Máy Tính Z-Test - Công Cụ Ý Nghĩa Thống Kê Miễn Phí

Kiểm định z là gì?

Kiểm định z là một kiểm định thống kê nhằm xác định liệu trung bình mẫu có khác biệt đáng kể so với trung bình tổng thể đã biết hay không, khi độ lệch chuẩn của tổng thể đã được biết. Kiểm định này cho ra một số duy nhất, gọi là điểm z, cho biết trung bình mẫu cách trung bình tổng thể bao nhiêu độ lệch chuẩn. Các nhà nghiên cứu, kiểm tra viên chất lượng và nhà phân tích sử dụng nó để đánh giá liệu một khác biệt quan sát được có khả năng là thật hay chỉ là kết quả của ngẫu nhiên.

Công thức kiểm định z

Kiểm định z tính điểm z theo công thức sau:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ là trung bình mẫu
• $\mu$ là trung bình tổng thể
• $\sigma$ là độ lệch chuẩn tổng thể
• $n$ là kích thước mẫu

Phần mẫu số của công thức, $\sigma / \sqrt{n}$, được gọi là sai số chuẩn. Nó đo mức độ biến thiên dự kiến của các trung bình mẫu chỉ do việc lấy mẫu ngẫu nhiên.

Cách tính kiểm định z từng bước

1. Tính trung bình mẫu ($\bar{x}$) từ dữ liệu đã thu thập.
2. Xác định trung bình tổng thể đã biết ($\mu$).
3. Xác định độ lệch chuẩn tổng thể đã biết ($\sigma$).
4. Đếm kích thước mẫu ($n$).
5. Lấy $\mu$ trừ $\bar{x}$.
6. Chia $\sigma$ cho căn bậc hai của $n$ để tính sai số chuẩn.
7. Chia kết quả của bước 5 cho kết quả của bước 6. Đáp án là điểm z.

Ví dụ minh họa

Một nhà máy cho biết bu lông của họ có chiều dài trung bình là 10 cm, với độ lệch chuẩn tổng thể là 0,2 cm. Một kiểm tra viên đo 100 bu lông và thu được trung bình mẫu là 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Sai số chuẩn: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Điểm z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Điểm z là 2,5. Trung bình mẫu cao hơn trung bình tổng thể 2,5 sai số chuẩn.

Cách diễn giải điểm z

Điểm z gần 0 cho thấy trung bình mẫu gần với trung bình tổng thể. Điểm z dương hoặc âm lớn cho thấy trung bình mẫu cách xa trung bình tổng thể, qua đó gợi ý một khác biệt thực sự thay vì chỉ do ngẫu nhiên.

Các giá trị tới hạn thường dùng cho kiểm định hai phía:

• α = 0,10 (độ tin cậy 90%): z = ±1,645
• α = 0,05 (độ tin cậy 95%): z = ±1,96
• α = 0,01 (độ tin cậy 99%): z = ±2,58

Nếu điểm z được tính vượt quá giá trị tới hạn tương ứng với mức ý nghĩa đã chọn, kết quả được gọi là có ý nghĩa thống kê và giả thuyết không (cho rằng không có khác biệt) bị bác bỏ.

Trong ví dụ minh họa, z = 2,5 vượt quá ±1,96, vì vậy khác biệt có ý nghĩa thống kê ở mức 0,05. Giá trị p hai phía của z = 2,5 là khoảng 1,24%, nghĩa là xác suất quan sát thấy một khác biệt lớn như vậy là khoảng 1 trên 80 nếu chiều dài bu lông trung bình thực sự là 10 cm.

Khi nào nên dùng kiểm định z

Kiểm định z phù hợp khi:

• Độ lệch chuẩn tổng thể đã biết.
• Kích thước mẫu đủ lớn, thường lớn hơn 30.
• Dữ liệu được lấy từ việc lấy mẫu ngẫu nhiên.
• Tổng thể có phân phối chuẩn hoặc mẫu đủ lớn để áp dụng định lý giới hạn trung tâm.

Nếu chưa biết độ lệch chuẩn tổng thể hoặc mẫu nhỏ, thay vào đó sử dụng kiểm định t. Kiểm định t ước tính độ biến thiên từ chính mẫu và tính đến độ không chắc chắn tăng thêm do việc này.

Kiểm định z và kiểm định t

Cả hai kiểm định đều đo khoảng cách từ trung bình mẫu đến một giá trị kỳ vọng theo đơn vị sai số chuẩn. Kiểm định z giả định độ lệch chuẩn tổng thể đã biết. Kiểm định t ước tính giá trị đó từ mẫu và sử dụng một phân phối rộng hơn, phụ thuộc vào kích thước mẫu, để tính đến độ không chắc chắn bổ sung. Trong thực tế, kiểm định t được sử dụng thường xuyên hơn nhiều vì độ lệch chuẩn tổng thể thực sự hiếm khi được biết.

