Máy Tính Điểm Z - Công Cụ Điểm Chuẩn & Xác Suất

Điểm z là gì?

Điểm z, còn gọi là điểm chuẩn hóa, đo lường số độ lệch chuẩn mà một điểm dữ liệu cách giá trị trung bình của một tập dữ liệu. Điểm z bằng 0 có nghĩa là giá trị đó bằng giá trị trung bình. Điểm z dương có nghĩa là giá trị nằm trên mức trung bình, còn điểm z âm có nghĩa là giá trị nằm dưới mức trung bình.

Công thức tính điểm z

Điểm z của một điểm dữ liệu được tính theo công thức sau:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Trong đó:

• $z$ là điểm z
• $x$ là điểm dữ liệu
• $\mu$ là giá trị trung bình của tập dữ liệu
• $\sigma$ là độ lệch chuẩn của tập dữ liệu

Độ lệch chuẩn không thể bằng không, vì phép chia cho không không cho kết quả xác định. Độ lệch chuẩn cũng không thể âm, vì theo định nghĩa, độ lệch chuẩn luôn bằng không hoặc dương.

Cách tính điểm z

1. Tính giá trị trung bình của tập dữ liệu bằng cách cộng tất cả các giá trị rồi chia cho số lượng giá trị, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Tính độ lệch chuẩn. Trước hết, tính phương sai, tức giá trị trung bình của bình phương các độ lệch so với giá trị trung bình, sau đó lấy căn bậc hai của kết quả.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Đây là độ lệch chuẩn của tổng thể, được tính bằng cách chia cho $n$. Khi các số liệu là một mẫu lấy từ một nhóm lớn hơn, hãy chia cho $n - 1$ thay vào đó.

3. Lấy điểm dữ liệu trừ đi giá trị trung bình rồi chia cho độ lệch chuẩn.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Ví dụ minh họa

Một học sinh đạt 85 điểm trong một bài kiểm tra. Giá trị trung bình của lớp là 75, và độ lệch chuẩn của điểm số trong lớp là 10.

• Điểm dữ liệu: $x = 85$
• Giá trị trung bình: $\mu = 75$
• Độ lệch chuẩn: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Điểm z của học sinh là 1,0. Điểm số của học sinh cao hơn mức trung bình của lớp một độ lệch chuẩn.

Điểm z và xác suất tích lũy

Điểm z có thể được chuyển đổi thành xác suất tích lũy, tức khả năng một giá trị được chọn ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn rơi vào hoặc thấp hơn điểm đó. Đây là diện tích dưới đường cong chuẩn hóa ở bên trái của $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Với điểm z của học sinh là 1,0, xác suất tích lũy là khoảng 0,8413, hay 84,13%. Điều này có nghĩa là học sinh đạt điểm cao hơn khoảng 84% số học sinh trong lớp, với giả định điểm số tuân theo phân phối chuẩn. Máy tính hiển thị điểm z đến bốn chữ số thập phân và xác suất tích lũy dưới dạng phần trăm đến hai chữ số thập phân.

Một số mốc tham chiếu:

Diễn giải điểm z

Hầu hết các giá trị trong một phân phối chuẩn nằm trong phạm vi 2 độ lệch chuẩn so với giá trị trung bình. Các điểm z vượt quá +3 hoặc -3 là hiếm gặp và thường được xem là các giá trị ngoại lai, tức những giá trị khác biệt rõ rệt so với phần còn lại của dữ liệu.

Điểm z cũng cho phép so sánh các giá trị được đo trên những thang đo khác nhau. Điểm kiểm tra và số đo chiều cao không thể được so sánh trực tiếp, nhưng điểm z của chúng có thể được so sánh, vì cả hai đều mô tả khoảng cách so với giá trị trung bình theo cùng đơn vị độ lệch chuẩn.

Điểm z và điểm t

Điểm z giả định rằng độ lệch chuẩn của tổng thể đã biết và phù hợp nhất với các mẫu lớn. Điểm t được sử dụng thay thế khi chưa biết độ lệch chuẩn của tổng thể và mẫu nhỏ, thường có dưới 30 quan sát. Cả hai đều mô tả khoảng cách so với giá trị trung bình, nhưng điểm t xuất phát từ phân phối t, có phần đuôi dày hơn để tính đến sự không chắc chắn lớn hơn trong một mẫu nhỏ.

Các cách sử dụng phổ biến của điểm z

• Kiểm tra chuẩn hóa. So sánh điểm số thô của học sinh với phân phối điểm số tổng thể.
• Phát hiện giá trị ngoại lai. Đánh dấu các điểm dữ liệu cách xa giá trị trung bình trong một tập dữ liệu.
• Kiểm soát chất lượng. Kiểm tra xem một sản phẩm được sản xuất có nằm trong phạm vi chấp nhận được hay không.
• Kiểm định giả thuyết. Các kiểm định z sử dụng điểm z để đánh giá liệu giá trị trung bình của mẫu có khác biệt đáng kể với giá trị trung bình đã biết của tổng thể hay không.

Lịch sử

Điểm z dựa trên phân phối chuẩn, được Abraham de Moivre mô tả vào 1733 và được Carl Friedrich Gauss cùng Pierre-Simon Laplace phát triển thêm vào đầu 19 thế kỷ. Việc chuẩn hóa các giá trị thành các đơn vị độ lệch chuẩn trở nên phổ biến trong kiểm tra tâm lý và kiểm soát chất lượng vào 20 thế kỷ.

Các câu hỏi thường gặp

Điểm z trong thống kê là gì? Điểm z là số độ lệch chuẩn mà một điểm dữ liệu cách giá trị trung bình của tập dữ liệu. Điểm này được tính theo công thức z = (x − μ) / σ.

Diễn giải kết quả điểm z như thế nào? Điểm z bằng 0 có nghĩa là giá trị đó bằng giá trị trung bình. Giá trị dương nằm trên mức trung bình, còn giá trị âm nằm dưới mức đó. Các giá trị vượt quá +3 hoặc -3 là bất thường.

Điểm z có thể âm không? Có. Điểm z âm đơn giản có nghĩa là điểm dữ liệu nằm dưới giá trị trung bình. Điểm z bằng -2 có nghĩa là giá trị đó thấp hơn giá trị trung bình 2 độ lệch chuẩn.

Điểm z khác điểm t như thế nào? Điểm z được sử dụng với các mẫu lớn khi đã biết độ lệch chuẩn của tổng thể. Điểm t được sử dụng với các mẫu nhỏ, thường có dưới 30 quan sát, khi chưa biết độ lệch chuẩn của tổng thể.

Xác suất tích lũy có ý nghĩa gì đối với điểm z? Đó là xác suất một giá trị được chọn ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn nhỏ hơn hoặc bằng điểm z đã cho. Xác suất này bằng diện tích dưới đường cong chuẩn ở bên trái của điểm đó.

Điều gì xảy ra nếu độ lệch chuẩn bằng không? Điểm z không xác định, vì công thức yêu cầu chia cho không. Độ lệch chuẩn bằng không có nghĩa là mọi giá trị trong tập dữ liệu đều giống hệt nhau.

Tài liệu tham khảo

1. Điểm chuẩn, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Phân phối chuẩn và điểm z, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review