เครื่องคำนวณอัตราการแพร่ | เครื่องมือกฎของเกรแฮม

เครื่องคำนวณอัตราการแพร่ออกคืออะไร?

เครื่องคำนวณอัตราการแพร่ออกจะหาว่าแก๊สชนิดหนึ่งรั่วออกผ่านรูขนาดเล็กมากได้เร็วเพียงใดเมื่อเทียบกับแก๊สอีกชนิดหนึ่ง โดยใช้กฎการแพร่ออกของเกรแฮม ซึ่งเชื่อมโยงความเร็วในการหลุดออกของแก๊สกับมวลโมลาร์และอุณหภูมิ การแพร่ออกเกิดขึ้นเมื่อโมเลกุลแก๊สผ่านช่องเปิดทีละโมเลกุล โดยช่องเปิดมีขนาดเล็กมากจนโมเลกุลไม่ชนกันขณะผ่านออกไป

สูตรกฎการแพร่ออกของเกรแฮม

กฎของเกรแฮมเปรียบเทียบอัตราการแพร่ออกของแก๊สสองชนิด ได้แก่ แก๊ส 1 และแก๊ส 2:

$\frac{\text{อัตรา}_1}{\text{อัตรา}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ และ Rate₂ คืออัตราการแพร่ออกของแก๊ส 1 และแก๊ส 2
• M₁ และ M₂ คือมวลโมลาร์ของแก๊ส 1 และแก๊ส 2 มีหน่วยเป็นกรัมต่อโมล (g/mol)
• T₁ และ T₂ คืออุณหภูมิสัมบูรณ์ของแก๊ส 1 และแก๊ส 2 มีหน่วยเป็นเคลวิน (K)

ผลลัพธ์ที่มากกว่า 1 หมายความว่าแก๊ส 1 แพร่ออกเร็วกว่าแก๊ส 2 ผลลัพธ์ที่น้อยกว่า 1 หมายความว่าแก๊ส 2 แพร่ออกเร็วกว่า ผลลัพธ์ที่เท่ากับ 1 พอดีหมายความว่าแก๊สทั้งสองชนิดแพร่ออกด้วยอัตราเท่ากัน

เหตุผลที่สูตรนี้ใช้ได้

สูตรนี้มาจากทฤษฎีจลน์ของแก๊ส แก๊สทุกชนิดที่มีอุณหภูมิเท่ากันจะมีพลังงานจลน์เฉลี่ยเท่ากัน คือ ½mv² = (3/2)kT โดย m คือมวลของหนึ่งโมเลกุล v คือความเร็วของโมเลกุล k คือค่าคงที่โบลซ์มันน์ และ T คืออุณหภูมิสัมบูรณ์ เมื่อแก้สมการหาความเร็วจะได้ v = √(3kT/m) โมเลกุลที่เบากว่าจะต้องเคลื่อนที่เร็วกว่าโมเลกุลที่หนักกว่าเพื่อให้มีพลังงานจลน์เท่ากัน จำนวนโมเลกุลที่ออกจากรูในแต่ละวินาทีแปรผันตามความเร็วนั้นและจำนวนโมเลกุลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร เครื่องคำนวณนี้เปรียบเทียบแก๊สสองชนิดที่มีจำนวนโมเลกุลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรเท่ากัน ดังนั้นพจน์ความหนาแน่นจึงตัดกัน เหลือเพียง √(T/M) การนำค่าสำหรับแก๊ส 1 หารด้วยค่าสำหรับแก๊ส 2 จะได้สูตรข้างต้น

สองกรณีที่ง่ายกว่า

• อุณหภูมิเท่ากัน หาก T₁ เท่ากับ T₂ พจน์อุณหภูมิจะตัดกัน และสูตรจะกลายเป็น Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁) เหลือเพียงมวลโมลาร์ที่มีผล
• มวลโมลาร์เท่ากัน หาก M₁ เท่ากับ M₂ สูตรจะกลายเป็น Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂) เหลือเพียงอุณหภูมิที่มีผล

วิธีใช้เครื่องคำนวณอัตราการแพร่ออก

1. ป้อนมวลโมลาร์และอุณหภูมิของแก๊ส 1
2. ป้อนมวลโมลาร์และอุณหภูมิของแก๊ส 2
3. อ่านอัตราการแพร่ออกสัมพัทธ์ ค่านี้แสดงว่าแก๊ส 1 แพร่ออกเร็วเป็นกี่เท่าของแก๊ส 2 เครื่องคำนวณจะแสดงคำตอบเป็นทศนิยมสี่ตำแหน่ง

