Калькулятор періоду напіврозпаду | Розрахунок радіоактивного розпаду та метаболізму ліків

Що таке період напіврозпаду?

Період напіврозпаду — це час, потрібний кількості речовини, щоб зменшитися до половини початкового значення. Цей калькулятор періоду напіврозпаду працює в одному напрямку: введіть швидкість розпаду — і він поверне період напіврозпаду. Це поняття застосовується до радіоактивних ізотопів, виведення лікарських засобів з організму та будь-якого іншого процесу, що експоненційно згасає.

Період напіврозпаду не залежить від кількості наявної речовини. Уран-238 має період напіврозпаду близько 4,5 мільярда років незалежно від того, чи становить зразок один кілограм, чи кількість одного атома з великої сукупності. Період напіврозпаду визначається лише швидкістю розпаду речовини.

Формула періоду напіврозпаду

Стандартна формула має вигляд:

t½ = ln(2) / λ

• t½ — період напіврозпаду в тій самій одиниці часу, у якій задано λ.
• ln(2) — натуральний логарифм числа 2, приблизно 0,6931.
• λ (лямбда) — константа розпаду, тобто частка речовини, що розпадається за одиницю часу.

Ця формула випливає з рівняння експоненційного розпаду:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Тут N₀ — початкова кількість, N(t) — кількість, що залишилася через час t, а e — число Ейлера, приблизно 2,718. Якщо прирівняти N(t) до N₀/2 і розв’язати рівняння відносно t, отримаємо t½ = ln(2)/λ. Вища швидкість розпаду означає коротший період напіврозпаду, а нижча — довший.

Одиниці вимірювання швидкості розпаду

Швидкість розпаду λ вимірюють у зворотних одиницях часу, наприклад за секунду, за день або за рік. Вона має відповідати одиниці часу, потрібній для відповіді. Якщо швидкість, задану як «за день», прочитати як «за годину», результат буде неправильним у 24 разів, тому перевірка одиниць перед початком обчислень допомагає уникнути поширення помилок.

Як обчислити період напіврозпаду

1. Знайдіть константу розпаду. Знайдіть у довіднику λ для речовини або виведіть її з виміряних даних, уважно враховуючи одиницю часу.
2. Поділіть ln(2) на λ. Результат, t½ = ln(2)/λ, є періодом напіврозпаду в тій самій одиниці часу, у якій задано λ.
3. Перевірте величину результату. Медичний ізотоп не повинен мати період напіврозпаду в мільйон років, а геологічний — період напіврозпаду, вимірюваний днями. Результат, що значно виходить за очікуваний діапазон, зазвичай указує на невідповідність одиниць.

Для ізотопів із дуже тривалим періодом напіврозпаду λ часто записують у науковій нотації, наприклад 1,54 × 10⁻¹⁰ за рік для урану-238. Поле швидкості розпаду приймає такий запис у e-нотації: 1.54e-10.

Що показує цей калькулятор

Калькулятор має два поля для введення. Початкова кількість — це кількість речовини в момент часу, що дорівнює нулю, у будь-якій вибраній користувачем одиниці; вона має бути не меншою за 0,1. Швидкість розпаду — це λ, задана на одиницю часу.

Результат — період напіврозпаду, надрукований із чотирма знаками після десяткового роздільника, у тій самій одиниці часу, у якій задано λ. Під ним речення повторює результат як час, потрібний початковій кількості, щоб зменшитися вдвічі. Швидкість розпаду, що дорівнює нулю або є від’ємною, відхиляється, оскільки ln(2)/0 не має значення.

На графіку показано N(t) = N₀ × e^(−λt) від нульового моменту до п’яти періодів напіврозпаду, використовуючи 101 рівномірно розподілених точок. Після п’яти періодів напіврозпаду залишається 1/32 початкової кількості, тобто приблизно 3,1%. Криву можна завантажити як електронну таблицю з кроком, вибраним користувачем.

Приклад обчислення

Приклад 1: датування вуглецем-14

Вуглець-14 має швидкість розпаду приблизно 1,21 × 10⁻⁴ за рік.

t½ = ln(2) / (1,21 × 10⁻⁴) ≈ 5 730 років

Живі організми безперервно обмінюються вуглецем з атмосферою, підтримуючи сталий рівень вуглецю-14. Після смерті цей обмін припиняється, і наявний у тканинах вуглець-14 починає розпадатися за цим законом. Порівняння кількості вуглецю-14, що залишилася, зі стабільним вуглецем-12 дає змогу науковцям оцінити, скільки часу тому помер організм. Після приблизно 60 000 років метод стає ненадійним, оскільки вуглецю-14 залишається надто мало для точного вимірювання.

Приклад 2: йод-131 у медицині

Йод-131, який використовують для лікування захворювань щитоподібної залози та візуалізації, має швидкість розпаду приблизно 0,0862 за день.

t½ = ln(2) / 0,0862 ≈ 8,04 днів

Приблизно через 8 днів розпадається половина введеної дози йоду-131. Десять періодів напіврозпаду, тобто приблизно 80 днів, зменшують радіоактивність приблизно до тисячної частини початкового рівня; лікарні враховують це під час планування заходів безпеки для пацієнтів і зміни призначення приміщень.

Приклад 3: швидкість виведення лікарського засобу

Лікарський засіб виводиться з організму зі швидкістю 0,2 за годину.

t½ = ln(2) / 0,2 ≈ 3,47 годин

Половина лікарського засобу залишає кровотік приблизно за 3,5 години. Лікарі використовують цей показник, щоб визначати інтервали між дозами й підтримувати концентрацію препарату в терапевтичному діапазоні: надто короткий інтервал створює ризик накопичення до токсичного рівня, а надто довгий дає концентрації впасти нижче ефективної.

