Miller İndisleri Hesaplayıcı - Kristal Düzlem Kesişimlerini (hkl)'ye Dönüştürme

Miller indisleri nedir?

Miller indisleri, bir kristal örgüsündeki bir düzlemi tanımlayan ve (h,k,l) biçiminde yazılan üç tam sayıdan oluşur. Kristal örgüsü, katı bir malzemede bulunan atomların tekrarlanan ve düzenli dizilimidir. Miller indisleri, bir düzlemin bu örgüde tam olarak hangi kesiti temsil ettiğini, geometrisini sözcüklerle açıklamaya gerek kalmadan gösterir. Bu gösterim İngiliz mineralog William Hallowes Miller tarafından 1839 yılında ortaya konmuş ve günümüzde kristalografide standart gösterim olarak kullanılmaya devam etmektedir.

Bu hesaplayıcı, bir düzlemin x, y ve z kristalografik eksenlerindeki kesmelerini Miller indislerine (h,k,l) dönüştürür.

Miller indisleri formülü

Miller indisleri, bir düzlemin eksen kesenlerinin terslerinden elde edilir. Bir düzlem x, y ve z eksenlerini başlangıç noktasından a, b ve c uzaklıklarında kesiyorsa indisler şu koşulu sağlar:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kesmelerden Miller indisleri nasıl hesaplanır?

1. Düzlemin her ekseni kestiği noktayı, birim hücre kenarının uzunluğu cinsinden ölçerek bulun. Bu kesmelere a, b ve c adlarını verin.
2. Her eksen keseninin tersini alın: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Her üç ters değeri de birer tam sayı olacak şekilde aynı sayıyla çarpın.
4. Daha fazla sadeleştirilememeleri için üç tam sayıyı en büyük ortak bölenlerine bölün.

Elde edilen üç tam sayı h, k ve l'dir. Bir ekseni hiç kesmeyen düzlemin o ekseni sonsuzda kestiği kabul edilir ve 1 sonsuza bölündüğünde 0 olduğundan bu eksenin Miller indisi 0 olur.

Uygulamalı örnek

Bir düzlem x eksenini 2, y eksenini 3 ve z eksenini 6 noktasında kesmektedir.

1. Kesmeler: (2, 3, 6)
2. Ters değerler: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Paydaların en küçük ortak katı olan 6 ile çarpın: (3, 2, 1)
4. 3, 2 ve 1 sayılarının en büyük ortak böleni 1 olduğundan sayılar daha fazla sadeleştirilemez.

Miller indisleri (321) olur.

Diğer örnekler

• Eksenleri (1, ∞, 2) kesme noktalarından geçen, yani y eksenine paralel olan bir düzlemin ters değerleri (1, 0, 1/2) olur. 2 ile çarpıldığında (2, 0, 1) elde edilir. 0, düzlemin y eksenini hiç kesmediğini gösterir.
• Eksenleri (-1, 2, 3) kesme noktalarından geçen bir düzlemin ters değerleri (-1, 1/2, 1/3) olur. 6 ile çarpıldığında (-6, 3, 2) elde edilir; bu değer genellikle negatif indisin üzerine çizgi konularak (6̄32) biçiminde yazılır.
• Eksenleri (1, ∞, ∞) kesme noktalarından geçen bir düzlemin ters değerleri (1, 0, 0) olur ve (100) elde edilir. Bu, bir küpün altı yüzünden biridir.

Özel durumlar

Bir eksene paralel olan düzlem o ekseni hiç kesmez; bu nedenle söz konusu kesme noktası sonsuz kabul edilir ve Miller indisi 0 olur. Bir ekseni başlangıç noktasının negatif tarafında kesen düzlemin indisi negatiftir; bu indis biçimsel gösterimde sayının üzerine çizgi konularak, düz metinde ise eksi işaretiyle yazılır. Başlangıç noktasından geçen bir düzlemin tanımlı Miller indisi yoktur; çünkü bir örgüdeki her paralel düzlem ailesinin indislenebilmesi için başlangıç noktasından ötelenmiş olması gerekir. Böyle bir düzlemi tanımlamak için önce başlangıç noktası kaydırılır. Kesirli kesme noktaları da tam sayı olanlarla aynı şekilde işlenir: her birinin ters değeri alınır, ardından kesirler giderilir.

İndisler her zaman mümkün olan en küçük tam sayılara indirgenir. (622) ve (311) aynı paralel düzlem ailesini tanımlar, ancak kristalograflar her zaman (311) yazar.

Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?

Düzlemin x, y ve z eksenlerindeki kesmelerini girin.

• Başlangıç noktasının pozitif tarafındaki kesme için pozitif, negatif tarafındaki kesme için negatif sayı kullanın.
• Bir eksene paralel olan düzlem için "infinity", "inf" veya "∞" yazın.
• Sıfır kesmesi kabul edilmez; çünkü başlangıç noktasından geçen bir düzleme bu yöntemle Miller indisi atanamaz.

Hesaplayıcı indisleri anında hesaplar ve birim hücrenin içindeki düzlemin diyagramını gösterir.