ทั้งมวลโมลาร์และอุณหภูมิต้องเป็นจำนวนบวก ต้องป้อนอุณหภูมิเป็นเคลวิน ไม่ใช่เซลเซียสหรือฟาเรนไฮต์ เพราะสูตรนี้ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิสัมบูรณ์

มวลโมลาร์ของแก๊สที่พบบ่อย

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

ตัวอย่าง 1: ฮีเลียมเทียบกับมีเทนที่อุณหภูมิเท่ากัน

ฮีเลียม (He) มีมวลโมลาร์ 4.00 ก./mol มีเทน (CH₄) มีมวลโมลาร์ 16.04 ก./mol ทั้งสองชนิดมีอุณหภูมิ 298 K

$\frac{\text{อัตรา}_{He}}{\text{อัตรา}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

ฮีเลียมแพร่ออกเร็วกว่ามีเทนประมาณ 2.00 เท่า

เครื่องคำนวณเริ่มต้นด้วยค่า 4.00 และ 16.00 ก./mol ที่อุณหภูมิ 298 K โดยปัดค่าของมีเทนเป็นจำนวนเต็ม ค่าดังกล่าวให้ผลเป็น √4 = 2.0000 พอดี จึงตรวจสอบอัตราส่วนด้วยมือได้ง่าย

ตัวอย่าง 2: ไฮโดรเจนเทียบกับออกซิเจนที่อุณหภูมิต่างกัน

ไฮโดรเจน (H₂) มีมวลโมลาร์ 2.02 ก./mol และมีอุณหภูมิ 400 K ออกซิเจน (O₂) มีมวลโมลาร์ 32.00 ก./mol และมีอุณหภูมิ 300 K

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{อัตรา}_{H_2}}{\text{อัตรา}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

ไฮโดรเจนที่ 400 K แพร่ออกเร็วกว่าออกซิเจนที่ 300 K ประมาณ 4.60 เท่า การปัดค่ารากที่สองแต่ละค่าเป็นทศนิยมสองตำแหน่งก่อนคูณตามที่ตัวอย่างการคำนวณบางแห่งในอินเทอร์เน็ตทำ จะได้ 3.98 × 1.15 = 4.58 ซึ่งคลาดเคลื่อนเล็กน้อย การเก็บค่าทศนิยมไว้มากขึ้นจนถึงขั้นตอนสุดท้ายจะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดนี้ได้

การประยุกต์ใช้กฎของเกรแฮม

• การแยกไอโซโทป โครงการแมนฮัตตันใช้การแพร่แบบแก๊สเพื่อแยกยูเรเนียม-235 ออกจากยูเรเนียม-238 ไอโซโทปทั้งสองก่อรูปเป็นแก๊สยูเรเนียมเฮกซะฟลูออไรด์ที่มีมวลโมลาร์แตกต่างกันเล็กน้อย จึงแพร่ออกด้วยอัตราที่แตกต่างกันเล็กน้อย
• การตรวจหารอยรั่ว ฮีเลียมเป็นแก๊สติดตามที่ใช้กันทั่วไปในการค้นหารอยรั่วในระบบสุญญากาศและภาชนะรับความดัน เนื่องจากมวลโมลาร์ต่ำทำให้แพร่ออกผ่านรอยรั่วขนาดเล็กได้อย่างรวดเร็ว
• โครมาโทกราฟีแก๊ส โมเลกุลที่มีมวลต่างกันจะเคลื่อนที่ผ่านคอลัมน์โครมาโทกราฟีด้วยอัตราต่างกัน ซึ่งช่วยแยกและระบุสารประกอบในส่วนผสมแก๊ส
• การแยกแก๊สด้วยเมมเบรน เมมเบรนอุตสาหกรรมที่ใช้ทำให้ส่วนผสมแก๊สบริสุทธิ์หรือแยกส่วนประกอบ อาศัยความแตกต่างของอัตราการแพร่ออกของแก๊สแต่ละชนิดเป็นส่วนหนึ่ง

