Gamma 分布计算器

介绍

Gamma 分布是一种连续概率分布，广泛应用于科学、工程和金融等多个领域。它由两个参数特征：形状参数（k 或 α）和尺度参数（θ 或 β）。此计算器允许您根据这些输入参数计算 gamma 分布的各种属性。

公式

Gamma 分布的概率密度函数（PDF）由以下公式给出：

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

其中：

• x > 0 是随机变量
• k > 0 是形状参数
• θ > 0 是尺度参数
• Γ(k) 是 gamma 函数

累积分布函数（CDF）为：

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

其中 γ(k, x/θ) 是下不完全 gamma 函数。

Gamma 分布的关键属性包括：

1. 均值：$E[X] = k\theta$
2. 方差：$Var[X] = k\theta^2$
3. 偏度：$\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. 峰度：$3 + \frac{6}{k}$

如何使用此计算器

1. 输入形状参数（k 或 α）
2. 输入尺度参数（θ 或 β）
3. 点击“计算”以计算 gamma 分布的各种属性
4. 结果将显示均值、方差、偏度、峰度和其他相关信息
5. 将显示概率密度函数的可视化

计算

计算器使用上述公式计算 gamma 分布的各种属性。以下是逐步说明：

1. 验证输入参数（k 和 θ 必须都是正数）
2. 计算均值：$k\theta$
3. 计算方差：$k\theta^2$
4. 计算偏度：$\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. 计算峰度：$3 + \frac{6}{k}$
6. 计算众数：对于 k ≥ 1，众数为 $(k-1)\theta$，否则为 0
7. 使用上述公式生成 PDF 曲线的点
8. 绘制 PDF 曲线

数值考虑

在实现 gamma 分布计算时，需考虑几个数值问题：

1. 对于非常小的形状参数（k < 1），当 x 接近 0 时 PDF 可能趋向于无穷大，这可能导致数值不稳定。
2. 对于大的形状参数，gamma 函数 Γ(k) 可能变得非常大，可能导致溢出。在这种情况下，建议使用 gamma 函数的对数值进行计算。
3. 在计算 CDF 时，通常使用专门算法处理不完全 gamma 函数会比直接积分 PDF 更具数值稳定性。
4. 对于极端参数值，可能需要使用扩展精度算术以保持准确性。

用例

Gamma 分布在多个领域有着广泛的应用：

1. 金融：建模收入分布、保险索赔金额和资产回报
2. 气象：分析降雨模式和其他天气相关现象
3. 工程：可靠性分析和故障时间建模
4. 物理：描述放射性衰变事件之间的等待时间
5. 生物学：建模物种丰度和基因表达水平
6. 运筹学：排队理论和库存管理

替代方案

虽然 gamma 分布是多功能的，但在某些情况下，相关分布可能更合适：

1. 指数分布：当 k = 1 时，gamma 分布的特例
2. 卡方分布：当 k = n/2 和 θ = 2 时，gamma 分布的特例
3. 威布尔分布：在可靠性分析中常用的替代选择
4. 对数正态分布：另一种常用的建模偏斜正数据的选择

参数估计

在处理实际数据时，通常需要估计 gamma 分布的参数。常见方法包括：

1. 矩法：将样本矩与理论矩相等
2. 最大似然估计（MLE）：寻找最大化观察数据可能性的参数
3. 贝叶斯估计：结合关于参数的先验知识

假设检验

Gamma 分布可以用于各种假设检验，包括：

1. 拟合优度检验，以确定数据是否遵循 gamma 分布
2. 检验两个 gamma 分布之间的尺度参数是否相等
3. 检验两个 gamma 分布之间的形状参数是否相等

历史

Gamma 分布在数学和统计学中有着丰富的历史：

• 18 世纪：莱昂哈德·欧拉引入了 gamma 函数，该函数与 gamma 分布密切相关
• 1836 年：西门·丹尼斯·泊松在其概率理论研究中使用了 gamma 分布的一个特例
• 1920 年代：罗纳德·费舍尔推广了 gamma 分布在统计分析中的使用
• 20 世纪中叶：Gamma 分布在可靠性工程和寿命测试中得到广泛应用
• 20 世纪末至今：计算能力的进步使得在各种应用中更容易处理 gamma 分布

示例

以下是一些计算 gamma 分布属性的代码示例：

1' Excel VBA 函数用于 Gamma 分布 PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' 用法：
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma 分布 (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('概率密度')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## 示例用法：
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## 计算属性
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"均值: {mean}")
29print(f"方差: {variance}")
30print(f"偏度: {skewness}")
31print(f"峰度: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`均值: ${mean}`);
19    console.log(`方差: ${variance}`);
20    console.log(`偏度: ${skewness}`);
21    console.log(`峰度: ${kurtosis}`);
22}
23
24// 示例用法：
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// 绘制 PDF（使用假设的绘图库）
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

这些示例演示了如何计算 gamma 分布的属性并使用各种编程语言可视化其概率密度函数。您可以根据具体需求调整这些函数或将其集成到更大的统计分析系统中。

参考文献

1. "Gamma Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.