三角函数绘图器 - 可视化正弦、余弦、正切

什么是三角函数绘图器？

三角函数绘图器是一种绘制正弦、余弦或正切函数曲线的工具，用户可以通过调整几个称为参数的数值来改变曲线形状。移动滑块会立即重新绘制图像，因此更容易观察振幅、频率和相位平移如何改变波形。

三个基本三角函数

正弦、余弦和正切源于直角三角形各边的比值。在半径为1、以原点为中心的圆（单位圆）上，sin(x) 是角度 x 所对应点的高度，cos(x) 是该点的水平位置。正切是 sin(x) / cos(x) 的比值。

正弦是奇函数：sin(−x) = −sin(x)。余弦是偶函数：cos(−x) = cos(x)。余弦就是向左平移 π/2 弧度（90 度后的正弦函数。

正切有竖直渐近线，即曲线不断接近但永远不会接触的直线。它们位于 x = π/2 + nπ 处，其中 n 是任意整数。由于 tan(x) = sin(x) / cos(x)，而 cos(x) 在这些点等于0，所以该比值在这些点无定义。

三角函数公式

绘图器绘制以下形式的函数：

f(x) = A sin(Bx + C)

余弦和正切也使用相同形式，只需将 sin 替换为 cos 或 tan。每个字母都是可以调整的参数：

• **A（振幅）**决定波形的高度，即从中心线到波峰的距离。对于正弦和余弦，绘图器允许的取值范围是0.1到5；对于正切，范围是0.1到2。
• **B（频率）**决定一段 x 轴范围内包含多少个完整周期。B 越大，波形越压缩。绘图器允许的取值范围是0.1到5。
• **C（相位平移）**使整条曲线向左或向右移动，而不改变其形状。绘图器允许的取值范围是 −π 到 π，大约为−3.14到3.14。

正的相位平移会使图像向左移动；负的相位平移会使其向右移动。

如何使用三角函数绘图器

1. 从选择器中选择一个函数——正弦、余弦或正切。
2. 移动振幅滑块，改变波形的高度。
3. 移动频率滑块，压缩或拉伸波形。
4. 移动相位平移滑块，使曲线水平移动。
5. 阅读滑块下方显示的公式，然后按“复制”将其复制为文本。

滑块一移动，图像就会更新。对于正切函数，每条渐近线处的曲线都会出现小间隙。这是预期现象，不是错误。

测试滑块的边界

要查看波形可以达到多高，可将振幅设为工具允许的最大值：正弦或余弦为5，正切为2。要查看几乎被拉平的波形，可将频率设为最小值0.1。一次只改变一个滑块，更容易判断每个参数分别造成了什么变化。

如何手算函数值

取一个振幅 A = 2、频率 B = 3、相位平移 C = π/4 的正弦函数：

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

要求出 f(π/6)，先计算正弦函数内部的角度：

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

然后计算正弦值，再乘以振幅：

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1.414

三角波形的应用

许多以平滑往复方式重复变化的事物，其曲线都接近正弦波：声音、交流电、海洋潮汐、摆的摆动，以及一年中日照时长的变化。工程师使用正弦和余弦来描述和预测这类模式。计算机动画师也使用相同的曲线使运动更加平滑，例如上下摆动的行走循环或具有缓入缓出效果的镜头移动。

常见问题

正弦、余弦和正切有什么区别？

正弦和余弦都在−1与1之间变化，周期为2π，但余弦在每个周期中比正弦提前四分之一周（π/2）到达相同位置。正切等于正弦除以余弦。它的周期为 π，值域无界，并且在余弦等于0的所有位置都有竖直渐近线。

振幅控制什么？

振幅（A）决定波形在中心线上下延伸的距离。在此绘图器中，正弦和余弦的取值范围是0.1到5，正切的取值范围是0.1到2。

频率控制什么？

频率（B）决定固定长度的 x 轴范围内出现多少个波形周期。频率越高，同一空间内排列的周期越多。绘图器允许的取值范围是0.1到5。

为什么正的相位平移会使图像向左移动，而不是向右移动？

因为相位平移 C 在函数内部、测量角度之前被加上：f(x) = sin(Bx + C)。正的 C 表示在更小的 x 值处就能达到某个给定角度，因此曲线上的同一点会更早出现，即向左平移，而不是向右平移。

为什么正切图像中会有间隙？

正切在余弦等于0的所有位置都无定义，这些位置满足 x = π/2 + nπ。绘图器会在这些点断开曲线，而不是错误地将间隙两端直接连成一条直线。

绘图器使用角度还是弧度？

弧度。一整圈等于2π 弧度，也等于360 度。要将角度转换为弧度，应乘以 π/180。