เครื่องคำนวณภาคตัดกรวย - วงกลม วงรี พาราโบลา

เครื่องคำนวณภาคตัดกรวยคืออะไร?

เครื่องคำนวณภาคตัดกรวยจะหาค่าความเยื้องศูนย์กลางและสมการมาตรฐานของวงกลม วงรี พาราโบลา หรือไฮเพอร์โบลาจากการวัดเพียงไม่กี่ค่า เส้นโค้งทั้งสี่ชนิดนี้เกิดขึ้นเมื่อระนาบแบนตัดผ่านกรวยด้วยมุมที่แตกต่างกัน

ภาคตัดกรวยทั้งสี่ชนิด

การตัดกรวยในแนวขวางตรง ๆ ทำให้เกิดวงกลม การเอียงระนาบทำให้เกิดวงรี การตัดขนานกับด้านข้างของกรวยทำให้เกิดพาราโบลา การตัดผ่านกรวยคู่ทั้งสองส่วนทำให้เกิดไฮเพอร์โบลา

เส้นโค้งแต่ละเส้นมี ค่าความเยื้องศูนย์กลาง ซึ่งเป็นค่าที่แสดงว่าเส้นโค้งนั้นแตกต่างจากวงกลมสมบูรณ์มากเพียงใด

• วงกลม: $e = 0$
• วงรี: $0 < e < 1$
• พาราโบลา: $e = 1$
• ไฮเพอร์โบลา: $e > 1$

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

1. เลือกชนิดของภาคตัดกรวย: วงกลม วงรี พาราโบลา หรือไฮเพอร์โบลา
2. ป้อนค่าการวัดที่จำเป็น
   • วงกลม: รัศมี ($r$)
   • วงรี: กึ่งแกนเอก ($a$) และกึ่งแกนโท ($b$)
   • พาราโบลา: ความยาวโฟกัส ($f$)
   • ไฮเพอร์โบลา: กึ่งแกนตามขวาง ($a$) และกึ่งแกนสังยุค ($b$)
3. ค่าความเยื้องศูนย์กลางและสมการมาตรฐานจะแสดงขึ้นโดยอัตโนมัติทันทีที่ป้อนค่าบวกที่ถูกต้องสำหรับชนิดภาคตัดกรวยที่เลือก โดยไม่มีปุ่ม Calculate ให้คลิก
4. กราฟของเส้นโค้งจะแสดงอยู่ด้านล่างผลลัพธ์

เครื่องคำนวณจะแสดงสมการโดยแทนที่ตัวแปรด้วยตัวเลขที่ป้อนแล้ว ดังนั้นวงรีที่มี $a = 5$ และ $b = 3$ จะแสดงเป็น $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$ ซึ่งเป็นสมการเดียวกับ $x^2/25 + y^2/9 = 1$ ค่าความเยื้องศูนย์กลางจะแสดงเป็นทศนิยมสี่ตำแหน่ง

ค่าที่ป้อนทั้งหมดต้องเป็นจำนวนบวก สำหรับวงรี กึ่งแกนเอกต้องยาวอย่างน้อยเท่ากับกึ่งแกนโท เพราะกึ่งแกนเอกถูกกำหนดให้เป็นแกนที่ยาวกว่า ไฮเพอร์โบลาไม่มีกฎข้อนี้ กึ่งแกนตามขวางและกึ่งแกนสังยุคสามารถมีความยาวบวกใด ๆ ก็ได้ รวมถึงยาวเท่ากัน

สูตรวงกลม

สำหรับวงกลมที่มีรัศมี $r$ และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

ค่าความเยื้องศูนย์กลาง: $e = 0$

วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีที่แกนทั้งสองมีความยาวเท่ากัน และจุดโฟกัสทั้งสองอยู่ที่จุดศูนย์กลาง

สูตรวงรี

สำหรับวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มีโครงสร้างกึ่งแกนเอก $a$ และกึ่งแกนโท $b$ โดยที่ $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

ตัวอย่าง: $a = 5$, $b = 3$

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

สมการ: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

เมื่อ $a = b$ วงรีจะกลายเป็นวงกลม และ $e = 0$

สูตรพาราโบลา

สำหรับพาราโบลาที่เปิดไปทางขวา โดยมีความยาวโฟกัส $f$ (ระยะจากจุดยอดถึงจุดโฟกัส):

$$y^2 = 4fx$$

ค่าความเยื้องศูนย์กลาง: $e = 1$ เสมอ

ตัวอย่าง: $f = 2$ สมการ: $y^2 = 8x$

สูตรไฮเพอร์โบลา

สำหรับไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มีกึ่งแกนตามขวาง $a$ และกึ่งแกนสังยุค $b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนบวกใด ๆ

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

กึ่งแกนตามขวาง $a$ คือครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสอง ซึ่งเป็นจุดที่เส้นโค้งเปลี่ยนทิศทาง กึ่งแกนสังยุค $b$ คือครึ่งหนึ่งของความยาวแกนสังยุค ซึ่งเป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับแกนตามขวางผ่านจุดศูนย์กลาง ค่านี้กำหนดว่าแขนทั้งสองจะแผ่ออกจากกันเร็วเพียงใด

