Aralarında Asal Sayılar Hesaplayıcısı

Aralarında asal sayılar, tek ortak pozitif böleni 1 olan iki veya daha fazla tam sayıdır. Bu hesaplayıcı, girdiğiniz sayıların en büyük ortak bölenini (EBOB) bularak aralarında asal olup olmadıklarını kontrol eder. EBOB 1 ise sayılar aralarında asaldır.

Aralarında asal sayılara göreceli asal veya karşılıklı asal sayılar da denir.

Aralarında asal ne demektir?

İki tam sayı, 1'den büyük hiçbir tam sayı her ikisini de bölmediğinde aralarında asaldır. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. Örneğin, 8 ve 15 aralarında asaldır: 8'in çarpanları 1, 2, 4 ve 8'dir, 15'in çarpanları ise 1, 3, 5 ve 15'tir. Paylaştıkları tek çarpan 1'dir, bu yüzden aralarında asaldırlar.

Buna karşılık, 12 ve 18 aralarında asal değildir. İkisi de 2, 3 ve 6 ile bölünebilir, bu yüzden en büyük ortak bölenleri 6'dır.

Sayıların aralarında asal olup olmadığı nasıl kontrol edilir

1. Tüm sayıların en büyük ortak bölenini (EBOB) bulun. EBOB, her sayıyı kalansız bölen en büyük tam sayıdır.
2. EBOB'u 1 ile karşılaştırın. EBOB 1'e eşitse sayılar aralarında asaldır. EBOB 1'den büyükse aralarında asal değildirler.

Bir sayı grubunun EBOB'u, Öklid algoritmasının sırayla ikişer sayıya uygulanmasıyla bulunur: a, b ve c sayılarının EBOB'u EBOB(EBOB(a, b), c)'dir.

Aralarında asal formülü

a₁, a₂, …, aₙ sayıları şu durumda aralarında asaldır:

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Örnek

6, 10 ve 15 sayılarının aralarında asal olup olmadığını kontrol edin.

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

Üç sayının tamamının en büyük ortak böleni 1'dir, bu yüzden 6, 10 ve 15 bir küme olarak aralarında asaldır.

Bu üç sayının ikili olarak aralarında asal olmadığına dikkat edin. 6 ve 10, 2 çarpanını paylaşır; 6 ve 15, 3 çarpanını paylaşır; 10 ve 15 ise 5 çarpanını paylaşır. Küme olarak aralarında asallık (tüm sayıların birlikte EBOB'unun 1 olması), ikili aralarında asallıktan (her çiftin EBOB'unun 1 olması) daha zayıf bir koşuldur. Bu hesaplayıcı her ikisini de bildirir.

İkili aralarında asallık ve küme olarak aralarında asallık

Bir sayı grubu, tüm grubun EBOB'u 1 olduğunda küme olarak aralarında asaldır. Grup içindeki her olası çiftin EBOB'u 1 olduğunda ise ikili olarak aralarında asaldır. İkili aralarında asal sayılar her zaman küme olarak da aralarında asaldır, ancak yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi tersi her zaman doğru değildir.

Sıkça sorulan sorular

1 herhangi bir sayıyla aralarında asal mıdır?

Evet. 1 sayısı, hiçbir tam sayıyla 1'den büyük bir çarpan paylaşmaz, bu yüzden 1, kendisi dahil her tam sayıyla aralarında asaldır.

Aralarında asal sayıların asal olması gerekir mi?

Hayır. Aralarında asal sayılar bileşik olabilir. 8 ve 15'in ikisi de bileşiktir, ancak 1'den başka ortak bir çarpanları olmadığı için aralarında asaldırlar.

İki farklı asal sayı her zaman aralarında asal mıdır?

Evet. İki farklı asal sayının 1'den başka ortak çarpanı yoktur, bu yüzden herhangi iki farklı asal sayı aralarında asaldır.

Negatif sayılar aralarında asal olabilir mi?

Aralarında asallık genellikle pozitif tam sayılar için tanımlanır. Bu hesaplayıcı yalnızca 1 veya daha büyük pozitif tam sayıları kabul eder.

EBOB ile aralarında asal olmak arasındaki fark nedir?

EBOB, tüm girdileri bölen en büyük sayıdır. "Aralarında asal", bu EBOB'un tam olarak 1'e eşit olduğu özel durumdur.