เครื่องคำนวณปริมาตรทรงกรวย - คำนวณปริมาตรทรงกรวยและทรงกรวยตัด

เครื่องคำนวณปริมาตรกรวยคืออะไร?

เครื่องคำนวณปริมาตรกรวยใช้คำนวณปริมาตรของกรวยหรือกรวยตัด (frustum) โดยใช้รัศมีและความสูง กรวยเป็นทรงตันที่มีฐานกลมแบนหนึ่งฐาน และเรียวแคบลงอย่างต่อเนื่องจนถึงจุดเดียวที่เรียกว่ายอดกรวย กรวยตัดคือส่วนของกรวยที่เหลืออยู่หลังจากตัดยอดออกตามระนาบที่ขนานกับฐาน ทำให้มีหน้าวงกลมสองหน้าแทนที่จะเป็นหนึ่งหน้า

สูตรหาปริมาตรกรวย

ปริมาตรของกรวยเต็มขึ้นอยู่กับรัศมีของฐานและความสูง

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V คือปริมาตรของกรวย
• r คือรัศมีของฐานกลม
• h คือความสูง ซึ่งวัดเป็นเส้นตรงจากฐานถึงยอดกรวย
• π (พาย) มีค่าประมาณ 3.14159

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

กรวยที่มีรัศมีฐาน 3 หน่วย และมีความสูง 4 หน่วย มีปริมาตรดังนี้:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37.70 ลูกบาศก์หน่วย

วิธีคำนวณปริมาตรกรวยด้วยเครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณรับค่าป้อนเข้าสามค่า:

1. รัศมี — รัศมีของฐาน
2. ความสูง — ความสูงของกรวยจากฐานถึงยอดกรวย
3. ความสูงของจุดตัดจากฐาน (ไม่บังคับ) — ระยะจากฐานถึงจุดที่ตัดกรวย หากมีการตัดส่วนบนออก

การเว้นช่องความสูงของจุดตัดไว้ หรือป้อนค่า 0 จะให้ปริมาตรของกรวยเต็มที่ยังไม่ได้ตัด การป้อนค่าความสูงของจุดตัดที่น้อยกว่าความสูงเต็มจะให้ปริมาตรของกรวยตัดส่วนที่อยู่ใต้จุดตัด แผนภาพใต้ช่องป้อนค่าจะแสดงการวัดทั้งสามค่านี้บนรูปทรงเดียวกัน

เครื่องคำนวณจะปฏิเสธค่ารัศมีหรือความสูงที่เป็นศูนย์ ค่าติดลบ ค่าว่าง หรือค่าที่มากเกินกว่าจะจัดการเป็นตัวเลขทั่วไปได้ ในกรณีดังกล่าวจะแสดงข้อความแจ้งเตือนแทนปริมาตร จึงไม่แสดงค่าที่สร้างขึ้นเอง

สูตรหาปริมาตรกรวยตัด (frustum)

ปริมาตรของกรวยตัดขึ้นอยู่กับรัศมีของหน้ากลมทั้งสองและความสูงของกรวยตัดเอง

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R คือรัศมีของหน้าล่างที่มีขนาดใหญ่กว่า
• r คือรัศมีของหน้าบนที่มีขนาดเล็กกว่า
• h คือความสูงของกรวยตัด ซึ่งวัดระหว่างหน้าทั้งสอง

เครื่องคำนวณไม่ได้ขอรัศมีของหน้าบนโดยตรง แต่รับรัศมีฐาน ความสูงของกรวยหากยังไม่ได้ตัด และความสูงของจุดตัด จากนั้นจะคำนวณรัศมีของหน้าบนโดยใช้สามเหลี่ยมคล้าย:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

โดยที่ c คือความสูงของส่วนที่ตัดเหนือฐาน และ f คือความสูงเต็มของกรวยที่ยังไม่ได้ตัด

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

สมมติว่ารัศมีฐานเท่ากับ 3 หน่วย ความสูงเต็มของกรวยที่ยังไม่ได้ตัดเท่ากับ 12 หน่วย และความสูงของจุดตัดเท่ากับ 4 หน่วย

รัศมีหน้าบน = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 หน่วย

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79.59 ลูกบาศก์หน่วย

หากความสูงของจุดตัดเท่ากับหรือมากกว่าความสูงเต็ม จุดตัดจะอยู่ที่ยอดกรวยหรือเหนือยอดกรวย จึงไม่มีส่วนใดถูกตัดออก เครื่องคำนวณจะคืนค่าปริมาตรของกรวยเต็ม และแผนภาพจะแสดงกรวยเต็ม

