六西格玛计算器 - 免费的DPMO和西格玛水平工具

什么是六西格玛计算器？

六西格玛计算器将三项计数转换为三项质量指标。这三项计数分别是发现的缺陷数、每个单位上可能出现缺陷的机会数，以及生产的单位数。这些指标分别是每百万机会缺陷数（DPMO）、过程良率和西格玛水平。它们共同描述过程出错的频率，以及该比率与已发布基准的比较结果。

六西格玛是一种质量管理方法，旨在减少过程产生的缺陷数量。“缺陷”是任何不符合要求的输出，例如有划痕的零件或账单错误。“机会”是某类缺陷在一个单位上发生的任何单一可能性。

如何使用计算器

1. 输入测量期间发现的缺陷数。
2. 输入每个单位上出现缺陷的机会数。这是缺陷可能发生的不同方式的数量。
3. 输入检验或生产的单位数。
4. 计算器检查输入，并显示 DPMO、良率和西格玛水平。

三项输入都必须是整数。机会数和单位数必须至少为1。缺陷数不能为负数，也不能超过机会数乘以单位数。

如果输入违反其中任何一条规则，计算器会显示验证消息，并将西格玛水平报告为0。它仍会显示 DPMO 和良率，但这两项是在纠正错误输入后计算的：负的缺陷数按0处理，零或负的机会数或单位数按1处理，而超过机会总数的缺陷数按该总数处理。

DPMO 公式

DPMO 将观察到的缺陷率换算为每一百万个机会的缺陷率，因此可以在同一尺度上比较规模不同的过程。

$DPMO = \frac{\text{缺陷数} \times 1{,}000{,}000}{\text{机会数} \times \text{单位数}}$

DPMO 越低，表示在给定工作量下的缺陷越少。

过程良率公式

良率是无缺陷机会所占的比例，以百分比表示。

$\text{良率} = \left(1 - \frac{\text{缺陷数}}{\text{机会数} \times \text{单位数}}\right) \times 100\%$

西格玛水平公式

西格玛水平将缺陷率表示为标准正态分布上的位置，即统计学中广泛使用的钟形曲线上的位置。它回答了过程平均值与缺陷之间相隔多少个标准差。

$\text{西格玛水平} = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{DPMO}{1{,}000{,}000}\right) + 1.5$

这里的$\Phi^{-1}$是标准正态累积分布函数的反函数，也称为 probit 函数，或电子表格软件中的 NORMSINV。该计算器使用 Peter Acklam 的有理数近似法计算，其在整个良率范围内的精度约为十亿分之一以内。结果向上平移1.5，这是长期沿用的约定，用于反映过程平均值在长期生产过程中往往会发生漂移。

这与标准发布的西格玛表所依据的关系相同：DPMO 为3.4对应6σ，233对应5σ，6,210对应4σ，66,807对应3σ。不同于有时用于此计算的旧式封闭形式近似法，该方法在3σ–6σ范围之外仍能保持准确，在缺陷率极低或极高时也不会失效。它也没有内置的6σ上限：缺陷率极低的过程可以得到高于6σ的评分。

完全没有缺陷的样本会意味着无限高的西格玛水平。为避免这种情况，计算器会在换算前将100%的良率略微调低至100%以下。因此，它能报告的最高值约为7.86σ。

计算示例

示例1。 一条生产线记录了10个缺陷，涉及1,000个单位，每个单位有100个缺陷机会。

• 总机会数：100 × 1,000 = 100,000
• DPMO = (10 × 1,000,000) / 100,000 = 100.00
• 良率 = (1 − 10/100,000) × 100 = 99.99%
• 西格玛水平 ≈ 5.22σ

示例2。 同一条生产线记录的缺陷数改为500个。

• DPMO = (500 × 1,000,000) / 100,000 = 5,000.00
• 良率 = (1 − 500/100,000) × 100 = 99.50%
• 西格玛水平 ≈ 4.08σ

示例3。 一个较旧的过程在同样的100,000个机会中记录了10,000个缺陷。

• DPMO = (10,000 × 1,000,000) / 100,000 = 100,000.00
• 良率 = (1 − 10,000/100,000) × 100 = 90.00%
• 西格玛水平 ≈ 2.78σ

示例4。 生产线记录的缺陷数为零。

• DPMO = 0.00，良率 = 100.00%
• 西格玛水平 ≈ 7.86σ

结果并不封顶于6σ。它只能达到约7.86σ，是因为前文所述的微小调整，避免了完美样本产生无限大的结果。

西格玛水平基准

大多数公司运行在3σ至4σ之间。从3σ提升到4σ会使缺陷率大约降低十倍，通常表现为客户投诉减少、返工减少。

六西格玛的应用领域

制造商使用它跟踪装配线上的缺陷。医院使用它减少用药和操作错误。银行和保险公司使用它减少交易处理和理赔处理中的错误。软件团队使用它跟踪每次发布中的缺陷数。任何能够按离散单位和缺陷进行测量的过程，都可以用这种方式评分。

六西格玛通常与精益生产结合使用。精益生产的目标是减少浪费和延误，而不是直接减少缺陷；两者结合称为精益六西格玛。相关方法还包括全面质量管理，后者侧重于全组织的质量文化；以及统计过程控制，后者使用控制图监测过程是否出现偏离容差范围的迹象。

六西格玛简史

摩托罗拉工程师 Bill Smith 于1986年将六西格玛引入，作为减少制造缺陷的统计方法。摩托罗拉于1988年获得 Malcolm Baldrige 国家质量奖，成果是获奖原因之一。通用电气在首席执行官 Jack Welch 的领导下，自1995年起在全公司采用六西格玛，使其在制造业以外受到广泛关注。在2000年代，它扩展到金融、医疗保健和服务业，并与精益生产结合形成精益六西格玛，这也是目前最常教授和应用的版本。

常见问题

什么是 DPMO？ DPMO 是每百万机会缺陷数的缩写。它是将缺陷率换算到每一百万次缺陷机会这一共同基准上的结果，因此可以比较规模不同的过程。

如何计算西格玛水平？ 首先计算 DPMO，然后将其转换为良率比例，再对该良率应用标准正态累积分布函数的反函数，并加上1.5。加上1.5是为了反映过程通常会发生的长期漂移。

为什么有1.5的西格玛偏移？ 质量工程师观察到，短期内看似稳定的过程，在较长的运行期间往往会漂移约1.5个标准差。在短期计算结果上加1.5，所得西格玛水平能更好地反映长期表现，这也是标准发布的西格玛表所采用的约定。

西格玛水平可以高于6σ或低于0吗？ 该计算器不会将西格玛水平限制在6σ，因此缺陷率极低的过程可以得到更高的评分。它报告的最高值约为7.86σ，由无缺陷样本产生。它不会报告低于0σ的水平。

什么算作“机会”？ 机会是缺陷在一个单位上可能发生的任何不同方式。一块电路板有50个焊点，因此每块电路板有50个发生焊接相关缺陷的机会。

更高的良率是否等同于更高的西格玛水平？ 不完全是。良率是无缺陷输出所占的简单百分比。西格玛水平考虑该百分比在正态分布上的位置，因此当机会数不同时，良率相近的两个过程可能具有不同的西格玛水平。

参考文献

1. Pyzdek, T. 与 Keller, P. A.（2018）。六西格玛手册（第5版）。McGraw-Hill Education。
2. 美国质量学会。“什么是六西格玛？”asq.org/quality-resources/six-sigma
3. George, M. L.、Rowlands, D.、Price, M. 与 Maxey, J.（2005）。精益六西格玛袖珍工具书。McGraw-Hill Education。