Miller indislerinin kullanım alanları

X-ışını kırınımı. Bir X-ışını kırınım desenindeki her nokta veya pik, belirli bir (hkl) değerine sahip bir örgü düzlemleri ailesine karşılık gelir. Bragg yasası, bu düzlemler arasındaki uzaklığı kırınım açısıyla ilişkilendirir:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Burada d_hkl, (h,k,l) düzlemleri arasındaki uzaklık; λ, X-ışınının dalga boyu; θ ise kırınım açısıdır. Gözlenen pikleri (hkl) değerleriyle eşleştirme işlemi olan indisleme, bilinmeyen bir kristal yapının tanımlanmasında temel bir adımdır.

Malzeme bilimi. Farklı kristal düzlemleri farklı atom dizilimlerini açığa çıkarır; bu nedenle yüzey enerjileri, kimyasal tepkime hızları ve bir metalin deformasyonundaki rolleri farklıdır. Alüminyum gibi yüzey merkezli kübik metallerde atom düzlemleri birbirlerinin üzerinden en kolay {111} düzlemleri boyunca kayar. Bilgisayar çiplerinde kullanılan silisyum levhaları genellikle (100) veya (111) düzlemi boyunca kesilir; çünkü seçim, sonraki üretim adımlarının nasıl gerçekleşeceğini etkiler.

Mineraloji. Doğal bir kristalde görülen düz yüzler ve bir mineralin kolayca ayrıldığı yönler (dilinim) belirli düşük indisli düzlemlere karşılık gelir. Halit (sofra tuzu) {100} düzlemleri boyunca, florit ise {111} düzlemleri boyunca dilinir.

Hekzagonal kristaller için Miller-Bravais indisleri

Magnezyum, çinko ve titanyum gibi hekzagonal kristaller genellikle üç indisli sistem yerine dört indisli sistemle (hkil) tanımlanır. Ek indis i bağımsız değildir; her zaman i = -(h+k) olur. Bu gösterim, iki düzlemin aynı simetri-eşdeğer aileye ait olduğunu görmeyi kolaylaştırır; hekzagonal bir örgüde bu durum yalnızca üç indisli Miller gösteriminden her zaman açıkça anlaşılmaz.

Tarihçe

Miller indisleri William Hallowes Miller tarafından 1839 yılında yayımlanan A Treatise on Crystallography adlı kitabında ortaya konmuştur. Kristal yüzlerini etiketlemek için daha önceki sistemler de vardı; ancak Miller'in eksen kesenlerinin terslerini kullanma yöntemi, bir eksene paralel düzlemlerin ele alınmasını kolaylaştırdı; çünkü bunların eksen keseni sonsuzdur ve tersi basitçe 0 olur. Max von Laue'nin 1912 yılında kristallerde X-ışını kırınımını keşfetmesinin ardından William Henry Bragg ve William Lawrence Bragg, Miller indislerinin kırınım piklerinden sorumlu düzlemleri tam olarak tanımladığını gösterdi; bu çalışmaları nedeniyle 1915 Nobel Fizik Ödülü'nü birlikte aldılar.

Sık sorulan sorular

Miller indisleri ne için kullanılır? Kristal örgüsündeki belirli düzlemleri tanımlar. X-ışını ve elektron kırınımı piklerini indislemek, metallerde kayma düzlemlerini tanımlamak, yarı iletken levhaların yönelimini belirtmek ve minerallerin yüzlerini ve dilinimini etiketlemek için kullanılır.

Bir Miller indisindeki sıfır ne anlama gelir? Düzlemin o eksene paralel olduğu ve onu hiç kesmediği anlamına gelir. Örneğin (201) y eksenine paraleldir.

Negatif Miller indisleri ne anlama gelir? Düzlemin söz konusu ekseni başlangıç noktasının negatif tarafında kestiği anlamına gelir. Negatif indis, (2̄11) örneğinde olduğu gibi sayının üzerine çizgi konularak veya (-2,1,1) örneğinde olduğu gibi eksi işaretiyle yazılır.

Başlangıç noktasından geçen bir düzlemin neden Miller indisi olamaz? Miller indisleri bir eksen keseninin tersinden elde edilir. Başlangıç noktasından geçen bir düzlem her ekseni 0 noktasında keser ve 1/0 tanımsızdır; bu nedenle düzlem ötelenmedikçe yöntem indis atayamaz.

Miller indisleri ile Miller-Bravais indisleri arasındaki fark nedir? Miller indisleri (hkl) üç sayı kullanır ve her kristal sistemi için geçerlidir. Miller-Bravais indisleri (hkil) bağımlı bir dördüncü indis ekler ve esas olarak hekzagonal kristallerde kullanılır; bu kristallerde simetri bakımından eşdeğer düzlemlerin tanınmasını kolaylaştırır.

Düzlemler arası uzaklık Miller indisleriyle nasıl ilişkilidir? Kenar uzunluğu a olan kübik bir kristalde, komşu (hkl) düzlemleri arasındaki uzaklık d = a / √(h² + k² + l²) olur. İndisleri daha büyük olan düzlemler birbirine daha yakındır. Diğer kristal sistemlerinde, eşit olmayan eksen uzunluklarını ve dik olmayan 90° açıları hesaba katan benzer ancak daha karmaşık bir formül kullanılır.

Kaynaklar

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. baskı). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. baskı). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.