Калькулятор критичних значень | Z-тест, t-тест, Хі-квадрат

Критичне значення — це гранична точка в розподілі ймовірностей, яка позначає межу «області відхилення» під час перевірки гіпотези. Якщо статистика критерію виходить за межі критичного значення, результат вважають статистично значущим, а нульову гіпотезу відхиляють. Цей калькулятор визначає критичні значення для трьох найпоширеніших критеріїв: Z-критерію, t-критерію та критерію хі-квадрат.

Що таке критичне значення?

У статистиці дослідники часто починають із нульової гіпотези — простого припущення, що нічого незвичного не відбувається (наприклад, що новий препарат не має ефекту). За вибірковими даними обчислюють статистику критерію та порівнюють її з критичним значенням, щоб визначити, чи дають дані достатньо підстав для відхилення нульової гіпотези.

Критичне значення залежить від трьох чинників: обраного критерію, рівня значущості (позначається як α, грецька літера альфа) і того, чи є критерій одностороннім або двостороннім. Рівень значущості — це ймовірність помилково відхилити істинну нульову гіпотезу; часто його встановлюють на рівні 0,05 (5%) або 0,01 (1%).

Односторонній критерій перевіряє наявність ефекту в одному напрямку, наприклад «більше ніж». Він має одне критичне значення. Двосторонній критерій перевіряє наявність ефекту в будь-якому напрямку й має два критичні значення — по одному з кожного боку розподілу.

Як обчислити критичне значення

1. Оберіть критерій: Z-критерій (для великих вибірок або відомої дисперсії сукупності), t-критерій (для малих вибірок із невідомою дисперсією) або критерій хі-квадрат (для категоріальних даних чи перевірки відповідності).
2. Оберіть тип критерію за кількістю хвостів: односторонній або двосторонній.
3. Виберіть рівень значущості α — число між 0 і 1. Поширені значення: 0,10, 0,05 і 0,01.
4. Для t-критерію або критерію хі-квадрат введіть число ступенів свободи (df). Для t-критерію df дорівнює обсягу вибірки мінус 1. Для критерію хі-квадрат на відповідність df дорівнює кількості категорій мінус 1.
5. Знайдіть (або обчисліть) значення, яке відсікає вибрану площу хвоста під кривою розподілу. Це і є критичне значення.

Формули критичних значень

Кожна формула використовує обернену функцію розподілу: значення x, для якого площа під кривою до x дорівнює заданій імовірності p.

Формула Z-критерію

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(односторонній)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(двосторонній)}$

Φ⁻¹ — обернена функція кумулятивного розподілу стандартної нормальної величини.

Формула t-критерію

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(односторонній)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(двосторонній)}$

t⁻¹(p, df) — обернена функція кумулятивного розподілу t-розподілу з df ступенями свободи.

Формула критерію хі-квадрат

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(односторонній)}$ $\chi^2_{\text{нижнє}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{верхнє}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(двосторонній)}$

Розподіл хі-квадрат має лише додатні значення, тому обидва критичні значення є додатними, а нижнє з них менше за верхнє.

Приклад: критичне значення Z-критерію

Група контролю якості хоче визначити критичне значення одностороннього Z-критерію за α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Будь-яка статистика критерію, що перевищує 1,6449, потрапляє до області відхилення.

Приклад: критичне значення t-критерію

Дослідник проводить експеримент за участю 20 учасників, тому df = 19. Він хоче визначити двостороннє критичне значення за α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Області відхилення: t < -2,8609 і t > 2,8609.

Приклад: критичні значення хі-квадрат

Аналітик порівнює спостережувані та очікувані кількості у 5 категоріях, тому df = 4. Він хоче визначити двосторонні критичні значення за α = 0,05.

$\chi^2_{\text{нижнє}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{верхнє}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Статистика хі-квадрат, менша за 0,4844 або більша за 11,1433, потрапляє до області відхилення.

Поширені критичні значення

Із ростом числа ступенів свободи критичні значення t-розподілу наближаються до відповідних значень Z-критерію, оскільки t-розподіл наближається до нормального розподілу.

Поширені запитання

Для чого використовують критичне значення? Воно визначає межу для вирішення, чи є статистика критерію достатньо екстремальною, щоб відхилити нульову гіпотезу. Якщо статистика перетинає критичне значення, результат є статистично значущим на обраному рівні α.

Чим відрізняються одностороннє та двостороннє критичні значення? Односторонній критерій шукає ефект в одному напрямку й має одне критичне значення. Двосторонній критерій шукає ефект у будь-якому напрямку й має два критичні значення, симетрично розташовані навколо центра для Z-критерію та t-критерію. За однакового α двостороннє критичне значення має більший абсолютний розмір, ніж одностороннє, оскільки та сама сумарна ймовірність розподіляється між двома хвостами, а не одним.

Коли слід використовувати Z-критерій замість t-критерію? Z-критерій використовують, коли дисперсія сукупності відома або вибірка є великою — зазвичай 30 чи більше спостережень. t-критерій використовують для малих вибірок із невідомою дисперсією сукупності. Із ростом обсягу вибірки критичні значення t-критерію наближаються до критичних значень Z-критерію.

Чи може критичне значення бути від’ємним? Так. Розподіли Z-критерію та t-критерію симетричні відносно нуля, тому двосторонній критерій має одне від’ємне й одне додатне критичне значення. Критичні значення хі-квадрат завжди додатні, оскільки розподіл хі-квадрат визначений лише для значень, що дорівнюють нулю або є більшими за нього.

Як число ступенів свободи впливає на критичне значення? Число ступенів свободи показує, скільки незалежної інформації містять дані; зазвичай воно дорівнює обсягу вибірки мінус кількість уже оцінених параметрів. Менше число ступенів свободи дає ширші розподіли з важчими хвостами та більші критичні значення. Більше число ступенів свободи наближає t-розподіл і розподіл хі-квадрат до нормального розподілу.

Яке критичне значення відповідає рівню довіри 95%? За рівня довіри 95% α = 0,05. Для двостороннього Z-критерію критичні значення дорівнюють ±1,9600. Для одностороннього Z-критерію критичне значення дорівнює 1,6449.

Історія

Карл Пірсон запровадив критерій хі-квадрат у 1900 році. Вільям Сілі Госет, який публікувався під псевдонімом «Student», розробив t-розподіл у 1908 році для роботи з малими вибірками на пивоварні Guinness. Рональд Фішер формалізував перевірку значущості та критичні значення у 1920-х роках у своїй книзі Statistical Methods for Research Workers. До появи комп’ютерів дослідники знаходили критичні значення у друкованих таблицях; тепер калькулятори й програмне забезпечення обчислюють їх безпосередньо за формулами розподілів.

Джерела

1. Пірсон, К. (1900). «Про критерій, за яким можна обґрунтовано припустити, що задана система відхилень... виникла внаслідок випадкової вибірки». Philosophical Magazine, серія 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Госет, В. С.] (1908). «Ймовірна похибка середнього». Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Фішер, Р. А. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Единбург: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, «Критичні значення».