二次方程求解器 - 计算 ax² + bx + c = 0 的根

什么是二次方程？

二次方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是数，且 $a$ 不为零。本页面的二次方程求解器使用用户输入的系数 $a$、$b$ 和 $c$，求出使方程成立的 $x$ 的值。

如果 $a$ 为零，$x^2$ 项就会消失，方程也会变成一次方程而不是二次方程。因此，计算器要求 $a \neq 0$，并在 $a = 0$ 时显示错误。

二次公式

任何形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的二次方程都可以使用二次公式求解：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\pm$ 符号表示两次独立计算，一次使用加号，另一次使用减号。因此，二次方程可能有两个不同的解。

根号下的表达式 $b^2 - 4ac$ 称为判别式。它通常写作 $\Delta$（希腊字母 delta）。在完成其余计算之前，仅根据判别式就可以确定方程有多少个实数解。

如何计算根

1. 将方程写成标准形式 $ax^2 + bx + c = 0$。
2. 确定系数 $a$、$b$ 和 $c$。
3. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$。
4. 如果 $\Delta$ 为正，使用 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ 计算两个根。
5. 如果 $\Delta$ 为零，使用 $x = \dfrac{-b}{2a}$ 计算唯一的根。
6. 如果 $\Delta$ 为负，方程没有实根，因为负数没有实平方根。

本页面的计算器会自动执行这些步骤。它接受介于 $-10^{10}$ 和 $10^{10}$ 之间的系数，并将结果四舍五入到指定的小数位数，范围为 0 至 10 位。

判别式的含义

当 $\Delta$ 为负时，此计算器会报告“没有实根”。它不会计算复根（包含 $i = \sqrt{-1}$ 的数）。

计算示例

求解 $x^2 + 5x + 6 = 0$。

此时 $a = 1$、$b = 5$、$c = 6$。

首先求判别式：

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

由于 $\Delta$ 为正，方程有两个实根：

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

可以通过因式分解进行验证：$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$，当 $x = -2$ 或 $x = -3$ 时，该式等于零。

第二个例子说明判别式为负的情况。对于 $x^2 + x + 1 = 0$，$a = 1$、$b = 1$、$c = 1$，因此 $\Delta = 1 - 4 = -3$。由于 $\Delta$ 为负，方程没有实根。

抛物线、顶点和对称轴

$f(x) = ax^2 + bx + c$ 的图像是一条称为抛物线的曲线。如果 $a$ 为正，抛物线开口向上，并有一个最低点。如果 $a$ 为负，抛物线开口向下，并有一个最高点。这个最低点或最高点就是顶点。

顶点位于：

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

经过顶点的竖直直线 $x = -\dfrac{b}{2a}$ 称为对称轴，因为抛物线的两半关于该直线互为镜像。方程的实根是抛物线与 x 轴相交的点，因此它们位于对称轴的两侧，且到对称轴的距离相同。

计算器会在结果旁绘制这条抛物线。它会在曲线上标出顶点和所有实根，并在需要时扩大绘图范围，使每个根都保持在视图中。

二次方程的应用

二次方程可以描述许多现实情况。在物理学中，抛出物体的高度随时间变化遵循方程 $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$，对 $t$ 求解即可得到物体落地的时间。在工程学中，卫星天线和桥梁缆索会出现抛物线形状，这是因为这种形状能够聚焦或分散力。在计算机图形学中，光线追踪程序通过求解二次方程来确定直线与球面的交点。

简短历史

到 2000 年前后，巴比伦数学家已经在使用几何方法而非代数方法求解特定的二次问题。欧几里得等希腊数学家也从几何角度研究二次方程。约在 600 年，印度数学家婆罗摩笈多给出了包含负解在内的根的明确公式。约在 800 年，波斯数学家花拉子米在一本著作中描述了求解二次方程的系统方法，而“代数”一词正是源于该书名。随着文艺复兴时期代数记号的发展，现代二次公式的符号形式后来逐渐成为标准。

常见问题

如果我为系数 a 输入 0，会发生什么？ 计算器会显示错误，因为 $a = 0$ 会使方程变成一次方程 $bx + c = 0$，而一次方程的解法不同。

为什么方程有时没有实根？ 当判别式 $b^2 - 4ac$ 为负时，就会出现这种情况。负数没有实平方根，因此该公式无法得到 $x$ 的实数值。方程仍有两个复根，但此计算器不会计算它们。

根和解有什么区别？ 没有区别。这两个词都指使方程等于零的 $x$ 值。“根”指图像与 x 轴相交的位置；“解”指代数意义上的结果。

我可以选择多少位小数？ 可以选择 0 至 10 位。对于日常问题，通常保留两位或三位小数就足够了。

我可以输入非常大的系数吗？ 系数必须介于 $-10^{10}$ 和 $10^{10}$ 之间。超出该范围的值可能导致舍入误差，因此会被拒绝。

这个计算器能求复根吗？ 不能。当判别式为负时，它会报告“没有实根”，而不会计算复数。

参考文献

1. 二次方程 – MathWorld
2. NIST 数学函数数字图书馆，§1.11，代数：二次方程