ประวัติ

นักเคมีชาวสกอตแลนด์ โทมัส เกรแฮม อธิบายความสัมพันธ์นี้เป็นครั้งแรกใน 1846 เขาวัดความเร็วที่แก๊สชนิดต่าง ๆ หลุดออกผ่านช่องเปิดขนาดเล็ก และพบว่าอัตราดังกล่าวแปรผกผันกับรากที่สองของความหนาแน่นแก๊ส ผลงานของเขาต่อมาช่วยสนับสนุนทฤษฎีจลน์ของแก๊ส ซึ่งเจมส์ คลาร์ก แมกซ์เวลล์และลุดวิก โบลซ์มันน์พัฒนาต่อในช่วงทศวรรษ 1860 และ 1870

คำถามที่พบบ่อย

ความแตกต่างระหว่างการแพร่ออกกับการแพร่คืออะไร การแพร่ออกคือการที่โมเลกุลแก๊สหลุดผ่านรูขนาดเล็กเข้าสู่สุญญากาศหรือบริเวณที่มีความดันต่ำกว่า โดยรูนั้นมีขนาดเล็กกว่าระยะทางเฉลี่ยที่โมเลกุลเคลื่อนที่ระหว่างการชน การแพร่คือการกระจายตัวของโมเลกุลแก๊สผ่านแก๊สหรือสื่ออื่น ซึ่งขับเคลื่อนโดยความแตกต่างของความเข้มข้น และเกี่ยวข้องกับการชนกันของโมเลกุล

เหตุใดอุณหภูมิต้องเป็นเคลวิน พลังงานจลน์ของโมเลกุลแก๊สแปรผันตามอุณหภูมิสัมบูรณ์ มาตราส่วนเซลเซียสและฟาเรนไฮต์ไม่ได้เริ่มต้นที่ศูนย์สัมบูรณ์ ดังนั้นการใช้มาตราส่วนเหล่านี้จะให้ค่าอัตราส่วนที่ผิด

เครื่องคำนวณตั้งสมมติฐานอย่างไรเกี่ยวกับแก๊สทั้งสองชนิด เครื่องคำนวณสมมติว่าแก๊สทั้งสองชนิดมีจำนวนโมเลกุลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรเท่ากัน ภายใต้สมมติฐานนี้ อัตราส่วนจะขึ้นอยู่กับมวลโมลาร์และอุณหภูมิสัมบูรณ์เท่านั้น เมื่ออุณหภูมิทั้งสองเท่ากัน พจน์อุณหภูมิจะมีค่าเป็น 1 และคำตอบคืออัตราส่วนตามกฎของเกรแฮมโดยตรง √(M₂/M₁) ไม่ว่าความดันจะเป็นเท่าใด เมื่ออุณหภูมิต่างกัน สมมติฐานนี้มีความสำคัญ: แก๊สสองชนิดที่คงไว้ที่ความดันเท่ากันแทนที่จะมีความเข้มข้นเท่ากัน จะเป็นไปตาม Rate₁/Rate₂ = √(M₂T₂ / M₁T₁) เพราะแก๊สที่ร้อนกว่าภายใต้ความดันคงที่จะมีจำนวนโมเลกุลในแต่ละลิตรน้อยกว่า

กฎของเกรแฮมใช้หามวลโมลาร์ของแก๊สที่ไม่ทราบชนิดได้หรือไม่ ได้ หากวัดอัตราการแพร่ออกของแก๊สที่ไม่ทราบชนิดโดยเทียบกับแก๊สที่ทราบมวลโมลาร์ สูตรสามารถจัดรูปใหม่ได้ดังนี้:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{อัตรา}_{known}}{\text{อัตรา}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

กฎของเกรแฮมใช้กับของเหลวหรือไม่ ไม่ได้ กฎนี้ใช้ได้เฉพาะกับแก๊สเท่านั้น โมเลกุลของของเหลวอยู่ชิดกันมากกว่าและมีอันตรกิริยาต่อกันรุนแรงกว่ามาก ดังนั้นสูตรเดียวกันจึงไม่สามารถใช้อธิบายการเคลื่อนที่ของของเหลวผ่านช่องเปิดขนาดเล็กได้

แก๊สจะแพร่ออกเร็วขึ้นเท่าใดหากอุณหภูมิเพิ่มเป็นสองเท่า อัตราการแพร่ออกแปรผันตามรากที่สองของอุณหภูมิสัมบูรณ์ การเพิ่มอุณหภูมิเป็นสองเท่าจะคูณอัตราด้วย √2 หรือประมาณ 1.41 หากมวลโมลาร์คงเดิม