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单位圆计算器：正弦、余弦和正切的精确值

输入角度或弧度，获取其在单位圆上的点、正弦、余弦、正切、参考角和所在象限。支持常见标准角的精确值。

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
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文档

单位圆计算器

单位圆是以图像原点为圆心、半径为1的圆。单位圆计算器接收一个角度，并报告该角度与圆的交点：点 (x, y)、正弦、余弦和正切、参考角以及象限。本页面读取以度或弧度表示的角度，并在十六个标准角处给出 √3/2 等精确值。

计算器的功能

用户输入一个角度，并选择度或弧度。本页面返回：

  • 该角度与圆相交处的点 (x, y)
  • cos θ、sin θ 和 tan θ
  • 以度和弧度表示的参考角
  • 象限；如果角度落在坐标轴上，则显示相应的坐标轴
  • 用两种单位表示的角度，以及折算到一周以内的同一角度

对于十六个标准角，答案以精确的闭式打印，小数显示在下方。其他角度显示为八位有效数字。只有显示值会进行四舍五入。

单位圆公式

角度从正 x 轴开始逆时针测量。在角度 θ 处画出的射线与圆相交于一点，该点的两个坐标就是余弦和正弦：

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

其中，xx 是横坐标，yy 是纵坐标，θ\theta 是角度。

半径为1，因此坐标和两个函数值只是用两种名称表示同一对数字。这就是圆的半径取1而不是其他大小的原因。正切也由同一对数字构成：

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

圆上的每一点还满足勾股定理，该定理应用于两条直角边分别为xx和yy、斜边为1的直角三角形：

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

度与弧度

本页面接受任一单位，并同时报告两种单位的结果。两者的关系是半周等于 π 弧度：

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ 其中，$\theta_{\mathrm{deg}}$ 是以度表示的角度，$\theta_{\mathrm{rad}}$ 是同一角度以弧度表示的值。 ### 折算到一周以内 角度可以为负，也可以超过一周。圆上的点每隔360°重复一次，因此本页面首先将角度折算到0°（含）至360°（不含）的范围内： $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ 其中，$\theta$ 是输入的角度，以度表示；$\theta_0$ 是写在一周以内、方向相同的角度。750°折算为30°，−30°折算为330°。折算在度数中进行，余数可以精确计算。 ### 参考角与象限 参考角是射线与 x 轴之间的锐角。它不会超过90°： $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{否则} \end{cases}$$ 其中，$\theta_0$ 是折算后的角度，以度表示。 正弦、余弦和正切的绝对值只取决于参考角。象限决定它们的符号。 | 象限 | 折算后的角度 | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° 至 90° | + | + | + | | II | 90° 至 180° | − | + | − | | III | 180° 至 270° | − | − | + | | IV | 270° 至 360° | + | − | − | 0°、90°、180°和270°都位于坐标轴上。象限是两条坐标轴之间的开区域，因此这四个角度都不在任何象限内，本页面会标出相应的坐标轴，而不是选择相邻象限。 ### 十六个标准角 五个参考角具有精确的闭式。 | 参考角 | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30°（π/6） | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45°（π/4） | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60°（π/3） | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90°（π/2） | 0 | 1 | 未定义 | 将这些行反映到另外三个象限，就得到十六个角度：0、30、45、60、90、120、135、150、180、210、225、240、270、300、315和330度。本页面通过每次旋转第一象限中的点四分之一周来生成这些角度，而不是将表格抄写四遍，因为抄写时容易引入错误的符号。 15°、75°和105°也有闭式，但属于含两项的形式，例如2 − √3。它们不属于这一组，因此以小数给出。15°的 cos 为0.96592583，sin 为0.25881905，tan 为0.26794919。 ### 示例：210度 210°大于180°且小于270°，因此位于第三象限。减去180°后，参考角为30°。 参考角为30°时，三个绝对值分别为 √3/2、1/2和 √3/3。第三象限使两个坐标都为负，因此该点为（−√3/2，−1/2）。正切是负数除以负数，因此仍为正值 √3/3。 用弧度表示时，该角度为7π/6，参考角为 π/6。以小数表示时，本页面显示 cos −0.8660254、sin −0.5和 tan 0.57735027。 570°和−150°给出相同的答案，因为两者都折算为210°。 ### 哪些常数是精确的 | 常数 | 数值 | 是否精确？ | 来源 | |---|---|---|---| | 一周内的度数 | 360 | 根据定义精确 | ISO 80000-3 | | 一周内的弧度 | 2π | 根据定义精确 | ISO 80000-3；SI 手册 | | cos 30°、sin 60° | √3/2 | 精确 | NIST DLMF §4.14 | | cos 45°、sin 45° | √2/2 | 精确 | NIST DLMF §4.14 | | cos 60°、sin 30° | 1/2 | 精确 | NIST DLMF §4.14 | | tan 90°、tan 270° | 无值 | 精确值，极点 | NIST DLMF §4.15 | π 是无理数，因此没有精确的十进制或二进制形式，任何存储的 π 值都经过四舍五入。本页面通过两种方式避免让这种舍入影响答案。折算在度数中进行，因为360可以整除。标准角则从上面的闭式表中读取，绝不通过浮点正弦值读取。 ### 读取以弧度输入的角度 以弧度输入的值本身就是经过舍入的小数。π/2输入为1.5707963267948966，再将其转换回来后，所得角度与90°相差约一万亿分之一度，而不是恰好等于90°。因此，本页面会将与标准角相差不到百万分之一度的角度读取为该标准角。容差只决定使用哪张表，不会扩大答案的适用范围。30.001°不会变成30°。 超过十亿度的角度会被拒绝。这是算术运算的限制，而不是几何学的限制：计算机能够存储的数字之间的间隔会随数字大小增加；超过大约四十五亿度后，该间隔会宽于百万分之一度的容差，因此折算不再保留足够细节来确定角度。十亿度在这一临界点以下留出了余量。 ### 常见问题 **单位圆有什么用途？** 它把正弦和余弦转换为坐标。从圆上读取一个点，就能同时得到这两个值；图形还显示了它们为何每转一周就重复，以及符号为何在不同象限之间改变。 **sin 30° 的精确值是多少？** 二分之一。cos 30° 为 √3/2，约为0.8660254；tan 30° 为 √3/3，约为0.57735027。 **为什么 tan 90° 未定义？** 正切等于正弦除以余弦，而 cos 90° 为0。除以零没有结果。本页面通过标出该角度来确定极点，而不是检查计算出的正切是否很大，因为紧邻90°的陡峭正切仍是普通数值。 **什么是参考角？** 它是射线与 x 轴之间的锐角，因此始终位于0°和90°之间。150°、210°和330°的参考角都是30°，所以它们的正弦和余弦具有相同的三个绝对值，只是符号不同。 **负角度有效吗？** 有效。负角度顺时针旋转。−30°与330°指向相同方向，因此本页面返回点（√3/2，−1/2）和第四象限。 **为什么本页面会显示两次角度？** 750°和30°与圆相交于同一点，但它们不是同一次旋转。本页面会显示用户输入的角度、转换为另一种单位后的角度，并在旁边显示折算后的角度。