Калькулятор швидкості ефузії | Безкоштовний інструмент закону Грема

Що таке калькулятор швидкості ефузії?

Калькулятор швидкості ефузії визначає, наскільки швидко один газ виходить крізь крихітний отвір порівняно з іншим газом. Він використовує закон ефузії Грема, який пов’язує швидкість виходу газу з його молярною масою та температурою. Ефузія відбувається, коли молекули газу проходять через отвір по одній, причому отвір настільки малий, що молекули не стикаються між собою під час проходження.

Формула закону ефузії Грема

Закон Грема порівнює швидкості ефузії двох газів: газу 1 і газу 2:

$\frac{\text{Швидкість}_1}{\text{Швидкість}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ і Rate₂ — це швидкості ефузії газу 1 і газу 2.
• M₁ і M₂ — молярні маси газу 1 і газу 2, виражені в грамах на моль (г/моль).
• T₁ і T₂ — абсолютні температури газу 1 і газу 2, виражені в кельвінах (К).

Результат, більший за 1, означає, що газ 1 витікає швидше, ніж газ 2. Результат, менший за 1, означає, що швидше витікає газ 2. Результат, що дорівнює 1, означає, що обидва гази витікають з однаковою швидкістю.

Чому формула працює

Формула випливає з молекулярно-кінетичної теорії газів. Усі гази за однакової температури мають однакову середню кінетичну енергію: ½mv² = (3/2)kT, де m — маса однієї молекули, v — її швидкість, k — стала Больцмана, а T — абсолютна температура. Розв’язання щодо швидкості дає v = √(3kT/m). Легша молекула має рухатися швидше за важчу, щоб зберігати таку саму кінетичну енергію. Кількість молекул, що виходять крізь отвір за секунду, пропорційна цій швидкості та кількості молекул в одиниці об’єму. Калькулятор порівнює два гази, які мають однакову кількість молекул в одиниці об’єму, тому складова густини скорочується, і залишається лише √(T/M). Ділення значення для газу 1 на значення для газу 2 дає наведену вище формулу.

Два простіші випадки

• Однакова температура. Якщо T₁ дорівнює T₂, складові температури скорочуються, і формула набуває вигляду Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁). Важливими є лише молярні маси.
• Однакова молярна маса. Якщо M₁ дорівнює M₂, формула набуває вигляду Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂). Важливими є лише температури.

Як користуватися калькулятором швидкості ефузії

1. Введіть молярну масу й температуру газу 1.
2. Введіть молярну масу й температуру газу 2.
3. Перегляньте відносну швидкість ефузії. Вона показує, у скільки разів швидше газ 1 витікає, ніж газ 2. Калькулятор показує відповідь до чотирьох знаків після коми.

Молярна маса й температура мають бути додатними числами. Температуру потрібно вводити в кельвінах, а не за шкалою Цельсія чи Фаренгейта, оскільки формула залежить від абсолютної температури.

Поширені молярні маси газів

Приклад обчислення

Приклад 1: гелій і метан за однакової температури

Гелій (He) має молярну масу 4,00 г/моль. Метан (CH₄) має молярну масу 16,04 г/моль. Обидва гази мають температуру 298 К.

$\frac{\text{Швидкість}_{He}}{\text{Швидкість}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

Гелій витікає приблизно в 2,00 раза швидше за метан.

Калькулятор відкривається зі значеннями 4,00 і 16,00 г/моль за температури 298 К, де молярну масу метану округлено до цілого числа. Ці значення дають точно √4 = 2,0000, тому співвідношення легко перевірити вручну.

Приклад 2: водень і кисень за різних температур

Водень (H₂) має молярну масу 2,02 г/моль і температуру 400 К. Кисень (O₂) має молярну масу 32,00 г/моль і температуру 300 К.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{Швидкість}_{H_2}}{\text{Швидкість}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

Водень за температури 400 К витікає приблизно в 4,60 раза швидше за кисень за температури 300 К. Якщо перед множенням округлити кожен квадратний корінь до двох знаків після коми, як це роблять у деяких розв’язаних прикладах в інтернеті, отримаємо 3,98 × 1,15 = 4,58, що трохи неточно. Збереження більшої кількості знаків після коми до останнього кроку дає змогу уникнути цієї похибки.

Застосування закону Грема

• Розділення ізотопів. Манхеттенський проєкт використовував газову дифузію для розділення урану-235 та урану-238. Ці два ізотопи утворюють газ гексафториду урану з дещо різними молярними масами, тому вони витікають із дещо різними швидкостями.
• Виявлення витоків. Гелій є поширеним газом-трасером для пошуку витоків у вакуумних системах і посудинах під тиском, оскільки його мала молярна маса дає йому змогу швидко проходити крізь невеликі витоки.
• Газова хроматографія. Молекули різної маси рухаються крізь хроматографічну колонку з різними швидкостями, що допомагає розділяти й ідентифікувати сполуки в газовій суміші.
• Мембранне розділення газів. Промислові мембрани, що очищують або розділяють газові суміші, частково використовують різні швидкості ефузії компонентів газу.

Історія

Шотландський хімік Томас Грем уперше описав цей взаємозв’язок у 1846 році. Він вимірював, наскільки швидко різні гази виходять крізь невеликі отвори, і встановив, що швидкість обернено пропорційна квадратному кореню з густини газу. Пізніше його результати допомогли підтвердити молекулярно-кінетичну теорію газів, яку в 1860-х і 1870-х роках далі розвивали Джеймс Клерк Максвелл і Людвіг Больцман.

Поширені запитання

У чому різниця між ефузією та дифузією? Ефузія — це вихід молекул газу крізь малий отвір у вакуум або область нижчого тиску, де отвір менший за середню відстань, яку молекула проходить між зіткненнями. Дифузія — це поширення молекул газу крізь інший газ або середовище, спричинене різницею концентрацій; при цьому молекули стикаються між собою.

Чому температура має бути в кельвінах? Кінетична енергія молекул газу пропорційна абсолютній температурі. Шкали Цельсія та Фаренгейта не починаються від абсолютного нуля, тому їх використання дасть неправильне співвідношення.

Що калькулятор припускає щодо двох газів? Він припускає, що обидва гази мають однакову кількість молекул в одиниці об’єму. За такого припущення співвідношення залежить лише від молярної маси та абсолютної температури. Якщо температури двох газів однакові, температурна складова дорівнює 1, а відповідь є звичайним співвідношенням за законом Грема √(M₂/M₁), незалежно від тиску. Якщо температури різні, припущення має значення: два гази, які перебувають за однакового тиску, а не однакової концентрації, підпорядковуються співвідношенню Rate₁/Rate₂ = √(M₂T₂ / M₁T₁), оскільки за сталого тиску гарячіший газ містить менше молекул у кожному літрі.

Чи можна за законом Грема визначити молярну масу невідомого газу? Так. Якщо швидкість ефузії невідомого газу виміряти порівняно з газом із відомою молярною масою, формулу можна перетворити:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{Швидкість}_{known}}{\text{Швидкість}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

Чи застосовується закон Грема до рідин? Ні. Він застосовується лише до газів. Молекули рідини розташовані набагато щільніше й взаємодіють значно сильніше, тому та сама формула не описує рух рідин крізь невеликі отвори.

Наскільки швидше витікає газ, якщо його температура подвоюється? Швидкість ефузії пропорційна квадратному кореню з абсолютної температури. Подвоєння температури збільшує швидкість у √2 раза, або приблизно в 1,41 раза, якщо молярна маса залишається незмінною.