Пов’язані величини

Кілька інших термінів описують той самий процес розпаду з різних боків.

• Константа розпаду (λ) — величина, що використовується у формулі періоду напіврозпаду. Вона дорівнює ln(2)/t½ і задає ймовірність розпаду певного атома за одиницю часу.
• Середній час життя (τ) — середній час існування частинки до розпаду; він дорівнює 1/λ, або t½/ln(2). Цей час приблизно в 1,44 раза довший за період напіврозпаду.
• Активність, яку вимірюють у бекерелях або кюрі, — це кількість розпадів за секунду в реальному зразку. На відміну від λ, активність залежить від кількості речовини: грам короткоживучого ізотопу має значно вищу активність, ніж грам довгоживучого.
• Ефективний період напіврозпаду застосовується всередині живих організмів, де речовина видаляється як унаслідок фізичного розпаду, так і біологічних процесів, наприклад виділення. Його визначають за формулою 1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological; він завжди коротший за сам фізичний період напіврозпаду.

Застосування періоду напіврозпаду

Радіометричне датування. За допомогою вуглецю-14 датують органічні матеріали віком до приблизно 60 000 років. Ізотопи з довшим періодом напіврозпаду дають змогу датувати давніші матеріали: уран-238, що розпадається до свинцю-206, із періодом напіврозпаду близько 4,5 мільярда років використовують для датування порід, утворених від часу виникнення Землі.

Поводження з ядерними відходами. Відпрацьоване паливо містить суміш ізотопів із дуже різними періодами напіврозпаду. Йод-131 стає безпечним протягом кількох місяців, тоді як плутоній-239 із періодом напіврозпаду близько 24 000 років потребує зберігання протягом сотень тисяч років.

Фармакологія. Період напіврозпаду лікарського засобу визначає режим його дозування. За регулярного приймання стабільна концентрація препарату в крові встановлюється приблизно після п’яти періодів напіврозпаду, і для виведення препарату з організму до незначного рівня також потрібно близько п’яти періодів напіврозпаду.

Ядерна медицина. Технецій-99m із періодом напіврозпаду близько 6 годин широко використовують у діагностичній візуалізації, оскільки він залишається активним достатньо довго для отримання зображення, але розпадається достатньо швидко, щоб обмежити опромінення пацієнта.

Моніторинг забруднення довкілля. Цезій-137 (приблизно 30 років) і стронцій-90 (приблизно 29 років) використовують для відстеження забруднення після ядерних аварій, оскільки їхні періоди напіврозпаду достатньо довгі, щоб вони зберігалися десятиліттями, але достатньо короткі, щоб зрештою розпастися.

Поширені запитання

Що таке період напіврозпаду простими словами?

Період напіврозпаду — це час, потрібний половині певної кількості зникнути або перетворитися на щось інше. Якщо спочатку є 100 грамів радіоактивного ізотопу, через один період напіврозпаду залишиться 50 грамів, а ще через один — 25 грамів. Цей час однаковий незалежно від початкової кількості речовини.

Як обчислюють період напіврозпаду за швидкістю розпаду?

Поділіть ln(2), приблизно 0,693, на швидкість розпаду λ: t½ = ln(2)/λ. Результат буде в тій одиниці часу, у якій вимірювали λ, тому швидкість за рік дає період напіврозпаду в роках.

Чи змінюють температура або тиск період напіврозпаду?

Ні. Періоди напіврозпаду радіоактивних речовин визначаються процесами всередині атомного ядра й не залежать від температури, тиску або хімічного стану. Це відрізняється від біологічних або ефективних періодів напіврозпаду, які можуть змінюватися під впливом таких чинників, як метаболізм.

Скільки періодів напіврозпаду потрібно, щоб речовина практично зникла?

Експоненційний розпад ніколи не досягає точно нульового значення, але після 10 періодів напіврозпаду залишається лише близько 0,1% початкової кількості — рівень, який на практиці зазвичай вважають незначним.

Чи застосовується поняття періоду напіврозпаду до нерадіоактивних речовин?

Так. Будь-яка кількість, що експоненційно зменшується, має період напіврозпаду, зокрема кофеїн, що виводиться з кровотоку, лікарські засоби, що залишають організм, і деякі забруднювачі, які розкладаються в ґрунті або воді. У кожному випадку застосовується та сама формула: t½ = ln(2)/λ.

Наскільки точним є радіовуглецеве датування вуглецю-14?

Для зразків віком менше приблизно 30 000 років результати зазвичай точні до кількох сотень років після калібрування за даними річних кілець дерев, що враховує минулі зміни рівня вуглецю-14 в атмосфері. Після приблизно 60 000 років вуглецю-14 залишається надто мало для надійного вимірювання.

Джерела

1. Л’Аннунціата, Майкл Ф. (2016). Радіоактивність: вступ і історія — від квантів до кварків. Elsevier Science. ISBN 978-0444634979.
2. Крейн, Кеннет С. (1988). Вступ до ядерної фізики. Wiley. ISBN 978-0471805533.
3. Національний інститут стандартів і технологій. "Radionuclide Half-Life Measurements." https://www.nist.gov/pml/radionuclide-half-life-measurements
4. Міжнародне агентство з атомної енергії. "Live Chart of Nuclides." https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html