Ứng dụng thực tế của kiểm định z

• Kiểm soát chất lượng: kiểm tra xem một lô sản phẩm được sản xuất có phù hợp với quy cách mục tiêu hay không.
• Nghiên cứu y khoa: so sánh kết quả trung bình của nhóm điều trị với một giá trị tổng thể đã biết.
• Giáo dục: so sánh điểm kiểm tra của một lớp với điểm trung bình toàn quốc.
• Tài chính: kiểm tra xem lợi suất của một quỹ có khác với lợi suất trung bình của chỉ số tham chiếu hay không.

Lịch sử

Phân phối chuẩn đứng sau kiểm định z được Abraham de Moivre mô tả vào 1733, như một phép xấp xỉ cho phân phối nhị thức. Carl Friedrich Gauss và Pierre-Simon Laplace tiếp tục phát triển lý thuyết này vào đầu những năm 1800. Các phương pháp kiểm định giả thuyết chính thức, bao gồm việc sử dụng điểm z và các giá trị tới hạn để đánh giá ý nghĩa thống kê, được các nhà thống kê như Ronald Fisher, Jerzy Neyman và Egon Pearson phát triển vào đầu thế kỷ 20.

Máy tính này hiển thị gì

Máy tính yêu cầu bốn số: trung bình mẫu, trung bình tổng thể, độ lệch chuẩn tổng thể và kích thước mẫu. Nó báo cáo điểm z được làm tròn đến bốn chữ số thập phân. Bên dưới kết quả, máy tính vẽ đường cong chuẩn tắc và đánh dấu điểm z bằng một đường thẳng đứng, để thấy vị trí của kết quả trên phân phối. Đường cong là mật độ chuẩn tắc, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$.

Có hai giới hạn áp dụng cho các giá trị đầu vào. Kích thước mẫu phải lớn hơn 0. Độ lệch chuẩn tổng thể phải ít nhất là 0,0001; độ phân tán nhỏ hơn sẽ đẩy điểm z lên một giá trị cực lớn không mang ý nghĩa hữu ích. Máy tính không báo cáo giá trị p, vì vậy hãy dùng các giá trị tới hạn ở trên hoặc bảng phân phối chuẩn tắc để quyết định kết quả có ý nghĩa hay không.

Các câu hỏi thường gặp

Sự khác biệt giữa kiểm định z và kiểm định t là gì?

Kiểm định z yêu cầu biết độ lệch chuẩn tổng thể và hoạt động tốt nhất với các mẫu lớn. Kiểm định t được sử dụng khi chưa biết độ lệch chuẩn tổng thể và phải ước tính nó từ mẫu; kiểm định này phù hợp với cả mẫu nhỏ lẫn mẫu lớn.

Kiểm định z cần kích thước mẫu bao nhiêu?

Kích thước mẫu lớn hơn 30 là quy tắc kinh nghiệm thường dùng. Dưới mức đó, kết quả của kiểm định z trở nên kém tin cậy và kiểm định t thường là lựa chọn phù hợp hơn.

Điểm z bằng 2,5 có ý nghĩa gì?

Điểm z bằng 2,5 có nghĩa là trung bình mẫu cao hơn trung bình tổng thể 2,5 sai số chuẩn. Giá trị này vượt quá giá trị tới hạn hai phía ±1,96 ở mức độ tin cậy 95%, vì vậy khác biệt có ý nghĩa thống kê ở mức đó. Giá trị p hai phía của z = 2,5 là khoảng 1,24%.

Giá trị p trong kiểm định z là gì?

Giá trị p là xác suất thu được một kết quả cực đoan ít nhất tương đương với kết quả quan sát được, nếu thực sự không có khác biệt so với trung bình tổng thể. Giá trị p càng nhỏ thì bằng chứng chống lại giả thuyết không càng mạnh. Giá trị p dưới 0,05 thường được xem là có ý nghĩa thống kê.

Giả thuyết không trong kiểm định z là gì?

Giả thuyết không cho rằng không có khác biệt giữa trung bình mẫu và trung bình tổng thể. Kiểm định z đo lường mức độ bằng chứng mà mẫu cung cấp để chống lại khẳng định đó.

Có thể sử dụng kiểm định z cho các mẫu nhỏ không?

Không nên dùng. Với mẫu nhỏ hoặc khi chưa biết độ lệch chuẩn tổng thể, kiểm định t cho kết quả chính xác hơn vì tính đến độ không chắc chắn bổ sung khi ước tính độ biến thiên từ dữ liệu hạn chế.