்திரத்தை ஒரு சாதாரண சாதாரண விநியோகக் குருவில் காட்சிப்படுத்தலாம். இதோ ஒரு எளிய ASCII பிரதிநிதித்துவம்: