Máy Tính Biểu Đồ Hộp - Công Cụ Tạo Biểu Đồ Hộp và Râu Miễn Phí

Biểu đồ hộp là gì?

Biểu đồ hộp, còn gọi là biểu đồ hộp và râu, là một biểu đồ tóm tắt một tập hợp số bằng năm giá trị: giá trị nhỏ nhất, tứ phân vị thứ nhất, trung vị, tứ phân vị thứ ba và giá trị lớn nhất. Biểu đồ cho thấy phần lớn dữ liệu tập trung ở đâu và đánh dấu các giá trị bất thường, gọi là giá trị ngoại lai, mà không cần liệt kê mọi điểm dữ liệu.

Biểu đồ hộp thường được dùng trong thống kê, khoa học và các báo cáo kinh doanh vì cho phép so sánh nhanh nhiều nhóm số.

Tóm tắt năm số

Biểu đồ hộp được lập từ năm số, tính sau khi sắp xếp dữ liệu từ nhỏ đến lớn.

• Giá trị nhỏ nhất: giá trị nhỏ nhất không phải là ngoại lai. Máy tính này gọi là "Giá trị nhỏ nhất (không tính ngoại lai)".
• Tứ phân vị thứ nhất (Q1): giá trị mà khoảng một phần tư dữ liệu nằm dưới đó.
• Trung vị (Q2): giá trị ở giữa của tập dữ liệu.
• Tứ phân vị thứ ba (Q3): giá trị mà khoảng ba phần tư dữ liệu nằm dưới đó.
• Giá trị lớn nhất: giá trị lớn nhất không phải là ngoại lai. Máy tính này gọi là "Giá trị lớn nhất (không tính ngoại lai)".

Khi một tập dữ liệu không có giá trị ngoại lai, hai giá trị này đơn giản là số nhỏ nhất và lớn nhất được nhập vào. Khi có giá trị ngoại lai, chúng lần lượt là các đầu râu, còn số nhỏ nhất hoặc lớn nhất thực sự được nhập vào sẽ được hiển thị riêng trong danh sách giá trị ngoại lai.

Hộp trong biểu đồ trải dài từ Q1 đến Q3. Một đường bên trong hộp đánh dấu trung vị. Các đường mảnh gọi là râu vươn ra từ hộp về phía giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Mọi giá trị ngoại lai được vẽ thành các chấm riêng biệt bên ngoài các râu.

Công thức biểu đồ hộp

Với một tập dữ liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần gồm n giá trị:

Trung vị. Khi số lượng giá trị là lẻ, trung vị là giá trị ở giữa:

$M = x_{(n+1)/2}$

Khi số lượng giá trị là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

trong đó M là trung vị và x có số thứ tự vị trí là giá trị tại vị trí đó trong dữ liệu đã sắp xếp.

Tứ phân vị. Chia dữ liệu đã sắp xếp thành nửa dưới và nửa trên. Nếu n là số lẻ, loại trung vị khỏi cả hai nửa. Khi đó:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

trong đó $M_l$ là trung vị của nửa dưới và $M_u$ là trung vị của nửa trên.

Cách này thường được gọi là phương pháp loại trừ. Có những phương pháp khác và chúng có thể cho các giá trị Q1 và Q3 hơi khác nhau đối với các tập dữ liệu nhỏ, nhưng máy tính này sử dụng phương pháp loại trừ.

Khoảng tứ phân vị (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Ngưỡng và râu. Các ngưỡng xác định ranh giới để nhận diện giá trị ngoại lai:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

trong đó $F_l$ là ngưỡng dưới và $F_u$ là ngưỡng trên.

Râu không dừng chính xác tại ngưỡng. Nó dừng tại điểm dữ liệu cực trị nhất nhưng vẫn nằm trong các ngưỡng:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

trong đó $W_l$ là râu dưới và $W_u$ là râu trên.

Giá trị ngoại lai. Mọi giá trị nhỏ hơn ngưỡng dưới hoặc lớn hơn ngưỡng trên đều là ngoại lai và được vẽ thành một điểm riêng thay vì gộp vào râu.

Cách tính biểu đồ hộp từng bước

1. Sắp xếp dữ liệu từ nhỏ đến lớn.
2. Tìm trung vị. Khi số lượng giá trị là lẻ, đó là giá trị ở giữa. Khi số lượng giá trị là chẵn, đó là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.
3. Tìm Q1: trung vị của nửa dưới của dữ liệu (khi số lượng giá trị là lẻ thì loại trung vị khỏi nửa này).
4. Tìm Q3: trung vị của nửa trên của dữ liệu, theo cùng quy tắc.
5. Tính IQR bằng Q3 trừ Q1.
6. Tính ngưỡng dưới và ngưỡng trên bằng 1,5 lần IQR.
7. Đánh dấu mọi giá trị nằm ngoài các ngưỡng là giá trị ngoại lai.
8. Đặt các râu tại giá trị nhỏ nhất và lớn nhất vẫn nằm trong các ngưỡng.

Ví dụ minh họa

Xét tập dữ liệu gồm 11 giá trị: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Dữ liệu đã được sắp xếp.

Với 11 giá trị (số lượng lẻ), trung vị là giá trị thứ 6: 40.

Nửa dưới là 6, 7, 15, 36, 39 (năm giá trị, không tính trung vị). Trung vị của nửa này là giá trị ở giữa: Q1 = 15.

Nửa trên là 41, 42, 43, 47, 49. Trung vị của nửa này là giá trị ở giữa: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Ngưỡng dưới = 15 − 1,5 × 28 = −27. Ngưỡng trên = 43 + 1,5 × 28 = 85. Mọi giá trị trong tập dữ liệu đều nằm giữa −27 và 85, nên không có giá trị ngoại lai, và các râu chạm đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất thực tế: min = 6, max = 49.

Bây giờ hãy so sánh với một tập dữ liệu có giá trị ngoại lai: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Ở đây Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 và IQR = 6, tạo ra ngưỡng trên là 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. Giá trị 50 nằm trên ngưỡng đó nên được vẽ là một giá trị ngoại lai, còn râu trên dừng tại 11, là giá trị lớn nhất vẫn nằm trong ngưỡng, thay vì tại 50.

Cách đọc biểu đồ hộp

Hộp bao phủ 50% ở giữa dữ liệu, nên hộp rộng cho thấy phần giữa dữ liệu phân tán rộng, còn hộp hẹp cho thấy dữ liệu tập trung chặt. Nếu đường trung vị nằm gần một cạnh của hộp hơn, dữ liệu lệch về phía dài hơn. Một râu dài hơn nhiều so với râu kia cho thấy dữ liệu kéo dài hơn về phía đó. Các điểm nằm ngoài râu là giá trị ngoại lai và thường cần được xem xét kỹ hơn, vì chúng có thể là các giá trị cực đoan thực sự hoặc lỗi trong dữ liệu.

Các ứng dụng phổ biến

Biểu đồ hộp được dùng để so sánh các nhóm cạnh nhau, chẳng hạn điểm kiểm tra giữa nhiều lớp, thời gian giao hàng giữa hai nhà cung cấp hoặc các phép đo từ một thí nghiệm so với nhóm đối chứng. Vì biểu đồ hộp cô đọng toàn bộ phân phối thành năm giá trị, nhiều biểu đồ có thể được xếp trên cùng một biểu đồ, giúp so sánh độ phân tán và các giá trị điển hình giữa các nhóm dễ hơn so với bảng số liệu thô.

So sánh biểu đồ hộp với các biểu đồ khác

Biểu đồ tần suất cho thấy hình dạng đầy đủ của một phân phối chi tiết hơn, nhưng khó dùng hơn khi cần so sánh nhiều nhóm cùng lúc. Biểu đồ violin thêm đường cong mật độ xung quanh hộp, cho thấy chính xác hơn nơi các giá trị tập trung. Biểu đồ phân tán cho thấy mối quan hệ giữa hai biến, điều mà biểu đồ hộp không thể hiện được. Lựa chọn phù hợp phụ thuộc vào mục tiêu: so sánh các nhóm (biểu đồ hộp), xem chi tiết hình dạng của một phân phối (biểu đồ tần suất hoặc biểu đồ violin), hay nghiên cứu một mối quan hệ (biểu đồ phân tán).

Lịch sử

Nhà thống kê John Tukey đã giới thiệu biểu đồ hộp vào những năm 1970s và mô tả nó trong cuốn sách Exploratory Data Analysis xuất bản năm 1977 của ông. Phiên bản ban đầu của ông, đôi khi được gọi là biểu đồ giản lược, thể hiện trung vị, các tứ phân vị và các giá trị cực trị. Vào năm 1978, các nhà thống kê Robert McGill, Tukey và Wayne Larsen đã mô tả một phiên bản có khía, bổ sung khoảng tin cậy quanh trung vị. Quy tắc 1,5 × IQR để đánh dấu giá trị ngoại lai nhanh chóng trở thành quy ước tiêu chuẩn.

Các câu hỏi thường gặp

Biểu đồ hộp được dùng để làm gì? Biểu đồ cho thấy một tập hợp số phân tán như thế nào và đánh dấu các giá trị ngoại lai có khả năng xuất hiện, bằng cách sử dụng giá trị nhỏ nhất, Q1, trung vị, Q3 và giá trị lớn nhất. Biểu đồ đặc biệt hữu ích khi so sánh nhiều nhóm trên cùng một biểu đồ.

Đọc biểu đồ hộp như thế nào? Hộp trải dài từ Q1 đến Q3, bao phủ một nửa dữ liệu ở giữa. Đường bên trong hộp là trung vị. Các râu vươn đến những giá trị cực trị nhất không phải là ngoại lai, còn mọi giá trị nằm ngoài râu được vẽ thành các điểm riêng biệt.

Xác định giá trị ngoại lai trong biểu đồ hộp như thế nào? Một giá trị là ngoại lai nếu nó nhỏ hơn Q1 − 1,5 × IQR hoặc lớn hơn Q3 + 1,5 × IQR.

Biểu đồ hộp khác biểu đồ tần suất như thế nào? Biểu đồ hộp cô đọng một phân phối thành năm giá trị và các giá trị ngoại lai, nên gọn và phù hợp để so sánh các nhóm. Biểu đồ tần suất cho thấy tần số của các giá trị trong từng khoảng, cung cấp nhiều chi tiết hơn về hình dạng của một phân phối đơn lẻ.

Máy tính này có xử lý được các tập dữ liệu nhỏ không? Máy tính này cần ít nhất năm số để tạo bản tóm tắt năm số. Biểu đồ hộp cung cấp nhiều thông tin hơn với các tập dữ liệu lớn, vì một số ít giá trị không cho thấy rõ độ phân tán hoặc các giá trị ngoại lai.

Máy tính chấp nhận dữ liệu đầu vào nào? Các số được ngăn cách bằng dấu phẩy, khoảng trắng hoặc ngắt dòng, nên có thể dán một cột từ bảng tính vào. Mọi nội dung không phải là số đều bị từ chối thay vì bỏ qua, nhờ đó lỗi gõ không thể âm thầm làm thay đổi kết quả.

Biểu đồ hộp trông lệch có nghĩa là gì? Nếu trung vị nằm gần Q1 hơn, dữ liệu có đuôi dài hơn về phía các giá trị lớn. Nếu trung vị nằm gần Q3 hơn, dữ liệu có đuôi dài hơn về phía các giá trị nhỏ.