เครื่องคำนวณทรงกรวยมุมฉาก - ปริมาตร, พื้นที่ผิว และสูตร

กรวยกลมตรงคืออะไร?

กรวยกลมตรงเป็นรูปทรงตันที่มีฐานกลมแบนและด้านข้างโค้งหนึ่งด้าน ซึ่งเรียวเข้าหาจุดเดียวที่เรียกว่ายอดกรวย กรวยนี้เป็นกรวย “ตรง” เพราะยอดกรวยอยู่ตรงเหนือจุดศูนย์กลางของฐานพอดี เส้นที่ลากตรงลงจากยอดกรวยมายังฐานจะทำมุมฉากกับฐาน เครื่องคำนวณนี้หาปริมาตร พื้นที่ฐาน พื้นที่ผิวข้าง และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยจากรัศมีและความสูง

ตัวอย่างทั่วไปของรูปทรงนี้ ได้แก่ กรวยจราจร กรวยไอศกรีม กรวยกรอก และหลังคาของหอคอยบางชนิด

การวัดกรวย

ค่าการวัดสองค่าที่ใช้อธิบายกรวยกลมตรง ได้แก่

• รัศมี (r): ระยะจากจุดศูนย์กลางของฐานกลมไปยังขอบฐาน
• ความสูง (h): ระยะในแนวดิ่งเป็นเส้นตรงจากฐานถึงยอดกรวย

ความยาวส่วนที่สามคือ ความสูงเอียง (l) ซึ่งเป็นระยะตามผิวด้านนอกของกรวยจากยอดกรวยลงไปยังขอบฐาน ค่านี้ไม่ได้วัดโดยตรง แต่คำนวณจากรัศมีและความสูง เนื่องจากความยาวทั้งสามเป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก เครื่องคำนวณใช้ความสูงเอียงเพื่อคำนวณพื้นที่ผิวข้างโค้ง แต่ไม่แสดงค่านี้เป็นผลลัพธ์แยกต่างหาก

เครื่องคำนวณไม่ได้กำหนดหน่วยไว้ ให้ป้อนรัศมีและความสูงด้วยหน่วยเดียวกัน พื้นที่ทุกค่าจะแสดงเป็นหน่วยยกกำลังสอง และปริมาตรจะแสดงเป็นหน่วยยกกำลังสาม ค่าทั้งสองต้องไม่เป็นลบ เพราะความยาวไม่สามารถเป็นลบได้ เครื่องคำนวณจะแสดงข้อความแทนผลลัพธ์ ผลลัพธ์แสดงเป็นทศนิยมสี่ตำแหน่ง

สูตรของกรวย

สูตรความสูงเอียง

รัศมี ความสูง และความสูงเอียงเป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นความสูงเอียงจึงหาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

สูตรพื้นที่ฐาน

ฐานเป็นวงกลม ดังนั้นพื้นที่ฐานจึงใช้สูตรมาตรฐานของพื้นที่วงกลม

$$A_b = \pi r^2$$

สูตรพื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ผิวข้างครอบคลุมเฉพาะด้านข้างโค้ง ไม่รวมฐาน หากคลี่ด้านข้างโค้งออกเป็นแผ่นราบ จะได้เป็นส่วนของวงกลมที่มีพื้นที่ดังนี้

$$A_l = \pi r l$$

สูตรพื้นที่ผิวทั้งหมด

พื้นที่ผิวทั้งหมดคำนวณโดยนำพื้นที่ฐานมารวมกับพื้นที่ผิวข้างโค้ง

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

กรวยที่เปิดด้านฐาน เช่น กรวยกรองกระดาษ ต้องใช้เพียงพื้นที่ผิวข้างในการคำนวณวัสดุ

สูตรหาปริมาตรกรวย

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

ปริมาตรของกรวยเท่ากับหนึ่งในสามของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากันทุกประการ อาร์คิมิดีสพิสูจน์ความสัมพันธ์นี้โดยใช้วิธีการที่เกิดขึ้นก่อนแคลคูลัส ต่อมาความสัมพันธ์นี้ได้รับการยืนยันด้วยแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ซึ่งมองกรวยเป็นการเรียงซ้อนของแผ่นวงกลมจำนวนอนันต์ที่ค่อย ๆ เล็กลงจากฐานถึงยอดกรวย

วิธีคำนวณปริมาตรกรวย: ตัวอย่างการคำนวณ

พิจารณากรวยที่มีรัศมี r = 5 หน่วย และความสูง h = 12 หน่วย

1. หาความสูงเอียง

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ หน่วย}$$

2. หาพื้นที่ฐาน

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ หน่วย}^2$$

3. หาพื้นที่ผิวข้าง

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ หน่วย}^2$$

4. หาพื้นที่ผิวทั้งหมด

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ หน่วย}^2$$

5. หาปริมาตร

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ หน่วย}^3$$

แผนภาพ

เส้นประแนวดิ่งคือความสูงจากฐานถึงยอดกรวย ส่วนเส้นประแนวนอนคือรัศมีจากจุดศูนย์กลางของฐานถึงขอบฐาน

