自由落体计算器 - 速度、距离和时间计算器

自由落体计算器：速度、距离和时间

自由落体计算器可求出在只受重力作用、不受其他力影响的情况下，被释放或抛出的物体的速度、下落距离和最终高度。输入起始高度、初速度和时间，即可得到物体的末速度、下落距离，以及它距离地面还有多高。

什么是自由落体？

自由落体是仅由重力造成的运动，不考虑空气阻力。在地球表面附近，所有下落物体的加速率都相同，与质量无关。只要空气阻力小到可以忽略，同时释放的硬币和锤子会在同一时刻落地。

伽利略·伽利雷在几个世纪前就得出了这一结论，推翻了较重物体下落更快的旧观点。1971 年，阿波罗 15 号宇航员戴维·斯科特在月球上同时释放了一把锤子和一根羽毛，那里没有空气使羽毛减速。两者同时落地，并被摄像机拍下。

这一加速度的大小称为标准重力加速度，记作 g。它的定义值恰好为 9.80665 米每二次方秒（m/s²）。国际度量衡大会于 1901 年采用了 980.665 cm/s²。以英制单位表示为 32.17405 英尺每二次方秒（ft/s²），因为一 ft/s² 恰好等于 0.3048 m/s²。计算器使用这些精确值。教科书中常取近似值 9.81 m/s²。

自由落体公式

三个方程可以涵盖所有自由落体问题。向下视为正方向。

速度公式

$v = v_0 + gt$

• $v$ = 末速度
• $v_0$ = 初速度（静止释放时为0；向上抛出时为负值）
• $g$ = 标准重力加速度，9.80665 m/s²（或 32.17405 英尺/s²）
• $t$ = 经过的时间，单位为秒

距离公式

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

对于从静止释放的物体（$v_0 = 0$），上式可简化为 $d = \frac{1}{2}gt^2$。

速度—距离公式

当时间未知时，该方程可直接联系速度和距离：

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

对于从静止状态释放的物体，公式可简化为$v = \sqrt{2gd}$。已知下落高度时，可用它求撞击速度；已知撞击速度时，也可用它求下落高度。

如何使用此计算器计算自由落体

计算器需要三个输入项，并计算出三个结果。

1. 选择单位制。 公制使用米和米每秒；英制使用英尺和英尺每秒。
2. 输入初始高度，即物体开始下落时距地面的高度。该值不能为负数。
3. 输入初速度。 静止释放的物体输入0；向下抛出的物体输入正数；向上抛出的物体输入负数。
4. 输入经过的时间，即物体释放后的时间。该值必须大于零。

随后，计算器会给出末速度、行进距离和最终高度（初始高度减去下落距离）。如果输入的时间足够长，物体已经落到地面，计算器会如实说明这一点，而不是给出负的高度。

示例：根据已知高度求时间和速度

一把扳手从高20米的脚手架上落下。它需要多长时间落地，撞击地面时的速度是多少？

将 $d = 20$ m 和 $g = 9.80665$ m/s² 代入 $d = \frac{1}{2}gt^2$：

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.80665}} \approx 2.02 \text{ 秒}$

$v = gt = 9.80665 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s（约71 km/h）}$

示例：根据撞击速度求高度

一个物体从静止状态释放后，以25 m/s的速度撞击地面。它从多高处落下？

使用$v^2 = 2gd$：

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.80665} = \frac{625}{19.6133} \approx 31.9 \text{ 米}$

这大致相当于十层楼高。

重力如何变化

标准重力加速度 9.80665 m/s² 是一个平均参考值。实际重力加速度在地球表面各处略有差异。赤道处较小（约 9.78 m/s²），两极处较大（约 9.83 m/s²），因为地球在赤道处向外隆起，且赤道的自转速度最快。重力也会随海拔升高而略微减弱。

其他天体的重力差别很大，因此同样的公式会给出差别很大的结果。NASA 列出了以下赤道表面重力加速度值（木星为其大气 1 巴高度处的数值）：

在月球上，被释放物体的速度增加得比在地球上慢约六倍。同样的下落所需时间约为地球上的 2.5 倍，因为时间与 $\sqrt{1/g}$ 成正比。

自由落体与空气阻力

这些公式假设物体处于真空中，不受空气阻碍。实际空气阻力与速度的平方成正比，因此速度越高，影响越大。对于扳手或石块这类密度大、形状紧凑且下落距离较短的物体，空气阻力影响很小。对于羽毛、纸张或降落伞等轻质或展开面积大的物体，影响则很大。

当空气阻力增大到与重力相等时，物体不再加速，而以恒定速度下落，这一速度称为终端速度。跳伞者在打开降落伞之前很久就已达到终端速度。

常见问题

物理学中的自由落体是什么？

自由落体是物体仅受重力作用的运动，不考虑空气阻力。地球表面附近的所有下落物体都以相同速率向下加速，约为9.81 m/s²，与其质量无关。

为什么所有物体以相同速率下落？

重力对较重物体的拉力更大，但较重物体也更能抵抗运动状态的改变，即具有更大的惯性。这两种作用恰好抵消，因此质量不会影响自由落体的加速率。

自由落体速度的公式是什么？

$v = v_0 + gt$，其中$v_0$是初速度，$g$是重力加速度，$t$是时间。对于从静止状态释放的物体，公式就是$v = gt$。

自由落体距离的公式是什么？

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$。对于从静止状态释放的物体，公式可简化为$d = \frac{1}{2}gt^2$。

物体下落给定高度需要多长时间？

对静止释放的物体，将距离公式变形可得时间$t = \sqrt{2d/g}$。下落20米的高度大约需要2.02秒。

为什么此计算器使用9.80665 m/s²而不是9.8？

9.80665 m/s² 是国际上定义的标准重力加速度精确值。教科书中常把它取为 9.8 或 9.81，对大多数用途已足够精确，但计算器无论使用公制还是英制单位，都采用精确的定义值，因此无论选择哪种单位制，结果都完全一致。

此计算器会考虑空气阻力吗？

不考虑。它假设物体在真空中进行理想化自由落体。对于下落距离适中、密度大且形状紧凑的物体，结果较为准确；但对于轻质或展开面积大的物体，或对于空气阻力变得显著的超长距离下落，计算器会高估速度和距离。

参考文献

1. 美国国家标准与技术研究院。The International System of Units (SI)，NIST SP 330（2019）。NIST SP 330——第 3 届国际度量衡大会（1901）声明：标准重力加速度为 980.665 cm/s²。
2. 美国国家标准与技术研究院。NIST Guide to the SI, Appendix B.8: Factors for units listed alphabetically。NIST SP 811 附录 B.8——标准自由落体加速度 9.806 65 m/s²；1 英尺/s² = 0.3048 m/s²。
3. NASA 空间科学数据协调档案馆。The Apollo 15 Hammer-Feather Drop。阿波罗 15 号锤子与羽毛下落实验——戴维·斯科特在月球上同时释放一把锤子和一根羽毛，二者以相同的速率下落。
4. NASA 空间科学数据协调档案馆。Earth Fact Sheet。地球数据表——表面加速度在赤道为 9.780 m/s²，在两极为 9.832 m/s²。
5. NASA 空间科学数据协调档案馆。Planetary Fact Sheet - Metric。行星数据表——赤道重力加速度：月球 1.6，火星 3.7，金星 8.9，木星 23.1 m/s²（1 巴高度处）。