Конвертер систем числення: Двійкова, Шістнадцяткова, Десяткова та Вісімкова

Конвертер систем числення

Конвертер систем числення змінює спосіб запису числа — з однієї позиційної системи числення на іншу — не змінюючи його значення. Він може перетворити двійкове число на десяткове, десяткове на шістнадцяткове або виконати перетворення між будь-якими двома системами з основами від 2 до 36.

Що таке основа системи числення?

Основа системи числення, яку також називають базисом, — це кількість різних цифр, які використовує система, перш ніж почати повторювати їх на новій позиції. Десяткова система, яку використовують для повсякденного лічення, має основу 10. Вона використовує десять цифр — від 0 до 9. Двійкова система має основу 2 і використовує лише 0 та 1. Коли основа перевищує 10, відсутні цифри позначають літерами: A відповідає 10, B — 11 і так далі до Z, яка відповідає 35. Це дає змогу використовувати систему з основою 36 — найбільшою основою, яку підтримує більшість конвертерів, — лише з 26 літерами алфавіту та 10 цифрами.

Кожна цифра в числі має розрядне значення, що визначається степенями основи. У десятковій системі запис "205" означає 2 сотні, 0 десятків і 5 одиниць, оскільки 100 та 10 є степенями 10. Та сама ідея застосовується в будь-якій системі числення: крайню праву цифру множать на основу⁰, наступну — на основу¹, далі — на основу² і так далі.

Як перевести число в іншу систему числення

Переведення числа в десяткову систему

Щоб перевести число з будь-якої системи числення в десяткову, помножте кожну цифру на основу, піднесену до степеня її позиції, рахуючи від 0 праворуч, а потім додайте отримані результати.

Формула: значення = dₙ × основаⁿ + ... + d₁ × основа¹ + d₀ × основа⁰

Приклад: переведіть число 101 з основою 5 у десяткову систему.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Отже, 101 у системі з основою 5 дорівнює 26 у десятковій системі.

Переведення десяткового числа в іншу систему

Щоб перевести десяткове число в іншу систему, кілька разів діліть його на цільову основу й записуйте кожну остачу. Зупиніться, коли число стане 0, а потім прочитайте остачі від останньої отриманої до першої.

Приклад: переведіть десяткове число 26 у систему з основою 5.

• 26 ÷ 5 = 5, остача 1
• 5 ÷ 5 = 1, остача 0
• 1 ÷ 5 = 0, остача 1
• Читаємо остачі знизу вгору: 101

Це підтверджує попередній приклад: 26 у десятковій системі — це 101 у системі з основою 5.

Приклад обчислення

З двійкової в десяткову: двійкове число 1101 переводиться в десяткове так: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

З десяткової в шістнадцяткову: десяткове число 202 переводиться в шістнадцяткове так: 202 ÷ 16 = 12, остача 10, потім 12 ÷ 16 = 0, остача 12. У шістнадцятковій системі 10 записують як A, а 12 — як C. Якщо прочитати остачі знизу вгору, отримаємо CA. Отже, 202 у десятковій системі — це CA у шістнадцятковій.

З вісімкової в двійкову: спочатку вісімкове число 17 переводять у десяткове: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Потім десяткове 15 переводять у двійкове як 1111. Отже, 17 у вісімковій системі дорівнює 1111 у двійковій.

Поширені системи числення

Дуже великі числа

Деякі перетворення передбачають числа, надто великі для точного опрацювання стандартною математикою подвійної точності, наприклад 64-бітове шістнадцяткове значення FFFFFFFFFFFFFFFF. Цей конвертер працює з цілими числами будь-якого розміру, використовуючи цілочислову арифметику довільної точності, тому не округлює і не втрачає цифри в довгих значеннях.

Що приймає конвертер

Інструмент зчитує цілі невід’ємні числа, записані цифрами вихідної системи числення. Літери можна вводити в будь-якому регістрі, тому ff і FF означають 255 у системі з основою 16. Пробіли перед числом або після нього ігноруються. Будь-який інший символ, наприклад знак мінус або десяткова крапка, не приймається з повідомленням "Вхідні дані містять недопустимі символи для системи з основою 16", де вказано вибрану вихідну основу.

Поширені запитання

У чому різниця між двійковою та шістнадцятковою системами?

Двійкова система використовує лише дві цифри: 0 та 1. Шістнадцяткова використовує шістнадцять: від 0 до 9 та A–F. Оскільки 16 дорівнює 2⁴, кожна окрема шістнадцяткова цифра точно відповідає чотирьом двійковим цифрам, тому шістнадцяткову систему часто використовують як короткий спосіб запису двійкових значень.

Як перевести десяткове число в двійкове вручну?

Багаторазово діліть десяткове число на 2 і записуйте кожну остачу. Читайте остачі у зворотному порядку — від останнього ділення до першого. Наприклад, 13 ÷ 2 = 6, остача 1, 6 ÷ 2 = 3, остача 0, 3 ÷ 2 = 1, остача 1, 1 ÷ 2 = 0, остача 1. Читаючи знизу вгору, отримаємо 1101, що є числом 13 у двійковій системі.

Яку найбільшу основу підтримує цей інструмент?

Інструмент підтримує основи від 2 до 36. Основа 36 є найбільшою, яку можна отримати, використовуючи лише десять цифр 0–9 і двадцять шість літер A–Z, оскільки разом вони дають рівно 36 різних символів.

Чи може цей інструмент переводити від’ємні числа?

Ні. Він приймає лише нуль і додатні цілі числа. Щоб перевести від’ємне число, переведіть його абсолютне значення, а потім вручну додайте до результату знак мінус.

Навіщо потрібні шістнадцяткова та вісімкова системи, якщо комп’ютери внутрішньо використовують двійкову?

Довгі послідовності 1 і 0 важко читати й легко неправильно порахувати. Оскільки 16 і 8 є степенями 2, шістнадцяткові та вісімкові цифри однозначно відповідають фіксованим групам двійкових цифр: чотирьом бітам для шістнадцяткової системи і трьом бітам для вісімкової. Завдяки цьому довгі двійкові значення стають коротшими й їх легше перевіряти візуально.

Чи є обмеження на розмір числа, яке може перевести цей інструмент?

Практичного обмеження немає. Інструмент використовує арифметику довільної точності, а не стандартні числа з плаваючою комою, тому переводить дуже довгі значення, зокрема більші за ті, які типовий калькулятор може точно подати, без похибок округлення.