กรวยในชีวิตจริง

การคำนวณปริมาตรและพื้นที่ผิวของกรวยพบได้ในงานปฏิบัติหลายด้าน

• การผลิตชิ้นงานโลหะแผ่น: พื้นที่ผิวข้างใช้หาปริมาณวัสดุแผ่นเรียบที่ต้องใช้ม้วนเป็นถังพักรูปกรวย กรวยกรอง หรือท่อลดขนาดรูปกรวย ก่อนเผื่อขอบสำหรับตะเข็บและวัสดุสูญเสีย
• ความจุในการจัดเก็บ: สูตรปริมาตรใช้หาความจุของถังรูปกรวยและส่วนก้นรูปกรวยของไซโล
• งานก่อสร้าง: ยอดแหลม ส่วนบนของหอคอย และองค์ประกอบหลังคารูปกรวยอื่น ๆ ใช้พื้นที่ผิวข้างเพื่อประมาณปริมาณวัสดุมุงหลังคา
• สิ่งของในชีวิตประจำวัน: ถ้วยกระดาษ กรวยไอศกรีม และกรวยจราจร ล้วนมีรูปร่างใกล้เคียงกรวยกลมตรง

เครื่องคำนวณนี้สมมติให้กรวยเป็นกรวยสมบูรณ์แบบที่มีฐานกลมและมียอดกรวยอยู่ตรงเหนือจุดศูนย์กลางฐาน กรวยที่ตัดส่วนยอดออก หรือเรียกว่ากรวยตัดยอด ต้องใช้สูตรอีกชุดหนึ่ง เนื่องจากมีรัศมีสองค่าแทนที่จะมีค่าเดียว

ประวัติ

นักคณิตศาสตร์กรีกโบราณศึกษากรวยมาตั้งแต่ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล ยูคลิดได้ให้นิยามกรวยไว้ใน Elements ว่าเป็นทรงตันที่เกิดจากการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่ง ต่อมาอพอลโลเนียสแห่งเพอร์กาได้ศึกษาเส้นโค้งที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยมุมต่าง ๆ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าภาคตัดกรวย ได้แก่ วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา สูตรปริมาตร V = (1/3)πr²h ได้รับการพิสูจน์โดยอาร์คิมิดีสด้วยวิธีการหมดจด ซึ่งเป็นเทคนิคทางเรขาคณิตที่มาก่อนแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ประมาณ 2,000 ปี

คำถามที่พบบ่อย

อะไรทำให้กรวยเป็น “กรวยกลมตรง”?

คำว่า “ตรง” หมายถึงยอดกรวยอยู่ตรงเหนือจุดศูนย์กลางของฐานพอดี ดังนั้นแกนจึงตั้งฉากกับฐาน สำหรับกรวยเอียง ยอดกรวยจะเยื้องไปด้านใดด้านหนึ่ง คำว่า “กลม” หมายถึงฐานเป็นวงกลม ไม่ใช่วงรีหรือรูปทรงอื่น

สูตรปริมาตรของกรวยคืออะไร?

V = (1/3)πr²h โดย r คือรัศมีฐาน และ h คือความสูงตั้งฉาก ปริมาตรไม่จำเป็นต้องใช้ความสูงเอียง

สูตรพื้นที่ผิวของกรวยคืออะไร?

พื้นที่ผิวทั้งหมดคือ A = πr² + πrl โดย r คือรัศมี และ l คือความสูงเอียง พจน์แรกคือพื้นที่ฐาน ส่วนพจน์ที่สองคือพื้นที่ผิวข้าง หากกรวยไม่มีฐาน เช่น กรวยกรองแบบเปิด ให้ละเว้นพจน์แรก

ความสูงเอียงคืออะไร และแตกต่างจากความสูงอย่างไร?

ความสูงคือระยะในแนวดิ่งเป็นเส้นตรงจากฐานถึงยอดกรวย โดยวัดผ่านด้านในของกรวย ส่วนความสูงเอียงคือระยะตามผิวด้านนอกจากยอดกรวยถึงขอบฐาน ทั้งสองสัมพันธ์กันด้วย l = √(r² + h²) โดยความสูงเอียงจะยาวกว่าความสูงเสมอเมื่อรัศมีมากกว่าศูนย์

จะหาปริมาตรกรวยจากเส้นผ่านศูนย์กลางได้อย่างไร?

หารเส้นผ่านศูนย์กลางด้วย 2 เพื่อหารัศมี จากนั้นใช้ V = (1/3)πr²h ตัวอย่างเช่น กรวยที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ซม. และความสูง 15 ซม. จะมีรัศมี 5 ซม. ดังนั้น V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392.7 cm³

เครื่องคำนวณนี้ใช้กับกรวยตัดหรือ frustum ได้หรือไม่?

ไม่ได้ frustum คือกรวยที่ถูกตัดส่วนยอดออก จึงมีรัศมีสองค่าแทนที่จะมีค่าเดียว และต้องใช้สูตรเฉพาะของมันเองสำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิว