Máy Tính Giá Trị Tới Hạn | Kiểm Định Z, Kiểm Định t, Chi-Bình Phương

Giá trị tới hạn là điểm ngưỡng trên một phân phối xác suất, đánh dấu ranh giới của “vùng bác bỏ” trong kiểm định giả thuyết. Nếu thống kê kiểm định nằm vượt quá giá trị tới hạn, kết quả được xem là có ý nghĩa thống kê và giả thuyết không bị bác bỏ. Máy tính này tìm giá trị tới hạn cho ba kiểm định phổ biến nhất: kiểm định Z, kiểm định t và kiểm định Chi bình phương.

Giá trị tới hạn là gì?

Trong thống kê, các nhà nghiên cứu thường bắt đầu với giả thuyết không, một giả định đơn giản rằng không có điều gì bất thường đang xảy ra (ví dụ, một loại thuốc mới không có tác dụng). Một thống kê kiểm định được tính từ dữ liệu mẫu, rồi được so sánh với giá trị tới hạn để quyết định liệu dữ liệu có cung cấp đủ bằng chứng chống lại giả thuyết không hay không.

Giá trị tới hạn phụ thuộc vào ba yếu tố: lựa chọn kiểm định, mức ý nghĩa (viết là α, chữ cái alpha trong tiếng Hy Lạp), và việc kiểm định là một phía hay hai phía. Mức ý nghĩa là xác suất bác bỏ nhầm một giả thuyết không đúng, thường được đặt là 0,05 (5%) hoặc 0,01 (1%).

Kiểm định một phía kiểm tra một tác động theo một hướng duy nhất, chẳng hạn như “lớn hơn”. Kiểm định này có một giá trị tới hạn. Kiểm định hai phía kiểm tra tác động theo cả hai hướng và có hai giá trị tới hạn, một ở mỗi phía của phân phối.

Cách tính giá trị tới hạn

1. Chọn kiểm định: kiểm định Z (mẫu lớn hoặc đã biết phương sai tổng thể), kiểm định t (mẫu nhỏ với phương sai chưa biết), hoặc kiểm định Chi bình phương (dữ liệu phân loại hoặc kiểm định độ phù hợp).
2. Chọn loại phía: một phía hoặc hai phía.
3. Chọn mức ý nghĩa α, một số nằm giữa 0 và 1. Các lựa chọn phổ biến là 0,10, 0,05 và 0,01.
4. Đối với kiểm định t hoặc kiểm định Chi bình phương, nhập bậc tự do (df). Với kiểm định t, df bằng kích thước mẫu trừ 1. Với kiểm định độ phù hợp Chi bình phương, df bằng số nhóm trừ 1.
5. Tra cứu (hoặc tính) giá trị cắt bỏ phần diện tích phía đã chọn dưới đường cong phân phối. Đây là giá trị tới hạn.

Công thức tính giá trị tới hạn

Mỗi công thức sử dụng hàm phân phối tích lũy ngược: giá trị của x sao cho diện tích dưới đường cong tính đến x bằng xác suất mục tiêu p.

Công thức kiểm định z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(một phía)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(hai phía)}$

Φ⁻¹ là hàm phân phối tích lũy chuẩn tắc ngược.

Công thức kiểm định t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(một phía)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(hai phía)}$

t⁻¹(p, df) là hàm phân phối tích lũy ngược của phân phối t với df bậc tự do.

Công thức kiểm định Chi bình phương

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(một phía)}$ $\chi^2_{\text{phía dưới}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{phía trên}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(hai phía)}$

Phân phối Chi bình phương chỉ nhận các giá trị dương, vì vậy cả hai giá trị tới hạn đều dương, và giá trị phía dưới nhỏ hơn giá trị phía trên.

Ví dụ: giá trị tới hạn của kiểm định Z

Một nhóm kiểm soát chất lượng muốn tìm giá trị tới hạn của kiểm định Z một phía tại α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Mọi thống kê kiểm định lớn hơn 1,6449 đều nằm trong vùng bác bỏ.

Ví dụ: giá trị tới hạn của kiểm định t

Một nhà nghiên cứu tiến hành thí nghiệm với 20 người tham gia, nên df = 19. Họ muốn tìm giá trị tới hạn hai phía tại α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Các vùng bác bỏ là t < -2,8609 và t > 2,8609.

Ví dụ: các giá trị tới hạn của Chi bình phương

Một nhà phân tích so sánh các tần số quan sát được và kỳ vọng trong 5 nhóm, nên df = 4. Họ muốn tìm các giá trị tới hạn hai phía tại α = 0,05.

$\chi^2_{\text{phía dưới}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{phía trên}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Một thống kê Chi bình phương nhỏ hơn 0,4844 hoặc lớn hơn 11,1433 sẽ nằm trong vùng bác bỏ.

Các giá trị tới hạn phổ biến

Khi bậc tự do tăng, các giá trị tới hạn của phân phối t giảm dần về các giá trị tương ứng của kiểm định Z, vì phân phối t tiến gần đến phân phối chuẩn.

Các câu hỏi thường gặp

Giá trị tới hạn được dùng để làm gì? Nó xác định ranh giới để quyết định liệu một thống kê kiểm định có đủ cực đoan để bác bỏ giả thuyết không hay không. Nếu thống kê vượt qua giá trị tới hạn, kết quả có ý nghĩa thống kê ở mức α đã chọn.

Sự khác biệt giữa giá trị tới hạn một phía và hai phía là gì? Kiểm định một phía tìm tác động theo một hướng và có một giá trị tới hạn duy nhất. Kiểm định hai phía tìm tác động theo cả hai hướng và có hai giá trị tới hạn, nằm đối xứng quanh tâm đối với kiểm định Z và kiểm định t. Với cùng một α, giá trị tới hạn hai phía có độ lớn tuyệt đối lớn hơn giá trị tới hạn một phía, vì cùng một xác suất tổng được chia cho hai phía thay vì một phía.

Khi nào nên dùng kiểm định Z thay cho kiểm định t? Kiểm định Z được dùng khi đã biết phương sai tổng thể hoặc khi mẫu lớn, thường là 30 quan sát trở lên. Kiểm định t được dùng cho các mẫu nhỏ hơn khi chưa biết phương sai tổng thể. Khi kích thước mẫu tăng, các giá trị tới hạn của kiểm định t hội tụ về các giá trị tới hạn của kiểm định Z.

Giá trị tới hạn có thể âm không? Có. Các phân phối của kiểm định Z và kiểm định t đối xứng quanh số không, vì vậy kiểm định hai phía có một giá trị tới hạn âm và một giá trị tới hạn dương. Các giá trị tới hạn của Chi bình phương luôn dương, vì phân phối Chi bình phương chỉ được xác định với các giá trị từ số không trở lên.

Bậc tự do ảnh hưởng đến giá trị tới hạn như thế nào? Bậc tự do đo lượng thông tin độc lập có trong dữ liệu, thường bằng kích thước mẫu trừ số tham số đã được ước tính. Bậc tự do thấp hơn tạo ra các phân phối rộng hơn, có phần đuôi nặng hơn và các giá trị tới hạn lớn hơn. Bậc tự do cao hơn đưa phân phối t và phân phối Chi bình phương tiến gần đến phân phối chuẩn.

Giá trị tới hạn nào tương ứng với mức độ tin cậy 95%? Mức độ tin cậy 95% sử dụng α = 0,05. Đối với kiểm định Z hai phía, các giá trị tới hạn là ±1,9600. Đối với kiểm định Z một phía, giá trị tới hạn là 1,6449.

Lịch sử

Karl Pearson giới thiệu kiểm định Chi bình phương vào 1900. William Sealy Gosset, công bố dưới tên “Student”, đã phát triển phân phối t vào 1908 để xử lý các mẫu nhỏ tại nhà máy bia Guinness. Ronald Fisher đã hệ thống hóa kiểm định ý nghĩa và các giá trị tới hạn vào những năm 1920 trong cuốn sách Các phương pháp thống kê dành cho những người làm nghiên cứu. Trước khi có máy tính, các nhà nghiên cứu tra cứu giá trị tới hạn trong các bảng in; hiện nay, máy tính và phần mềm tính trực tiếp các giá trị này từ công thức phân phối.

Tài liệu tham khảo

1. Pearson, K. (1900). “Về tiêu chí cho rằng một hệ thống sai lệch đã cho... có thể được xem một cách hợp lý là phát sinh từ việc lấy mẫu ngẫu nhiên.” Tạp chí Triết học, loạt 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). “Sai số có thể xảy ra của giá trị trung bình.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Các phương pháp thống kê dành cho những người làm nghiên cứu. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. Sổ tay điện tử về các phương pháp thống kê của NIST/SEMATECH, “Các giá trị tới hạn.”