ประวัติของสูตรหาปริมาตรกรวย

นักคณิตศาสตร์กรีกโบราณเป็นกลุ่มแรกที่เชื่อมโยงปริมาตรของกรวยกับปริมาตรของทรงกระบอก ดีโมคริตุสซึ่งมีผลงานในช่วงปลายศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสตกาล ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้เสนอว่าปริมาตรของกรวยเท่ากับหนึ่งในสามของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากัน เขาไม่ได้พิสูจน์ข้อความนี้ ยูดอกซัสแห่งคนีดัสซึ่งทำงานในศตวรรษถัดมา เป็นผู้ให้บทพิสูจน์อย่างเคร่งครัดเป็นคนแรก โดยใช้เทคนิคที่เรียกว่าวิธีการลดทอนจนหมด ซึ่งเป็นแนวคิดตั้งต้นของแคลคูลัสปริพันธ์ สูตร V = (1/3)πr²h ยังคงเหมือนเดิมนับแต่นั้น

การใช้งานการคำนวณปริมาตรกรวย

ปริมาตรของกรวยและกรวยตัดมีความเกี่ยวข้องเมื่อใดก็ตามที่รูปทรงเรียวจากฐานกว้างไปสู่จุดหรือส่วนบนที่เล็กลง วิศวกรใช้สูตรเหล่านี้ในการกำหนดขนาดถังทรงกรวย ฮอปเปอร์ และกรวยเท สถาปนิกใช้สูตรเหล่านี้เพื่อประมาณวัสดุสำหรับหลังคาทรงกรวย นักธรณีวิทยาใช้เพื่อประมาณปริมาตรของกรวยภูเขาไฟและภูมิประเทศรูปทรงคล้ายกัน

คำถามที่พบบ่อย

คำนวณปริมาตรกรวยอย่างไร?

คูณ π ด้วยกำลังสองของรัศมี แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยความสูง จากนั้นหารด้วย 3: V = (1/3)πr²h กรวยที่มีรัศมี 5 ซม. และความสูง 10 ซม. มีปริมาตรประมาณ 261.80 ลูกบาศก์เซนติเมตร

สูตรของกรวยตัด (frustum) คืออะไร?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr) โดย R และ r คือรัศมีของหน้ากลมทั้งสอง และ h คือความสูงของกรวยตัดเอง ซึ่งวัดระหว่างหน้าทั้งสอง

เครื่องคำนวณหารัศมีหน้าบนของกรวยตัดได้อย่างไร?

เครื่องคำนวณใช้สามเหลี่ยมคล้าย รัศมีหน้าบนเท่ากับรัศมีฐานคูณด้วย (1 − ความสูงของจุดตัด ÷ ความสูงเต็มของกรวย) วิธีนี้ถือว่ากรวยตัดมาจากกรวยที่มีด้านเป็นเส้นตรง

จะเกิดอะไรขึ้นหากความสูงของจุดตัดมากกว่าหรือเท่ากับความสูง?

เครื่องคำนวณจะถือว่ารูปทรงนั้นเป็นกรวยเต็มที่ยังไม่ได้ตัด และคืนค่า V = (1/3)πr²h โดยใช้รัศมีและความสูงที่ป้อน

จะเกิดอะไรขึ้นหากรัศมีหรือความสูงเป็นศูนย์หรือติดลบ?

เครื่องคำนวณกำหนดให้ทั้งรัศมีและความสูงต้องมากกว่าศูนย์ หากค่าใดค่าหนึ่งเป็นศูนย์ ติดลบ เป็นค่าว่าง หรือมากเกินกว่าจะจัดการเป็นตัวเลขทั่วไปได้ เครื่องคำนวณจะแสดงข้อความแจ้งเตือนแทนปริมาตร

หาปริมาตรกรวยจากเส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมีได้อย่างไร?

หารเส้นผ่านศูนย์กลางด้วย 2 เพื่อหารัศมี แล้วใช้สูตร V = (1/3)πr²h ตามปกติ

เอกสารอ้างอิง

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—แหล่งข้อมูลเว็บของ Wolfram https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—แหล่งข้อมูลเว็บของ Wolfram https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html