ต่างจากวงรี ไฮเพอร์โบลาไม่จำเป็นต้องมี $a$ ใหญ่กว่า $b$ ความยาวทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น $b$ จึงอาจสั้นกว่า เท่ากับ หรือยาวกว่า $a$ ก็ได้ เมื่อ $a = b$ เส้นโค้งนี้เรียกว่าไฮเพอร์โบลามุมฉาก โดยมีค่าความเยื้องศูนย์กลางเป็น $\sqrt{2} \approx 1.4142$

ตัวอย่าง: $a = 5$, $b = 3$

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

สมการ: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

การใช้งานภาคตัดกรวยในโลกจริง

ดาวเคราะห์และดาวหางโคจรไปตามเส้นทางที่มีรูปร่างเป็นภาคตัดกรวย กฎข้อที่หนึ่งของเคปเลอร์ระบุว่าวงโคจรของดาวเคราะห์เป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่งของวงรี ดาวหางบางดวงเคลื่อนที่ตามเส้นทางพาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลาและไม่หวนกลับมาอีก

พาราโบลาจะรวมรังสีขนานให้ไปยังจุดเดียว วิศวกรจึงใช้รูปทรงพาราโบลาในจานรับสัญญาณดาวเทียม กระจกกล้องโทรทรรศน์ และไฟหน้ารถ เส้นโค้งไฮเพอร์โบลาพบได้ในผนังหอหล่อเย็น ซึ่งรูปทรงนี้ให้ความแข็งแรงโดยใช้วัสดุน้อยลง ส่วนวงรีพบได้ในซุ้มโค้ง เพดานห้องเสียงกระซิบ และการออกแบบเฟือง

ประวัติโดยย่อของภาคตัดกรวย

เมนาเอคมัสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกศึกษาภาคตัดกรวยในราว 350 ปีก่อนคริสตกาล ขณะพยายามแก้ปัญหาการสร้างลูกบาศก์ให้มีปริมาตรเป็นสองเท่า อพอลโลเนียสแห่งเพอร์กาเขียนตำรารายละเอียดชื่อ Conics ในราว 200 ปีก่อนคริสตกาล เขาเป็นผู้ตั้งชื่อวงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา พร้อมทั้งอธิบายคุณสมบัติของเส้นโค้งเหล่านี้ หลายศตวรรษต่อมา โยฮันเนส เคปเลอร์ใช้วงรีอธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ และไอแซก นิวตันใช้ภาคตัดกรวยอธิบายแรงโน้มถ่วง

คำถามที่พบบ่อย

ภาคตัดกรวยมีสี่ชนิดใดบ้าง?

วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา แต่ละชนิดเกิดขึ้นเมื่อระนาบตัดผ่านกรวยด้วยมุมที่แตกต่างกัน และแต่ละชนิดมีช่วงค่าความเยื้องศูนย์กลางแตกต่างกัน

คำนวณค่าความเยื้องศูนย์กลางอย่างไร?

ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงกลม ($e = 0$) และพาราโบลา ($e = 1$) เป็นค่าคงที่ สำหรับวงรี $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$ โดยใช้กึ่งแกนเอก $a$ และกึ่งแกนโท $b$ สำหรับไฮเพอร์โบลา $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$ โดยใช้กึ่งแกนตามขวาง $a$ และกึ่งแกนสังยุค $b$

กึ่งแกนตามขวางของไฮเพอร์โบลาต้องยาวกว่ากึ่งแกนสังยุคหรือไม่?

ไม่จำเป็น ต่างจากกึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโทของวงรี กึ่งแกนตามขวาง ($a$) และกึ่งแกนสังยุค ($b$) ของไฮเพอร์โบลาเป็นค่าการวัดที่เป็นอิสระต่อกัน ทั้งสองค่าต้องเป็นบวก แต่ค่าใดค่าหนึ่งอาจยาวกว่าอีกค่าหนึ่ง

วงรีสามารถกลายเป็นวงกลมได้หรือไม่?

ได้ เมื่อกึ่งแกนเอกยาวเท่ากับกึ่งแกนโท วงรีจะเป็นวงกลม และมีค่าความเยื้องศูนย์กลางเป็น 0

เหตุใดจานรับสัญญาณดาวเทียมจึงใช้รูปทรงพาราโบลา?

พาราโบลาสะท้อนรังสีที่เคลื่อนที่ขนานกับแกนของมันให้มาบรรจบกันที่จุดโฟกัสเดียว จานรับสัญญาณดาวเทียมและกระจกกล้องโทรทรรศน์ใช้คุณสมบัตินี้เพื่อรวมสัญญาณหรือแสงไว้ที่จุดเดียว

ไฮเพอร์โบลามุมฉากคืออะไร?

ไฮเพอร์โบลามุมฉากคือไฮเพอร์โบลาที่กึ่งแกนตามขวางยาวเท่ากับกึ่งแกนสังยุค ($a = b$) เส้นกำกับเข้าใกล้ของมันตั้งฉากกัน และมีค่าความเยื้องศูนย์กลางเป็น $\sqrt{2} \approx 1.4142$

เอกสารอ้างอิง

1. ภาคตัดกรวย - Wikipedia
2. ค่าความเยื้องศูนย์กลางของภาคตัดกรวย - Khan Academy
3. ภาคตัดกรวย - OpenStax