Генератор і калькулятор арифметичної послідовності - Безкоштовний інструмент
Миттєво генеруйте арифметичні послідовності. Введіть перший член, спільну різницю та кількість членів для створення числових послідовностей для математики, фінансів та програмування.
Генератор арифметичної послідовності
Документація
Що таке арифметична прогресія?
Арифметична прогресія — це список чисел, у якому кожен член отримують додаванням сталої величини до попереднього члена. Цю сталу величину називають різницею арифметичної прогресії. У прогресії 2, 5, 8, 11, 14 кожен член на 3 більший за попередній, тому різниця прогресії дорівнює 3. Арифметичну прогресію також називають арифметичною послідовністю.
Генератор арифметичної прогресії створює такий список із трьох значень:
- Перший член (a₁): початкове число.
- Різниця арифметичної прогресії (d): стала величина, яку додають до кожного члена, щоб отримати наступний. Додатне значення робить прогресію зростаючою. Від’ємне значення робить її спадною.
- Кількість членів (n): скільки чисел містить прогресія.
У розгорнутому вигляді арифметична прогресія має такий вигляд: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d і так далі, до a₁ + (n − 1)d.
Формула арифметичної прогресії
Формула n-го члена арифметичної прогресії має вигляд:
aₙ = a₁ + (n − 1) × d
- aₙ — значення члена на позиції n.
- a₁ — перший член.
- n — позиція члена, починаючи з 1.
- d — різниця прогресії.
Вираз (n − 1) з’являється тому, що до першого члена різницю прогресії ще не додавали. До другого члена її додали один раз, до третього — двічі і так далі. До n-го члена різницю прогресії додали (n − 1) разів.
Формула суми арифметичної прогресії
Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює:
Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)
Sₙ — сума перших n членів, а aₙ — останній член, включений до цієї суми. Формула працює тому, що сума першого й останнього членів, другого й передостаннього та так далі завжди однакова. Якщо помножити цю суму пари на половину кількості членів, отримаємо загальну суму.
Еквівалентна форма, для якої не потрібно заздалегідь знати останній член:
Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)
Цю формулу пов’язують із математиком Карлом Фрідріхом Гаусом, який, за переказами, ще в дитинстві використав метод попарного групування, щоб за кілька секунд додати числа від 1 до 100: 50 пар, сума кожної з яких дорівнювала 101, що разом давало 5 050.
Приклад обчислення
Візьмімо перший член 5, різницю прогресії 3 і 6 членів.
| Позиція (n) | Обчислення | Член |
|---|---|---|
| 1 | 5 + (1 − 1) × 3 | 5 |
| 2 | 5 + (2 − 1) × 3 | 8 |
| 3 | 5 + (3 − 1) × 3 | 11 |
| 4 | 5 + (4 − 1) × 3 | 14 |
| 5 | 5 + (5 − 1) × 3 | 17 |
| 6 | 5 + (6 − 1) × 3 | 20 |
Прогресія має вигляд 5, 8, 11, 14, 17, 20. Її сума дорівнює (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.
Як користуватися калькулятором арифметичної прогресії
- Введіть перший член (a₁). Він може бути додатним, від’ємним або нульовим, а також може містити десяткові дроби.
- Введіть різницю прогресії (d). Вона також може бути додатною, від’ємною, нульовою або десятковим дробом.
- Введіть кількість членів (n). Це має бути ціле число від 1 до 10 000. Десяткове число округлюється до найближчого цілого.
- Прогресія, кількість її членів і сума з’являються одразу після заповнення всіх трьох полів. Окремої кнопки для натискання немає.
- Виберіть Копіювати прогресію, щоб скопіювати повний список членів.
- Виберіть Очистити, щоб очистити всі три поля й почати спочатку.
Правила введення
Перший член і різниця прогресії можуть бути будь-якими дійсними числами, зокрема десятковими та від’ємними. Кількість членів рахується цілими елементами, тому прогресія не може містити половину члена. Поле округлює десяткове введене значення до найближчого цілого: введення 10,5 дає 11 членів. Після цього кількість має бути в межах від 1 до 10 000. Нуль, від’ємна кількість або кількість, що перевищує 10 000, викликає повідомлення про помилку замість прогресії. Обмеження 10 000 існує тому, що створення й відображення довшого списку може сповільнити роботу веббраузера.
Застосування арифметичних прогресій
Арифметичні прогресії описують усе, що змінюється на сталу величину через рівні проміжки. План заощаджень, який починається зі 100 USD і щомісяця поповнюється на 25 USD, утворює арифметичну прогресію: 100, 125, 150, 175 і так далі. Таймер зворотного відліку, набір зустрічей із рівними проміжками часу, а також індекси рядків і стовпців у комп’ютерних програмах працюють за таким самим принципом. Учні часто використовують арифметичні прогресії для вивчення закономірностей на початковому етапі алгебри, оскільки стала різниця дає змогу легко побачити й перевірити правило побудови списку.
Спорідненою є геометрична прогресія, у якій кожен член отримують множенням на сталий коефіцієнт, а не додаванням сталої величини, наприклад 2, 6, 18, 54. Геометричні прогресії моделюють зростання, яке з часом прискорюється, наприклад нарахування відсотків на відсотки, на відміну від рівномірної, лінійної зміни в арифметичній прогресії.
Історія
Арифметичні прогресії належать до найдавніших закономірностей, які вивчали в математиці. Єгипетський математичний папірус Рінда, документ приблизно з 1650 року до н. е., містить задачі, у яких арифметичні прогресії використовують для розподілу товарів. Давньовавилонські тексти свідчать про подібні закономірності ще раніше. Давньогрецькі математики, зокрема Евклід приблизно 300 року до н. е., згодом сформулювали формальні доведення щодо цих прогресій, які викладають і сьогодні.
Поширені запитання
Що таке арифметична прогресія простими словами?
Це список чисел, у якому для отримання наступного числа щоразу додають ту саму величину. У 2, 5, 8, 11 цією величиною є 3.
Як знайти n-й член, не записуючи всі попередні члени?
Формула aₙ = a₁ + (n − 1) × d безпосередньо дає будь-який член. Для прогресії, що починається з 3 і має різницю прогресії 7, член під номером 50 дорівнює 3 + (49 × 7) = 346.
Яка різниця між арифметичною та геометричною прогресіями?
В арифметичній прогресії кожен наступний член отримують додаванням того самого числа, наприклад 2, 5, 8, 11. У геометричній прогресії щоразу множать на те саме значення, наприклад 2, 6, 18, 54.
Чи може арифметична прогресія містити від’ємні числа?
Так. Перший член, різниця прогресії або обидва можуть бути від’ємними. Прогресія -10, -6, -2, 2, 6 має різницю прогресії 4. Зворотний відлік, наприклад 100, 90, 80, 70, має різницю прогресії -10.
Як знайти різницю прогресії за списком чисел?
Відніміть будь-який член від наступного за ним: d = a₂ − a₁. У 7, 12, 17, 22 це 12 − 7 = 5, а 17 − 12 також дорівнює 5, що підтверджує: це арифметична прогресія.
Яку максимальну кількість членів може згенерувати цей калькулятор?
До 10 000 членів. Обмеження існує тому, що відображення значно довшого списку може сповільнити роботу веббраузера.